크라브추크 다항식 또는 크라우트추크 다항식 (또한 우크라이나 ́́́) 미카일로 크라브추크 (1929 )가 도입한 이항 분포와 관련된 이산 직교 다항식이다.처음 몇 개의 다항식(q = 2)은 다음과 같다.
K 0 ( x ; n ) = 1 , {\displaystyle {\mathcal{K}_{0}(x;n)=1,} K 1 ( x ; n ) = − 2 x + n , {\displaystyle {\mathcal{K}_{1}(x;n)=-2x+n,} K 2 ( x ; n ) = 2 x 2 − 2 n x + ( n 2 ) , {\displaystyle {\mathcal{K}_{2}(x;n)=2x^{2}-nx+{\binom {n}{2}},} K 3 ( x ; n ) = − 4 3 x 3 + 2 n x 2 − ( n 2 − n + 2 3 ) x + ( n 3 ) . {\displaystyle {\mathcal{K}_{3}(x;n)=-{\frac{4}{3}{3}+2nx^{2}-(n^{2}-n+{2})x+{\binom{n}{3}}}. } 크라브추크 다항식(Cravchuk polyomials)은 제1종류의 믹스너 다항식(Meixner polyomials)의 특수한 경우다.
정의 prime power q 와 양의 정수 n 에 대해 Kravchuk 다항식을 정의한다.
K k ( x ; n , q ) = K k ( x ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j ( q − 1 ) k − j ( x j ) ( n − x k − j ) , k = 0 , 1 , … , n . {\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}(x;n,q)={\mathcal {K}}_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(q-1)^{k-j}{\binom {x}{j}}{\binom {n-x}{k-j}},\quad k=0,1,\ldots ,n.} 특성. 크라브추크 다항식에는 다음과 같은 대체 표현이 있다.
K k ( x ; n , q ) = ∑ j = 0 k ( − q ) j ( q − 1 ) k − j ( n − j k − j ) ( x j ) . {\displaystyle {\mathcal {K}_{k}{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k-j}(-q-1)^{k-j}{\binom {n-j}{k-j}{n-j}{\binom {x}{j}}}}}. } K k ( x ; n , q ) = ∑ j = 0 k ( − 1 ) j q k − j ( n − k + j j ) ( n − x k − j ) . {\displaystyle {\mathcal {K}_{k}{k}(x;n,q)=\sum _{j=0}^{k-j}^{j-j}{\binom {n-k+j}{j}}{\binom {n-x}{k-j}}}. } 대칭 관계 정수 i, k ≥ 0 {\displaystyle i,k\geq 0
( q − 1 ) i ( n i ) K k ( i ; n , q ) = ( q − 1 ) k ( n k ) K i ( k ; n , q ) . {\displaystyle {\begin{aigned}(q-1)^{i}{n \mathcal {K}_{k}(i;n,q)=(q-1)^{n \n \n \mathcal {K}{k}}(k;n,q) 선택 \end{정렬}}} 직교 관계 음이 아닌 정수 r , s의 경우 ,
∑ i = 0 n ( n i ) ( q − 1 ) i K r ( i ; n , q ) K s ( i ; n , q ) = q n ( q − 1 ) r ( n r ) δ r , s . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}(q-1)^{i}{\mathcal {K}}_{r}(i;n,q){\mathcal {K}}_{s}(i;n,q)=q^{n}(q-1)^{r}{\binom {n}{r}}\delta _{r,s}. } 생성함수 크라브추크 다항식 생성 시리즈 는 다음과 같이 주어진다. 여기서 z {\displaystyle z}
( 1 + ( q − 1 ) z ) n − x ( 1 − z ) x = ∑ k = 0 ∞ K k ( x ; n , q ) z k . {\displaystyle {\begin{aigned}(1+(q-1)z)^{n-x}^{x}&=\sum _{k=0}^{\mathcal{K}_{k}(x;n,q){z^{k}}}. \end{정렬}}} 참고 항목 참조 Kravchuk, M. (1929), "Sur une généralisation des polynomes d'Hermite." , Comptes Rendus Mathématique (in French), 189 : 620–622, JFM 55.0799.01 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Hahn Class: Definitions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0-521-19225-5 MR 2723248 Nikiforov, A. F.; Suslov, S. K.; Uvarov, V. B. (1991), Classical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable , Springer Series in Computational Physics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-51123-7 MR 1149380 Levenshtein, Vladimir I. (1995), "Krawtchouk polynomials and universal bounds for codes and designs in Hamming spaces", IEEE Transactions on Information Theory , 41 (5): 1303–1321, doi :10.1109/18.412678 , MR 1366326 MacWilliams, F. J.; Sloane, N. J. A. (1977), The Theory of Error-Correcting Codes ISBN 0-444-85193-3 외부 링크 
(는) 형식 변수다. 
