흐름장의 라그랑기안 및 오일러 사양

고전적인 장 이론에서 흐름장의 라그랑지안 사양은 관찰자가 공간과 시간을 통해 이동할 때 개별 유체 소포를 따르는 유동 운동을 보는 방법이다.^[1][2] 개별 소포의 위치를 시간별로 표시하면 소포의 경로가 지정된다. 이것은 배에 앉아 강 아래로 표류하는 것으로 볼 수 있다.

유량장의 오일러 사양은 유체가 시간이 지나면서 흐르는 공간의 특정 위치에 초점을 맞춘 유체 운동을 살펴보는 방식이다.^[1][2] 이것은 강의 둑에 앉아 물이 고정된 위치를 지나가는 것을 지켜봄으로써 시각화할 수 있다.

흐름장의 라그랑기안 및 오일러 사양은 때때로 라그랑기안 및 오일러식 기준 프레임으로 느슨하게 표시된다. 그러나 일반적으로 흐름장의 라그랑지안과 오일러 사양은 어느 관찰자의 기준 프레임과 선택된 기준 프레임 내에서 사용되는 좌표계에 모두 적용될 수 있다.

이러한 규격은 "Eulerian" 시뮬레이션이 고정된 메쉬를 사용하는 컴퓨터 유체 역학(methree simulation 등)에 반영되며, "Lagrangian" 시뮬레이션은 속도 필드를 따라 이동할 수 있는 시뮬레이션 노드를 특징으로 한다.

설명

필드의 오일러 사양에서 필드는 위치 x와 시간 t의 함수로 표현된다. 예를 들어, 유속은 함수로 표현된다.

${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {x}, t\right).}$

한편, 라그랑지안 사양에서는 개별 유체 소포가 시간 경과에 따라 이루어진다. 유체 소포는 일부(시간 독립적인) 벡터 필드 x에₀ 의해 라벨이 표시된다. (종종, x는₀ 어떤 초기 시간 t에서₀ 소포의 질량 중심 위치로 선택된다. 시간이 지남에 따라 발생할 수 있는 형상의 변화를 설명하기 위해 이 특정한 방법으로 선택된다. 따라서 질량의 중심은 소포의 유속 u의 양호한 매개변수화)^[1] 라그랑어 설명에서 흐름은 함수에 의해 설명된다.

${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0}t\right),}$

시간 t에서 x 레이블로₀ 표시된 입자의 위치 부여.

이 두 가지 사양은 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle \mathbf {u} \left {X}(\mathbf {x} _{0}t}t\right)={\frac {\partial \mathbf {X}}}{\partial t}\lef(\mathbf {x} _{0}_t\rig)}오른쪽)}}}}}}}}}}}}}}}}}$

양쪽이 시간 t에서 x로₀ 표시된 입자의 속도를 설명하기 때문이다.

선택된 좌표계 내에서 x와₀ x는 각각 흐름의 라그랑기 좌표와 오일러 좌표라고 한다.

재료파생상품

흐름장의 운동학 및 역동성에 대한 라그랑기안 및 오일러 사양은 재료 파생상품(라그랑기안 파생상품, 대류파생상품, 상당한 파생상품 또는 입자파생상품이라고도 함)^[1]에 의해 관련된다.

우리가 flow field u를 가지고 있고, 또한 오일러 사양 F(x, t)를 가진 일반 필드를 제공받았다고 가정합시다. 이제 특정 흐름 구획에 의해 경험되는 F의 총 변화율에 대해 물어볼 수 있다. 이 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {F}}}}{\mathbf {F}}}={\frac {}}{\partial t}+\pref(\mathbf {u}\cdot \nabla \rig)\mathbf {F {F},},},}},}}}}}$

여기서 ∇은 x에 관해서 나블라 연산자를 나타내며, 연산자 u⋅은 F의 각 구성 요소에 적용되어야 한다. 이는 유체 소포가 오일러 사양 u에서 설명하는 흐름장을 통과할 때 F함수의 총 변화율이 F의 국소 변화율과 대류 변화율을 합한 것과 같다는 것을 말해준다. 이것은 우리가 t에 관해서 F(X₀(x, t), t) 기능을 차별화하고 있기 때문에 체인 룰의 결과물이다.

단위 질량의 보존 법칙은 질량 보존과 함께 오일러 보존을 생성하는 라그랑지안 형태를 가지고 있다. 반대로 유체 입자가 양(에너지나 추진력 등)을 교환할 수 있을 때는 오일러 보존 법칙만 존재한다.^[3]

참고 항목

• 양조기-독슨 순환기
• 보존서식
• 등고선 부착
• 등위도
• 일반화된 라그랑기 평균
• 라그랑쥬 입자 추적
• 반래그랑주의 계획
• 유선형, 줄임말 및 경로
• 궤도(유체 역학)
• 스토카스틱 오일러리안 라그랑지안법
• 리우빌의 정리(해밀턴어)

메모들

참조

• Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Variational Formulation of Fluid and Geophysical Fluid Dynamics - Mechanics, Symmetries and Conservation Laws -. Springer. p. 218. doi:10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.
• Batchelor, G.K. (1973), An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09817-5
• Landau, Lev; Lifshitz, E.M. (1987), Fluid Mechanics, 2nd Edition (Course of Theoretical Physics, Volume 6), Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750627672
• Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamics (6th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
• Falkovich, Gregory (2011), Fluid Mechanics (A short course for physicists), Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4

외부 링크

[1] 고전 연속체 역학의 객관성: 모션, 오일러니안 및 라그랑지안 함수, 변형 구배, 리 유도체, 속도 추가 공식, 코리올리, 객관성.