리츠법

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리츠 방법은 경계값 문제에 대한 근사적인 해결책을 찾는 직접적인 방법이다.이 방법은 흔히 레일리-리츠 방식과 리츠-갈레르킨 방식으로도 불리지만 발터 리츠(Walter Ritz)의 이름을 따서 명명되었다.

양자역학에서, 입자의 시스템은 "에너지 기능" 또는 해밀턴의 관점에서 설명될 수 있는데, 이것은 해당 입자의 어떤 제안된 구성의 에너지를 측정할 것이다.특정 특권형 구성이 다른 구성보다 가능성이 높은 것으로 나타났으며, 이는 이 해밀턴 시스템의 고유 분석("특성의 분석")과 관련이 있다.가장 적은 양의 에너지를 가진 입자를 찾기 위해 입자의 무한한 구성을 모두 분석하는 것은 종종 불가능하기 때문에, 숫자 계산을 위해 어떤 식으로든 이 해밀턴의 근사치를 구할 수 있는 것이 필수적이 된다.

리츠 방식은 이 목표를 달성하기 위해 사용될 수 있다.수학의 언어에서 해밀턴 계통의 고유 벡터와 고유값을 계산하는 데 사용되는 것은 정확히 유한요소법이다.

토론

다른 변동 방법과 마찬가지로 ${\displaystyle \Psi$ $\}$ 시험파 함수를 시스템에서 테스트한다.이 시험 기능은 경계 조건(및 기타 물리적 제약 조건)을 충족하기 위해 선택된다.정확한 기능은 알려져 있지 않다. 시험 기능에는 가장 낮은 에너지 구성을 찾도록 변화된 하나 이상의 조정 가능한 매개변수가 포함되어 있다.

지상 상태 에너지 E ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 불평등을 만족한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \PSI {\hat {H} \PSI \langle }{\langle \PSI \langle }}}.}$

즉 지상국 에너지는 이 값보다 적다.시험파동 기능은 항상 지상 에너지보다 크거나 같은 기대값을 제공한다.

만약 시험파동 기능이 지상 상태와 직교한다고 알려져 있다면, 그것은 어떤 흥분 상태의 에너지에 대한 경계를 제공할 것이다.

Ritz ansatz 함수는 N개의 알려진 기본 함수${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\psi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\}\}$의 선형 조합으로, 알 수 없는 계수에 의해 파라메트리된다.

${\displaystyle \PSI =\sum _{i=1}^{{N}c_{i}\PSI _{i}.}$

알려진 해밀턴인과 함께 우리는 그것의 예상가치를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\left\langle \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right {\hat {H}}\left \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }{\left\langle \left.\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}H_{ij}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{N}\displaystyle \sum_{j=1}^{{n}c_{*c_{j}}S_{ij}}}\equiv {\frac {A}{B}}.}$

기본 함수는 대개 직교하지 않기 때문에 겹침 행렬 S는 0이 아닌 비대각 원소를 갖는다.기대치를 최소화하기 위해${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 또는$$${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\$첫 번째의 조합)를 사용할 수 있다.예를 들어$,{\displaystyle }$ {$c{\displaystyle }$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$}에 대한$$ over ${\displaystyle \varepsilon$}의 부분파생상품을 {c$$} {\$displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }$ 0으로$$ 설정함으로써 모든 k = 1, 2, ..., N:

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c_{k}^{*}}}={\frac {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}(H_{kj}-\varepsilon S_{kj}})}}}}}}{B}=0,}$

다음 N개의 세속 방정식으로 이어진다.

${\displaystyle \sum_{j=1}^{N}c_{j}\왼쪽(H_{kj}-\varepsilon S_{kj}\오른쪽)=0\quad {\text{ for}}}\quad k=1,2,\dots,N.}$

위의 방정식에서 에너지 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$과 계수${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) 알 수 없다.c에 관해서, 이것은 균일한 선형 방정식의 집합으로, 이러한 미지의 계수에 대한 결정 요인이 0일 때 해법이 있다.

${\displaystyle \det \left(H-\varepsilon S\오른쪽)=0,}$

$turn{\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$의 N 값에만 해당된다$.$ 더욱이 해밀턴인이 은둔자 연산자이므로 H 행렬도 은둔자이며 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 값은 실제가 될 것이다$$.$\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$i=1,2, ..,N), $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 중에서 가장 낮은 값은 사용되는 기본 함수에 대해 지상 상태에 대한 최상의 근사치가 될 것이다.나머지 N-1 에너지는 흥분 상태 에너지의 추정치다.상태 i의 파형 함수에 대한 근사치는 해당 세속 방정식에서 계수$$${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ }을$($를) 찾아 구할 수 있다.

유한요소법과의 관계

유한요소법의 언어에서 ${\displaystyle {매트릭스}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Hk}}_{}}$j {\$displaystyle H_${kj$}}$는 정확하게$$ 조각상 선형요소공간에 있는 해밀턴인의 강성 매트릭스이며, 매트릭스 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 질량 매트릭스다.선형대수학 언어에서 $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ 값은 디스코트된$$ 해밀턴어의 고유값이며, $벡터{\displaystyle }$ c ${\displaystyle$ c$}$은 디스코트된 고유값이다$$.

참고 항목

• 레일리-리츠 방법
• 스투름-리우빌 이론
• 힐베르트 공간
• 갤러킨법

원천

페이퍼스

• 월터 리츠(1909) "위버 에인 네 메서드 주르 뢰성 게위서 변주프로블메 데라메 데라메 데라메 데라메 데라메데 피식" 저널 für die rine und Angelwandte Matheik, 135권 1-61쪽온라인: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182.
• J.K. 맥도날드, "레이리-리츠 변형법에 의한 성공적 근사법", 물리적. 43번 개정판 (1998년) 830 온라인 이용 가능: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.830

외부 링크

• 수학 백과사전의 리츠법
• Gander, Martin J.; Wanner, Gerhard (2012). "From Euler, Ritz, and Galerkin to Modern Computing". SIAM Review. 54 (4): 627–666. doi:10.1137/100804036.