콤팩트 컨버전스

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수학에서 콤팩트 컨버전스(또는 콤팩트 세트의 균일한 컨버전스)는 균일한 컨버전스 사상을 일반화하는 컨버전스의 일종이다.그것은 콤팩트 오픈 토폴로지와 연관되어 있다.

정의

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle X\mathcal{}}$, T${\displaystyle }$) ${\displaystyle ($X, ${\mathcal {T})$은 위상학적 공간이고 (${\displaystyle {}_{}}{\displaystyle }$,${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Y_{}}$ )${\displaystyle$ (Y$,d_{Y})$은 미터법 공간이다.일련의 기능들

${\displaystyle f_{n}:$$X\to Y$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$, ${\displaystyle n\in \mathb {N},}$

모든$$ 콤팩트 세트 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$for X {\$displaystyle$$$k\$subseteq$ X$}$에 대해 ${\displaystyle \mathrm{일부}}$${\displaystyle }함수{\displaystyle }$ F${\displaystyle \mathrm{}}$:$$X${\displaystyle }$→$$ {\$displaystyle$ $f:$X\$to Y}$에 압축적으로 수렴한다고 한다$.$

${\displaystyle f_{n} _{K}\to f _{K}}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$에 $n{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle n\to \infit }$으로 균일하게 배치됨$.$ 이는 모든 소형 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subseteq$ X$\},$

${\displaystyle \lim _{n\to \inflt }\sup _{x\in K}d_{n.Y}\왼쪽(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

예

• $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \subseteq }$ R ${\$ $=(0,1)\subseteq \mathb {R}$ 및 ${\displaystyle Y}$ = R ${\$ Y$=\mathb {R}}$이(가) 일반적인 토폴로지를 갖는$$ $경우{\displaystyle }$$,$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle x}$) :${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ : ${\$$=x^{n$ 그 $다음{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}${\$displaystyle f_{n}}$는 값이 0인 상수함수로 압축적으로$$ 수렴하지만 균일하지는 않다.
• If ${\displaystyle X=(0,1]}$, ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$ and ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$, then ${\displaystyle f_{n}}$ converges pointwise to the function that is zero on ${\displaystyle (0,1)}$ and one at ${\displaystyle 1}$, but the se평온은 압축적으로 수렴되지 않는다.
• 콤팩트한 융합을 보여주는 매우 강력한 도구는 아르젤라-아스콜리 정리다.이 정리에는 몇 가지 버전이 있는데, 대략적으로 말하면 등거리와 균일하게 경계된 지도의 모든 순서는 어떤 연속적인 지도로 압축적으로 수렴되는 하위섹션을 가지고 있다고 기술하고 있다.

특성.

• $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}\to f}$이(가) 균일할$$ 경우, ${\displaystyle f_{}}$→ f$$→ ${\displaystyle f}$ {\$displaystyle f_{$n}\$to}$ 압축적으로$$.
• $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle (X,$ {\\$mathcal{T}})$이 콤팩트한 $공간$이고${\displaystyle {}_{}{f}_{}}$ → ${\displaystyle f}$ → f$${\$displaystyle f_{n}\$$to$ f$}$인 경우, ${\displaystyle f_{}}$ → f${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyf_{n}\to}.$
• $({\displaystyle X\mathcal{}}$, T${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X,$ {\\$mathcal{T})$이 로컬로 압축된 공간인 경우,${\displaystyle {}_{}}f{\displaystyle {}_{}}$ → ${\displaystyle f}${\$displaystyle f_{n}\to$ f$}$인 경우에만 압축적으로$$ f.
• $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle (X$, ${\\mathcal {T})}$이(가) 압축적으로 생성된 공간이고${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ →$$ {\$displaystyle f_{n$}\$to$ f$}$이(가) 압축적으로$$ 생성된 공간이고, 각 ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle$ f_${n}$이 연속적인 경우$$, f$}$이다.

참고 항목

• 수렴 모드(공지지수)
• 몬텔의 정리

참조

• R. 복합 기능에 대한 레머트 이론(1991 스프링거) 페이지 95