무해석

원자 간격의 함수로서 이원자 분자의 잠재적 에너지. 분자가 너무 가까우거나 너무 멀리 떨어져 있을 때, 그들은 다시₀ u를 향해 회복력을 경험한다. (우울증 속에서 대리석이 앞뒤로 구르는 것을 상상하라. 파란색 곡선은 분자의 실제 전위와 가까운 형태인 반면, 빨간색 포물선은 작은 진동들에 대한 좋은 근사치가 된다. 적색 근사치는 복원력인 -V'(u)가 변위에 대해 선형이기 때문에 분자를 조화 진동자로 취급한다.

고전역학에서, 조화란 시스템이 조화 진동자로부터 벗어나는 것을 말한다. 조화 운동에서 진동하지 않는 오실레이터는 시스템을 조화 진동자에 근사하게 추정할 수 있고 고조파 오실레이터는 섭동 이론을 사용하여 조화 오실레이터를 계산할 수 있는 하모니 오실레이터로 알려져 있다. 만약 조화성이 크다면, 다른 수치 기법을 사용해야 한다. 실제로 모든 진동 시스템은 조화형이지만 고조파 진동자와 근사할수록 진동의 진폭은 작아진다.

그 결과, $2\omega$ $[\displaystyle 2\omega }$ 및 $[\displaystyle 3\omega }]$ 을 가진 $3\omega$ 진동이 나타나며, 여기서 $\omega$ {\ $displaystyle \omega }$ 은 $\omega$ 오실레이터의 기본 주파수다. 더욱이 주파수 $\omega$ $\omega$ 은(는) 고조파 진동의 주파수 $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ $\omega _{0}$ ${\$ 에서 벗어나 있다 $\omega$ . 상호 변조 및 조합 신호음을 참조하십시오. 첫 번째 근사치로 주파수 이동 $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ = $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ - $\Delta \omega =\omega -\omega _{0}$ 0 ${\$ 은 진동 $진폭$ $A$ 의 제곱에 비례한다 $\Delta \omega=\omega-\omega_0$ $A$

\Delta \omega \propto A^{2}

자연 주파수가 $\omega _{\alpha }$ ${\$ $\omega _{\beta }$ $\omega _{\beta }$ ${\$ 인 오실레이터 시스템에서 조화로 인해 주파수가 $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$ $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$ ± $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$ 인 추가 진동이 발생한다 $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$

하모닉은 공진곡선의 에너지 프로파일도 수정하여 폴드오버 효과, 초하모닉 공명 등의 흥미로운 현상을 일으킨다.

일반원칙

2 조화로운 행동을 보이는 DOF 탄성 진자.

조화 vs. 무성 발진기

"block-on-a-spring"은 고조파 진동의 전형적인 예다. 블록의 위치인 x에 따라 중부를 향해 복원력을 경험하게 된다. 복원력은 x에 비례하므로 시스템은 단순한 조화 운동을 보인다.

진자는 단순한 조화 진동자 입니다. 질량의 각도 위치 θ에 따라 복원력이 좌표 θ을 중앙으로 다시 밀어낸다. 이 오실레이터는 복원력이 θ에 비례하지 않고 죄(θ)에 비례하기 때문에 조화롭다. 선형함수 y=sin은 small이 작을 때 비선형함수 y=sin(()에 근사하므로, 시스템은 작은 진동을 위한 고조파 진동기로 모델링할 수 있다.

오실레이터는 진자, 튜닝 포크 또는 진동하는 이원자 분자와 같이 주기적인 운동으로 특징지어지는 물리적 시스템이다. 수학적으로 말하면 오실레이터의 본질적인 특징은 시스템의 일부 좌표 x에 대해 크기가 x에 의존하는 힘이 x를 극한값에서 멀어지고 x를 어떤₀ 중심값 x 쪽으로 밀어내어 x가 극한값 사이에서 진동하게 한다는 것이다. 예를 들어, x는 정지 위치 x=0에서 진자의 변위를 나타낼 수 있다. x의 절대값이 증가함에 따라, x의 절대값이 증가함에 따라, 그것을 다시 휴식 위치로 밀어내는 진자의 무게에 작용하는 복원력 또한 증가하게 된다.

고조파 오실레이터에서 복원력은 x의 자연₀ 위치 x에서 x의 변위에 비례한다. 결과적인 미분 방정식은 x가 시스템에 내재된 진동 주기와 함께 시간에 따라 부비동적으로 진동해야 함을 의미한다. x는 진폭과 함께 진동할 수 있지만 항상 같은 주기를 갖는다.

그러나, 고조파 오실레이터는 변위 x에 대한 회복력의 비선형 의존성으로 특징지어진다. 따라서, 고조파 오실레이터의 진동 주기는 진동의 진폭에 따라 달라질 수 있다.

고조파 오실레이터의 비선형성으로 인해 시스템의 변위에 따라 진동 주파수가 변할 수 있다. 진동 주파수의 이러한 변화는 파라메트릭 커플링이라고 알려진 프로세스를 통해 에너지가 기본 진동 주파수에서 다른 주파수로 결합되는 결과를 초래한다.^{[clarification needed]}

비선형 복원력을 자연 위치에서 x 변위의 함수 F(x-x₀)로 처리하면, 0 변위의 선형 근사치₁ F=F'(0)*(x-x₀)로 F를 대체할 수 있다. 근사 함수 F는₁ 선형이므로 단순한 고조파 운동을 기술할 것이다. 또한 이 기능 F는₁ x-x가₀ 작을 때 정확하다. 이러한 이유로, 조화 운동은 진동이 작은 한 조화 운동으로 근사하게 추정될 수 있다.

물리학의 예

물리적 세계에는 비선형 매스 스프링 시스템 외에도 조화 발진기로 모델링할 수 있는 많은 시스템이 있다. 예를 들어 음전하 전자구름으로 둘러싸인 양전하 핵으로 구성된 원자는 전기장이 존재할 때 핵의 질량 중심과 전자구름 사이에서 변위를 경험한다. 전기 쌍극자 모멘트라고 불리는 그 변위의 양은 작은 장에 적용되는 장과 선형적으로 관련되어 있지만, 장의 크기가 증가함에 따라, 장-디폴 모멘트 관계는 기계 시스템과 마찬가지로 비선형 상태가 된다.

고조파 진동기의 추가 예로는 큰 각도의 진자, 큰 열 전달체를 가진 비안정화 반도체, 전달체의 유효 질량과 관련된 다양한 유형의 비선형 동작을 보이는 전리권 플라스마, 격자의 조화성에 기초한 비선형 동작을 보이는 전리권 플라스마 등이 있다.sma, 횡방향 진동현. 실제로 거의 모든 오실레이터는 펌프 진폭이 일정 임계값을 초과하여 증가하면 하모닉이 되며, 그 결과 비선형 운동 방정식을 사용하여 동작을 설명할 필요가 있다.

무조화는 격자와 분자 진동, 양자 진동,^[1] 음향에서 역할을 한다. 분자나 고체의 원자들은 평형 위치에 대해 진동한다. 이러한 진동이 작은 진폭을 가지고 있을 때 그것들은 조화 진동기로 설명할 수 있다. 그러나, 예를 들어 고온에서 진동 진폭이 클 때, 조화성이 중요해진다. 조화의 효과의 예로는 고형물의 열팽창이 있는데, 이는 보통 준조화 근사치 내에서 연구된다. 양자역학을 이용하여 진동하는 하모닉 시스템을 연구하는 것은 하모닉이 각 오실레이터가 경험하는 잠재력을 더욱 복잡하게 만들 뿐만 아니라 오실레이터 간의 결합을 도입하기 때문에 계산적으로 까다로운 작업이다. 밀도-기능 이론과 같은 제1원칙의 방법을 사용하여 분자와^[2] 고형분자 모두에서 원자가 경험하는 조화 전위를 지도화하는 것이 가능하다.^[3] 그러면 평균장 이론 내에서 원자에 대한 조화 진동 방정식을 풀어서 정확한 조화 진동 에너지를 얻을 수 있다. 마지막으로 뫼르-플레셋 섭동 이론을 사용하여 평균장 형식주의를 넘어서는 것이 가능하다.

진동 기간의 전위 에너지

Consider a potential well $U(x)$ . Assuming that the curve $U=U(x)$ is symmetric about the $U$ -axis, the shape of the curve can be implicitly determined from the period $T(E)$ of the oscillations of particles with energy ${\d$ 다음 ^{[citation needed]}공식에 $E$ $따라 isplaystyle$ E $}:$

{\

U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt{U(x)-E

반대로 진동 주기는 유도될 수 있다.

T={\sqrt{2m}\int_{x_}^{x_{+}{\frac {dx}{\sqrt{E-U}}}}}}}

참고 항목

참조

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976), Mechanics (3rd ed.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
Filipponi, A.; Cavicchia, D. R. (2011), "Anharmonic dynamics of a mass O-spring oscillator", American Journal of Physics, 79 (7): 730–735, doi:10.1119/1.3579129

^ Lim, Kieran F.; Coleman, William F. (August 2005), "The Effect of Anharmonicity on Diatomic Vibration: A Spreadsheet Simulation", J. Chem. Educ., 82 (8): 1263, Bibcode:2005JChEd..82.1263F, doi:10.1021/ed082p1263.1
^ Jung, J. O.; Benny Gerber, R. (1996), "Vibrational wave functions and spectroscopy of (H₂O)_n, n=2,3,4,5: Vibrational self-consistent field with correlation corrections", J. Chem. Phys., 105 (23): 10332, Bibcode:1996JChPh.10510332J, doi:10.1063/1.472960
^ Monserrat, B.; Drummond, N.D.; Needs, R.J. (2013), "Anharmonic vibrational properties in periodic systems: energy, electron-phonon coupling, and stress", Phys. Rev. B, 87 (14): 144302, arXiv:1303.0745, Bibcode:2013PhRvB..87n4302M, doi:10.1103/PhysRevB.87.144302
^ Amore, Paolo; Fernández, Francisco M. (2005). "Exact and approximate expressions for the period of anharmonic oscillators". European Journal of Physics. 26 (4): 589–601. arXiv:math-ph/0409034. doi:10.1088/0143-0807/26/4/004.

외부 링크

Elmer, Franz-Josef (July 20, 1998), Nonlinear Resonance, University of Basel, archived from the original on June 13, 2011, retrieved October 28, 2010

[1] Lim, Kieran F.; Coleman, William F. (August 2005), "The Effect of Anharmonicity on Diatomic Vibration: A Spreadsheet Simulation", J. Chem. Educ., 82 (8): 1263, Bibcode:2005JChEd..82.1263F, doi:10.1021/ed082p1263.1

[2] Jung, J. O.; Benny Gerber, R. (1996), "Vibrational wave functions and spectroscopy of (H₂O)_n, n=2,3,4,5: Vibrational self-consistent field with correlation corrections", J. Chem. Phys., 105 (23): 10332, Bibcode:1996JChPh.10510332J, doi:10.1063/1.472960

[3] Monserrat, B.; Drummond, N.D.; Needs, R.J. (2013), "Anharmonic vibrational properties in periodic systems: energy, electron-phonon coupling, and stress", Phys. Rev. B, 87 (14): 144302, arXiv:1303.0745, Bibcode:2013PhRvB..87n4302M, doi:10.1103/PhysRevB.87.144302

[4] Amore, Paolo; Fernández, Francisco M. (2005). "Exact and approximate expressions for the period of anharmonic oscillators". European Journal of Physics. 26 (4): 589–601. arXiv:math-ph/0409034. doi:10.1088/0143-0807/26/4/004.

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