콜모고로프-아놀드-모저 정리

콜모고로프-아놀드-모저(KAM) 정리는 작은 섭동 하에서 준주기 운동의 지속성에 대한 동적 시스템의 결과입니다. 이 정리는 고전역학의 섭동 이론에서 발생하는 소분자 문제를 부분적으로 해결합니다.

문제는 보수적인 동적 시스템의 작은 섭동이 지속적인 준주기적 궤도를 초래하는지 여부입니다. 이 문제에 대한 최초의 돌파구는 1954년 Andrey Kolmogorov에 의해 마련되었습니다.^[1] 이는 1962년^[2] 위르겐 모저(Smooth Twist Maps)와 1963년^[3] 블라디미르 아놀드(Vladimir Arnold)에 의해 엄격하게 증명되고 확장되었으며, 일반적인 결과는 KAM 정리로 알려져 있습니다.

아놀드는 처음에 이 정리가 태양계의 운동이나 n-바디 문제의 다른 예에 적용될 수 있다고 생각했지만, 더 많은 수의 바디에 대한 문제 공식의 퇴화 때문에 3-바디 문제에만 적용되는 것으로 밝혀졌습니다. 나중에 가브리엘라 핀자리는 회전 불변 버전의 정리를 개발하여 이러한 퇴행성을 제거하는 방법을 보여주었습니다.^[4]

진술

적분 가능한 해밀토니안 시스템

KAM 정리는 일반적으로 적분 가능한 해밀턴 시스템의 위상 공간에서의 궤적으로 설명됩니다. 적분 가능한 계의 운동은 불변의 토러스(도넛 모양의 표면)에 국한됩니다. 적분 가능한 해밀토니안 시스템의 다른 초기 조건들은 위상 공간에서 다른 불변 토리를 추적할 것입니다. 적분 가능한 계의 좌표를 표시하면 준주기적이라는 것을 알 수 있습니다.

섭동

KAM 정리는 시스템이 약한 비선형 섭동을 받으면 불변 토리의 일부가 변형되어 생존하며, 즉 섭동에서 연속적인 원래 매니폴드에서 변형된 토리로의 맵이 존재한다는 것을 말합니다. 반대로, 다른 불변의 토리는 파괴됩니다. 임의의 작은 섭동으로도 매니폴드는 더 이상 불변하지 않으며 근처의 매니폴드에 대한 그러한 맵이 없습니다. 생존 토리는 비공진 조건, 즉 "충분히 비합리적인" 주파수를 충족합니다. 이것은 변형된 토러스의 움직임이 준주기적으로 계속되고 독립적인 주기가 변경됨을 의미합니다(비변성 조건의 결과). KAM 정리는 이를 위해 적용될 수 있는 섭동 수준을 정량화합니다.

섭동에 의해 파괴된 캄토리들은 이안 C에 의해 칸토리로 명명된 불변 칸토어 집합이 됩니다. 1979년 퍼시벌.^[5]

KAM 정리의 비공명성 및 비변성 조건은 자유도가 더 높은 시스템을 만족시키기가 점점 더 어려워집니다. 시스템의 치수가 증가할수록 토리가 차지하는 부피는 감소합니다.

섭동이 증가하고 매끄러운 곡선이 분해됨에 따라 우리는 덜 엄격한 가설을 필요로 하고 칸토어와 같은 집합과 함께 작동하는 KAM 이론에서 오브리-마더 이론으로 이동합니다.

양자 다체 적분 가능 시스템의 섭동에 대한 KAM 정리의 존재는 임의의 작은 섭동이 무한한 크기 한계에서 적분성을 파괴할 것이라고 믿지만 여전히 미해결 문제입니다.

결과들

KAM 정리의 중요한 결과는 초기 조건의 큰 집합에 대해 움직임이 영구적으로 준주기적으로 유지된다는 것입니다.^[which?]

캠이론

콜모고로프, 아놀드, 모저가 도입한 방법은 현재 KAM 이론으로 알려진 준주기 운동과 관련된 많은 결과물로 발전했습니다. 특히, 이는 해밀턴이 아닌 시스템(모저를 시작으로), 교란이 없는 상황(마이클 허먼의 작업처럼), 그리고 빠르고 느린 주파수를 가진 시스템(미하일 B의 작업처럼)으로 확장되었습니다. 세브륙).

캄토루스

유동 $\phi ^{t}$ ϕ t ${\$ displaystyle $\phi ^{t}$ \phi^{t}}의 작용 하에 다양체 ${\mathcal {T}}^{d}$ ${T}^{d$ 불변을 $불변$ 및 ${\displaystyle$ d} -torus라고 합니다. if there exists a diffeomorphism ${\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}$ into the standard $d$ -torus ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:$ $=\underbrace {\$ $mathbb$ {S} $^{$ 1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}_{d}} -{d}는 Td {\displaystyle \mathbb {T} ^{d}의 결과적인 움직임이 균일한 선형이지만 정적이지는 않습니다. $d$ / $\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}$ d $\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}$ t $= ω {\displaystyle$ $\$ mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi}}/\mathrm { $\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}$ } t ={\boldsymbol {\ome $\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}$ a}} $\mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}$ 서 ω ∈ Rd {\displaystyle {\omega}}\in \mathbb {R}^{d}}는 주파수 벡터라고 하는 0이 아닌 상수 벡터입니다.

주파수 벡터 ${\boldsymbol {\omega }}$ ω {\displaystyle ${\boldsymbol {\$ omega}}인 경우:

합리적으로 독립적입니다(일명, 측정할 수 없음, ${\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0$ k ${\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0$ ⋅ ω ≠ $0$ {\displaystyle {\ $boldsymbol$ {k}}\cdot {\boldsymbol {\ $omega$ })\n모든 ${\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ $∈$ $Zd$ $∖$ {0}에 대한 $eq$ 0 $}$ ${\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ {\ $displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb$ {Z $}^{d}\backslash$ \ $left\{\boldsymbol$ ${\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ 0}\right\} )
그리고 일반적으로 디오판토스적 의미에서 유리수로 "나쁘게" 근사됩니다: $\exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ ∃ γ, τ $\exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ ≥ γ ‖ k ‖ τ $\exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}$ ∀ k ∈ Z d ∖ { 0} ${\$ displaystyle \exists ~\gamma,\tau >0{\text{s}} {\boldsymbol {\omega}}\cdot {\boldsymbol {k}\geq {\frac {\gamma} {\boldsymbol {k}\^{\tau}}}, $\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{\{\boldsymbol {0}\right$

그런 다음 $d$ d{\ $displaystyle d}$ -torus ${\mathcal {T}}^{d}$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal$ { $T}}^{d}($ $d$ ≥ 2 {\ $displaystyle$ d\geq 2})를 캠토러스라고 합니다. $d=1$ = ${\$ displaystyle d = 1} 경우는 일반적으로 작은 나눗셈을 포함하지 않기 때문에 고전적인 KAM 이론에서 제외됩니다.

참고 항목

메모들

^ A. N. 콜모고로프, "해밀턴식 [сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции г амильтона о]의 작은 섭동 하에서 조건부 주기 운동의 보존에 관하여", Dokl. 아카드. Nauk SSR 98 (1954).
^ J. Moser, "연환의 면적 보존 매핑의 불변 곡선에 대하여", Nachr. 아카드. 와스. 괴팅겐 수학.-네. -네. Kl. II 1962 (1962), 1–20.
^ V. I. 아놀드, "해밀턴 [м алые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]의 작은 섭동 하에서 조건부 주기 운동의 보존에 관한 A. N. 콜모고로프 정리의 증명", 우스페키 매트. Nauk 18 (1963) (영어 번역: 러스. 수학. Surv. 18, 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).
^ Khesin, Boris (October 24, 2011), Colliander, James (ed.), "Addendum to Arnold Memorial Workshop: Khesin on Pinzari's talk", James Colliander's Blog, archived from the original on March 29, 2017, retrieved March 29, 2017
^ Percival, I C (1979-03-01). "A variational principle for invariant tori of fixed frequency". Journal of Physics A: Mathematical and General. 12 (3): L57–L60. Bibcode:1979JPhA...12L..57P. doi:10.1088/0305-4470/12/3/001.

참고문헌

아놀드, 와인스타인, 보그만. 고전역학의 수학적 방법, 제2판, 부록 8: 조건부 주기 운동의 섭동 이론과 콜모고로프의 정리. 1997년 봄.
Wayne, C. Eugene (January 2008). "An Introduction to KAM Theory" (PDF). Preprint: 29. Retrieved 20 June 2012.
Jürgen Pöschel (2001). "A lecture on the classical KAM-theorem" (PDF). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 69: 707–732. CiteSeerX 10.1.1.248.8987. doi:10.1090/pspum/069/1858551. ISBN 9780821826829. Archived from the original (PDF) on 2016-03-03. Retrieved 2006-06-06.
Rafael de la Lave (2001) KAM 이론에 관한 튜토리얼
Weisstein, Eric W. "Kolmogorov-Arnold-Moser Theorem". MathWorld.
KAM 이론: 콜모고로프의 1954년 논문의 유산
스콜라피디아의 콜모고로프-아놀드-모저 이론
H Scott Dumas. KAM 이야기 – 고전 콜모고로프-아놀드-모저 이론의 내용, 역사 및 의의에 대한 친근한 소개, 2014, 세계 과학 출판, ISBN 978-981-4556-58-3. 1장: 서론

[1] A. N. 콜모고로프, "해밀턴식 [сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции г амильтона о]의 작은 섭동 하에서 조건부 주기 운동의 보존에 관하여", Dokl. 아카드. Nauk SSR 98 (1954).

[2] J. Moser, "연환의 면적 보존 매핑의 불변 곡선에 대하여", Nachr. 아카드. 와스. 괴팅겐 수학.-네. -네. Kl. II 1962 (1962), 1–20.

[3] V. I. 아놀드, "해밀턴 [м алые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]의 작은 섭동 하에서 조건부 주기 운동의 보존에 관한 A. N. 콜모고로프 정리의 증명", 우스페키 매트. Nauk 18 (1963) (영어 번역: 러스. 수학. Surv. 18, 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130 ).

[4] Khesin, Boris (October 24, 2011), Colliander, James (ed.), "Addendum to Arnold Memorial Workshop: Khesin on Pinzari's talk", James Colliander's Blog, archived from the original on March 29, 2017, retrieved March 29, 2017

[5] Percival, I C (1979-03-01). "A variational principle for invariant tori of fixed frequency". Journal of Physics A: Mathematical and General. 12 (3): L57–L60. Bibcode:1979JPhA...12L..57P. doi:10.1088/0305-4470/12/3/001.

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