드러드 모형

드러드 모델 전자(여기 파란색으로 표시됨)는 무거운 고정 결정 이온(빨간색으로 표시됨) 사이에서 끊임없이 튕깁니다.

드루드 전기 전도 모델은 1900년^[1]^[2] 폴 드루드에 의해 물질(특히 금속)에서 전자의 수송 특성을 설명하기 위해 제안되었습니다.기본적으로 옴의 법칙은 잘 확립되어 전류를 구동하는 전류 J와 전압 V는 재료의 저항 R과 관련이 있다고 기술되어 있습니다.저항의 역수를 컨덕턴스라고 합니다.단위 길이와 단위 단면적의 금속을 고려할 때, 전도율은 저항률의 역수인 전도율이라고 합니다.드루드 모델은 전자 흐름을 방해하는 역할을 하는 금속의 상대적으로 움직이지 않는 이온에 의한 전자(전기 운반체)의 산란 측면에서 도체의 저항률을 설명하려고 합니다.

운동 이론의 응용 프로그램인 이 모델은 고체에서 전자의 미세한 거동이 고전적으로 처리될 수 있고 핀볼 기계와 같이 행동할 수 있다고 가정하고, 끊임없이 지터링하는 전자의 바다가 더 무겁고 상대적으로 움직이지 않는 양이온을 튕기고 다시 튕겨냅니다.

드루드 모델의 가장 중요한 두 가지 결과는 전자 운동 방정식이다.

\displaystyle \frac {d}{dt}\langle = q\left(\mathbf {E}) + {\frac {\frac \mathbf {p}(t)\rangle \times \mathbf {B} {m}\langle {mathbf}-{f}

전류 $밀도$ J와 $전기장$ E 사이의 선형 관계

\displaystyle \mathbf {J} =\leftfac {nq^{2}\frac}{m}\right}\mathbf {E}.}

$여기$ 서 t는 시간, p는 전자당 평균 $운동량$ , q, $n, m$ 및 $θ$ 는 각각 이온 충돌 사이의 전자 전하, 수밀도, 질량 및 평균 자유시간이다.후자의 표현은 모든 전자기기에서 가장 유비쿼터스한 관계 중 하나인 옴의 법칙이 ^{[note 1]}^[3]^[4]왜 유지되어야 하는지를 반정량적인 용어로 설명하기 때문에 특히 중요합니다.

이 모델은 1905년 헨드릭 앙투아온 로렌츠(따라서 드루드-로렌츠 ^{[citation needed]}모델이라고도 함)에 의해 금속의 열 전도율과 전기 전도율 사이의 관계를 제공하기 위해 확장되었으며 고전적인 모델이다.이후 1933년 아놀드 소머펠트와 한스 베테에 의해 양자 이론의 결과로 보완되어 드루드-소머펠트 모형으로 이어졌다.

역사

독일의 물리학자 폴 드루드는 원자가 존재하는지, 어떤 원자가 현미경적 ^[5]규모인지 명확하지 않았던 1900년에 그의 모형을 제안했다.현미경 모형에서 아보가드로 수를 계산함으로써 원자의 첫 번째 직접적인 증거는 알버트 아인슈타인, 최초의 현대 원자 구조 모형은 1904년, 러더포드 모형은 1909년이다.드루드는 1897년 J.J.에 의해 전자가 발견된 것을 시작으로 한다. Thomson 및 는 고체의 대부분이 양전하 산란 중심으로 구성되고 전자의 바다가 이러한 산란 중심을 잠가 전하 관점에서 ^{[note 2]}전체 고체를 중립으로 만든다고 단순화된 고체 모델로서 가정합니다.

현대 용어에서 이것은 전자 바다가 고체에서 이용 가능한 전자의 전체 세트가 아닌 원자가 전자로만 ^[6]구성되고 산란 중심은 핵에 단단히 묶여 있는 전자의 내부 껍질인 원자가 전자 모델에 반영됩니다.산란 중심은 ^{[note 3]}원자의 원자가 숫자에 해당하는 양의 전하를 가지고 있었다.이러한 유사성은 드루드 논문의 일부 계산 오류에 추가되었고, 결국 어떤 경우에는 좋은 예측을 할 수 있는 고체의 합리적인 질적 이론을 제공하였고, 다른 경우에는 완전히 잘못된 결과를 제공하게 되었다.사람들이 산란 중심, 산란 메커니즘, 산란 길이의 의미를 더 구체적이고 상세하게 설명하려고 할 때마다,^{[note 4]} 이 모든 시도는 실패로 끝났다.

드루드 모델에서 계산된 산란 길이는 원자간 거리가 10에서 100 사이이며, 또한 이러한 산란 길이는 적절한 현미경적 설명을 제공할 수 없었다.

드러드 산란은 현대 이론에서 부차적인 현상일 뿐인 전자-전자 산란이 아니며 주어진 전자는 기껏해야 원자핵에 의해 흡수될 수 없다.이 모델은 미시적 메커니즘에 대해 다소 묵묵부답으로 남아 있으며, 현대 용어로는 이것이 근저에 있는 현상이 ^{[note 5]}케이스별로 다를 수 있는 "1차 산란 메커니즘"이라고 불립니다.

이 모델은 금속,^{[note 6]} 특히 전도도에 관해 더 나은 예측을 제공하며, 때때로 금속의 드루드 이론이라고 불립니다.이는 금속이 본질적으로 자유 전자 모델에 더 나은 근사치를 가지고 있기 때문이다. 즉, 금속은 복잡한 밴드 구조를 가지고 있지 않고, 전자는 본질적으로 자유 입자로 작용하며, 금속의 경우, 비국재화 전자의 유효 수는 본질적으로 원자가 수와 ^{[note 7]}동일하기 때문이다.

같은 드루드 이론은 그 시대의 대부분의 물리학자들을 당황하게 만들었던 모순에도 불구하고, 1927년 드루드-소머펠트 모델이 도입되기 전까지 고체를 설명하는 데 받아들여진 주요한 이론이었다.

현대 고체 이론의 정확한 성분에 대한 몇 가지 힌트가 다음과 같이 제공되었습니다.

아인슈타인 고체 모형과 드바이 모형은 적분 단위 또는 양자 단위로 에너지를 교환하는 양자 행동이 특히 드루드 이론이 실패한 특정 열과 관련하여 완전한 이론에서 필수적인 요소였다고 제안합니다.
어떤 경우, 즉 홀 효과에서, 이론은 전자에 음전하를 사용하는 대신 양전하를 사용하는 경우 정확한 예측을 하고 있었다.이것은 현재 구멍(즉, 양전하 운반체 역할을 하는 준입자)으로 해석되고 있지만 드루드 당시에는 ^{[note 8]}그 이유가 다소 불분명했다.

드루드는 맥스웰-볼츠만 통계를 전자의 기체와 모델을 도출하는 데 사용했는데, 이는 그 당시 유일하게 이용 가능한 것이었다.통계를 정확한 페르미 디랙 통계로 대체함으로써, 소머펠트는 현대 ^{[note 9]}고체 양자 이론의 모든 결과를 예측할 수 없는 반고전주의 이론을 여전히 가지고 있음에도 불구하고 모델의 예측을 크게 개선했다.

오늘날 Drude와 Sommerfeld 모델은 고체의 질적 거동을 이해하고 특정 실험 설정에 ^{[note 10]}대한 최초의 질적 이해를 얻는 데 여전히 중요하다.이것은 솔리드 스테이트 물리학의 일반적인 방법으로, 모델의 복잡성을 증가시켜 보다 정확한 예측을 제공하는 것이 일반적입니다.첫 번째 원리에서 완전한 양자장 이론을 사용하는 것은 매우 흔하지 않다. 왜냐하면 엄청난 수의 입자와 상호작용으로 인한 복잡성과 관련된 추가 수학의 작은 부가가치 때문이다(^[7]예측치의 수치 정밀도의 증분 이득을 고려).

전제 조건

드루드는 고정된 배경에서 움직이는 전자의 가스에 가해지는 가스의 운동 이론을 사용했다; 이것은 배경 없이 중성 희석 기체로 가스의 이론을 적용하는 일반적인 방법과는 대조적이다.전자 가스의 수 밀도는 다음과 같이 가정되었다.

{\displaystyle n=flac {N_{\text}A}}Z\rho _{\text{m}}{A}},

여기서 Z는 Drude가 원자가 수치를 사용한 이온당 탈국재 전자의 유효수, A는 ^{[note 2]}몰당 원자질량, $\rho _{\text{m}}$ {\ $displaystyle \rho$ _ ${\text{m}}}$ 는 $\rho _{\text{m}}$ 이온의 질량 밀도(단위 ^{[note 2]}부피당 질량)이며_A, N은 아보가드로 상수이다.전자당 사용 가능한 평균 부피를 구로서 고려:

{\frac {V} {N}}=superfrac {1}{n}=superfrac {4}{3}\pi r_{\rm {s}^3}.

$r_{\text{s}}$ s $(\$ 는 $r_{\text{s}}$ 전자 밀도를 나타내는 파라미터로, 종종 Bohr 반지름의 2~3배 정도이며, 알칼리 금속의 경우 3~6이며, 일부 금속 화합물의 경우 최대 10이 될 수 있습니다.밀도는 전형적인 고전 ^{[note 11]}가스의 100배 정도 됩니다.

드루드 모델의 핵심 전제 조건은 다음과 같습니다.

드루드는 높은 밀도에도 불구하고 희박한 가스의 운동 이론을 적용하였고,^{[note 12]} 따라서 충돌을 제외하고 전자-전자 및 전자-이온 상호작용을 무시하였다.
드루드 모델은 금속이 많은 "자유 전자"가 분리된 양의 하전 이온 집합으로 형성되었다고 간주합니다.이것들은 다른 ^{[note 11]}원자의 전기장으로 인해 비국재화된 원자의 원자가 전자라고 생각될 수 있다.
드루드 모델은 전자와 이온 또는 전자 사이의 장거리 상호작용을 무시합니다. 이를 독립 전자 ^{[note 11]}근사라고 합니다.
전자는 하나의 충돌과 다른 충돌 사이에서 직선으로 움직입니다. 이를 자유 전자 ^{[note 11]}근사라고 합니다.
자유 전자와 환경과의 유일한 상호작용은 투과할 수 없는 이온 ^{[note 11]}코어와의 충돌로 처리되었다.
이러한 전자의 후속 충돌 사이의 평균 시간은 메모리리스 포아송 분포와 함께 $δ$ 이다.전자의 충돌 파트너의 특성은 드루드 ^{[note 11]}모델의 계산과 결론에 중요하지 않습니다.
충돌 이벤트 후 전자의 속도 및 방향 분포는 국소 온도만으로 결정되며 충돌 이벤트 ^{[note 11]}전 전자의 속도와는 무관하다.충돌 후 전자는 즉시 현지 온도와 평형을 이루는 것으로 간주됩니다.

이러한 각 가정을 제거하거나 개선하면 다양한 솔리드를 보다 정확하게 설명할 수 있는 보다 정교한 모델을 얻을 수 있습니다.

페르미-디락 통계로 맥스웰-볼츠만 통계의 가설을 개선하면 드루드-소머펠트 모델로 이어진다.
보스-아인슈타인 통계로 맥스웰-볼츠만 통계의 가설을 개선하면 정수 스핀^[8] 원자의 특정 열과 보스-아인슈타인 응축수에 대한 고려가 이루어진다.
반도체의 원자가 밴드 전자는 여전히 기본적으로 구분된 에너지 범위에서 자유 전자이다(즉, 밴드의 변화를 암시하는 "희귀한" 높은 에너지 충돌만 다르게 행동한다). 독립 전자 근사는 본질적으로 여전히 유효하다(즉, 전자-전자 산란 없음), 대신, th에 대한 가설이 있는 경우.e 산란 이벤트의 국부화는 폐기된다(비전문 용어로는 전자가 존재하며 ^[9]사방으로 산란한다).

수학적 처리

DC 필드

드루드 모델의 가장 간단한 분석에서는 $전계$ E가 균일하고 일정하며, 전자의 열속도가 충분히 높아 충돌 사이의 $운동량$ dp가 거의 축적되지 않는다고 가정합니다. 충돌은 평균 ^{[note 1]} $µ초마$ 다 발생합니다.

$그러면$ 시간 t에 분리된 전자는 평균적으로 마지막 충돌 이후 시간 $µ$ 동안 이동하며 결과적으로 누적 운동량을 갖게 됩니다.

\displaystyle \Delta \mathbf {p} \rangle = q\mathbf {E} \displays .}

마지막 충돌 동안, 이 전자는 뒤로 튕겨나갔을 가능성이 높기 때문에, 전자의 운동량에 대한 모든 이전 기여는 무시될 수 있으며, 결과적으로 다음과 같은 결과를 초래합니다.

\displaystyle \mathbf {p} \rangle = q\mathbf {E} \displaystyle .}

관계를 대체하다

\displaystyle \mathbf {p} \rangle = m\mathbf {v} \rangle ,}

\mathbf {J} =nq\displayle \mathbf {v} \rangle ,

위에 언급된 옴의 법칙이 공식화됩니다.

\displaystyle \mathbf {J} =\leftfac {nq^{2}\frac}{m}\right}\mathbf {E}.}

시변 분석

AC 전계에 대한 전류 밀도의 드러드 응답.

역학은 효과적인 항력을 도입하여 설명할 수도 있다. $시간$ t $= t 0$ + $dt$ 에서 전자의 운동량은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {p}(t_{0}+dt)=(1-{\frac {dt}{\frac }})[\mathbf {p}(t_{0})+\mathbf {f}(t^{2})]+{\frac {t}{f}(\f})

$\mathbf {f} (t)$ 서 f $\mathbf {f} (t)$ ( $)({displaystyle \mathbf {f}($ t $\mathbf {f} (t)$ )})는 반송파에 대한 일반적인 힘(예: 로렌츠 힘)으로 해석될 수 있습니다. $\mathbf {g} (t_{0})$ ( $\mathbf {g} (t_{0})$ 0 $\mathbf {g} (t_{0})$ ) { $displaystyle \mathbf {g}(t_{0})$ 는 $\mathbf {g} (t_{0})$ 충돌 후 임의의 방향( $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$ , 운동량 $\langle \mathbf {g} (t_{0})\rangle =0$ )을 갖는 반송파의 운동량입니다. $(\displaystyle \mathbf {g}(t_{0})\rangle =0$ 및 절대 운동 에너지

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

(

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

t 0

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

2 m

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

=

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

2

T

( \

displaystyle

\

frac

\

mathbf

{ g } (

t

_

{ 0

) \

rangle

^ {

2

m }

= fracac frac

{

3

} { 2 }KT

{\frac {\langle |\mathbf {g} (t_{0})|\rangle ^{2}}{2m}}={\frac {3}{2}}KT

평균적으로 1 $1-{\frac {dt}{\tau }}$ - d $1-{\frac {dt}{\tau }}$ ${\$ \ $displaystyle$ 1 - { \ $frac$ { $dt$ } { \ $tau$ }} $1-{\frac {dt}{\tau }}$ 의 $1-{\frac {dt}{\tau }}$ 전자가 다시 충돌하지 않습니다.충돌한 다른 부분은 랜덤 방향으로 나와 d ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ f ( t ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ d t f f ( $t$ ) t $\$ $display$ style에만 총 운동량이 기여합니다. $c {dt}$ {\ $mathbf {f}(t)dt}:$ 2차 ${\frac {dt}{\tau }}\mathbf {f} (t)dt$ .^{[note 13]}

약간의 대수와 d $({$ 의 $dt^{2}$ 를 떨어뜨리면 일반 미분 방정식이 됩니다.

{frac {d}{dt}}\mathbf {p}(t)=\mathbf {f}(t)-{\frac {mathbf {p}(t)}{\frac }

두 번째 항은 드러드 효과로 인한 추가 항력 또는 댐핑 항입니다.

정전계

$시간$ $t 0$ = t + $dt$ 에서 전자의 평균 운동량은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathbf {p}(t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\frac }}\right)\left(\displaystyle \mathbf {p}(t_{0})\right)\rangle +q\mathbf {E},d\right},

그리고 나서.

{\displaystyle {frac {d}{dt}}\mathbf {p}(t)\rangle = q\mathbf {E} - {\frac \mathbf {p}(t)\rangle },

여기서 ' $p'$ 는 평균 $운동량$ 과 q 전자의 전하를 나타냅니다.비균질 미분 방정식인 이것은 일반적인 해답을 얻기 위해 풀릴 수 있다.

\displaystyle \mathbf {p}(t)\rangle = q\display \mathbf {E}(1-e^{-t/\display})+\displayle \mathbf {p(0)} \rangle e^{-t/\display}}

p $(t)$ 의 경우.그 정상 상태 해결책,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}d ⟨p⟩/dt=0으로 그 다음은.

\displaystyle \mathbf {p} \rangle = q\display \mathbf {E} .}

위와 같이 평균 운동량은 평균 속도와 관련될 수 있으며 이는 전류 밀도와 관련될 수 있다.

\displaystyle \mathbf {p} \rangle = m\mathbf {v} \rangle ,}

\mathbf {J} =nq\displayle \mathbf {v} \rangle ,

그리고 이 물질은 직류 전도율 $θ$ 로₀ 옴의 $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ J $=$ $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ 0 $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ {\ $displaystyle \mathbf {J}$ =\ $display_{0}\mathbf {E} }$ 를 $\mathbf {J} =\sigma _{0}\mathbf {E}$ 만족한다는 것을 보여줄 수 있다.

_{0}=syslogfrac {nq^{2}\syslog }{m}

AC 필드

θ =

10 -5

및 θ =

1

이라고₀ 가정한 다양한 주파수에 대한 복잡한 전도율.

드루드 모델은 또한 각 주파수 $θ$ 를 갖는 시간 의존적 전기장에 대한 응답으로 전류를 예측할 수 있습니다.복잡한 전도성은

\displaystyle \displayfrac(\displaystyle_{0})={1-i\opera\displayfrac(\displaystyle_{0})={1-i\opera ^{2}\displayfrac(\displaystylack_{1-i\mega ^{0} ^{0})} ^{{2} } } } } }

여기에서는 다음과 같이 가정합니다.

(\displaystyle E(t)=\Re \left(E_{0}e^{i\Omega t}\right);}

\displaystyle J(t)=\Re \left(\displaystyle(\mega))E_{0}e^{i\omega t}\right)}

공학에서 i는 $일반적$ 으로 모든 방정식에서 -i( $또는$ -j)로 대체되며, 이는 시간을 이동하는 관측점에서의 지연이 아니라 원점에 대한 위상차를 반영합니다.

운동^{[note 14]} 방정식을 이용한 증명

정해진

\displaystyle \mathbf {p} (t)=\Re \left(\mathbf {p}(\omega)e^{-i\omega t}\right}

\displaystyle \mathbf {E}(t)=\Re \left(\mathbf {E}(\omega)e^{-i\omega t}\right}

그리고 위의 운동 방정식은

{frac {d}{dt}}\mathbf {p}(t)=-e\mathbf {E}-{\frac {mathbf {p}(t)}{\frac }

대용품

(\omega)=-e\mathbf{E}(\omega)-{\frac{\mathbf{p}(\omega)}{\tau}}}{\displaystyle-i\omega \mathbf{p}.

정해진

{\displaystyle \mathbf{j}=-ne{\frac{\mathbf{p}}{m}}}.

{\displaystyle \mathbf{j}(t)=\Re \left(\mathbf{j}(\omega)e^{-i\omega지}\right)}.

{\displaystyle \mathbf{j}(\omega)=-ne{\frac{\mathbf{p}(\omega)}{m}}={\frac{(ne^{2}/m)\mathbf{E}(\omega)}{1/\tau -i\omega}}}.

에서: 복잡한 도전율 요한다.

{\displaystyle \mathbf{j}(\omega)=\sigma(\omega)\mathbf{E}(\omega)}.

우리는 있습니다.

{\displaystyle \sigma(\omega)={\frac{\sigma_{0}}{1-i\omega \tau}};\sigma _{0}={\frac{{2ne^}\tau}{m}}}.

이 상상 속의 부분은 전기에 관한 들판 뒤에 현재는 후진국을 나타낸다.때문에 전자들이 약 1시간 τ 전기 분야에서 변화에 반응에 가속화될 필요가 있기 때문에 일어난다.여기 드루드 모형 전자로;그것은 전자와 홀 모두에게 적용될 수 있으나 반도체 분야에서 즉, 양전하는 통신사 적용된다.σ(ω)에 곡선은 그래프에 표시된다.

고체에 주파수 $\omega$ (\ $displaystyle\Omega)$ 의 $\omega$ 정현변 전계가 인가되면 음전하를 띤 전자는 양전하를 띤 배경으로부터 거리 x를 이동하는 경향이 있는 플라즈마로 작용합니다.그 결과, 샘플이 편광되어 샘플의 반대쪽 표면에서 과도한 전하가 발생합니다.

샘플의 유전율은 다음과 같이 표현됩니다.

\varepsilon = frac {D} {\varepsilon _{0}E}} = 1+{\frac {P}{\varepsilon _{0}E}}}

$D$ 서 D $(\displaystyle$ D $)$ 는 $D$ 전기 변위량이고P(\ $displaystyle$ P $)$ 는 $P$ 편광 밀도입니다.

편광 밀도는 다음과 같이 기술됩니다.

({displaystyle P(t)=\Re \left(P_{0}e^{i\Omega t}\right)}

그리고 n개의 전자 밀도를 가진 편광 밀도는

P=-nex

약간의 대수 후에 편광 밀도와 전계 사이의 관계는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

P=-{\frac {ne^{2}}{m\opega ^{2}}}E

고체의 주파수 의존 유전체 함수는 다음과 같습니다.

\displaystyle \varepsilon (\obega)=1-{\frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m\obega ^{2}}}

맥스웰 방정식을^{[note 15]} 사용한 증명

$\sigma (\omega )$ 의 $\sigma (\omega )$ ( $\sigma (\omega )$ \ $displaystyle \sigma$ ( \ $메가$ )에 $\sigma (\omega )$ 대한 근사치입니다.

전자장이 없다고 가정했다. 운동 방정식에서 로렌츠 $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ 항 - $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ c × $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ ${\$ {\ $frac {e\mathbf {p}}{mc}\times \mathbf {B}}$ 가 $-{\frac {e\mathbf {p} }{mc}}\times \mathbf {B}$ 추가될 경우 v/c 계수만큼 항상 작다.
우리는 공간적으로 균일한 장이라고 가정했다: 이 장은 전자의 몇 개의 평균 자유 경로에서 상당히 진동하지 않는 경우에 해당된다.이는 일반적으로 그렇지 않습니다. 평균 자유 경로는 X선의 전형적인 파장에 해당하는 앵스트롬의 순서입니다.

소스 없이 Maxwell 방정식이 주어졌을 때(플라즈마 진동 범위에서 별도로 처리됨)

\displaystyle \cdot \mathbf {E} = 0;\displayla \cdot \mathbf {B} = 0}

\times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\frac t};\displayla \times \mathbf {B} =displayfrac {4\pi } {c} {\frac} {c

그리고나서

\times \mathbf {E} =-\timela ^{2}\mathbf {E} =times \mathbf {B} =times \mathbf {i\times\mathbf} {c} =timefrac frac {i\time\f} {i\mathbf} {c} {c}

또는

\displaystyle \displayla ^{2}\mathbf {E} = displayfrac {{c^{2}}\left(1+{\frac {4\pi i\display}}}\mathbf {E}} }

이것은 유전율 $\epsilon (\omega )$ ( $\epsilon (\omega )$ ) { $displaystyle \silon$ ( \ $메가$ )}을 $\epsilon (\omega )$ (를) 헬몰츠 형태로 갖는 연속 균질 매체에 대한 전자파 방정식이다.

-\displayla ^{2}\mathbf {E} = scfrac {c^{2} \ ipsilon ( \ 메가 )\ mathbf {E

여기서 굴절률은 $n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}$ $n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}$ ( $)$ { $displaystyle$ n $(\obmega$ )} = $θrt(\$ displaystyle n $(\$ obmega $)}}$ 이고 $n(\omega )={\sqrt {\epsilon (\omega )}}$ $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$ 는 v $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$ $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$ n( $)$ { $displaystyle v_$ {p} = $displayfrac {c}{n(\obe$ frac {c $}}}}}}}}}$ 이므로 $v_{p}={\frac {c}{n(\omega )}}$ 복소 유전율은 다음과 같다.

(\displaystyle \ipsilon (\mega )=\left (1+{\frac {4\pi i\flac}{\ope }}}\right)

이 경우 $\omega \tau >>1$ $\omega \tau >>1$ > $\omega \tau >>1$ \ $displaystyle \ obega$ \ $>$ > $1$ 은 다음과 $\omega \tau >>1$ 같습니다.

{\displaystyle \ipsilon (\opha )=\left (1-{\frac {\rm {p}^{2}}{\rm ^{2}}\rm);\opha _{\rm {p}^2}=pic frac {4\pi ne^{2}}{m}}}}}}}\right)

플라즈마 주파수라고 불리는 공진 주파수 $\omega _{\rm {p}}$ p ${\$ _ ${\rm {p$ 에서 유전체 함수의 부호가 음에서 양으로 변화하고 유전체 함수의 실제 부분이 0으로 떨어집니다.

\displaystyle \mega _{\rm {p}}=sqrrt {frac {ne^{2}}{\varepsilon _{0}m}}}

플라즈마 주파수는 플라즈마 진동 공명 또는 플라즈마를 나타냅니다.플라즈마 주파수는 고체 내 원자가 전자 밀도의 제곱근에 대한 직접적인 측정으로 사용될 수 있습니다.관측된 값은 많은 ^[10]재료에 대한 이 이론적 예측과 합리적으로 일치합니다.플라즈마 주파수 이하에서는 유전체 함수가 음수이며 필드가 샘플을 투과할 수 없습니다.각 주파수가 플라즈마 주파수보다 낮은 빛은 완전히 반사됩니다.플라즈마 주파수 이상에서는 광파가 시료를 투과할 수 있습니다.일반적인 ^{[note 16]}예로는 자외선 범위에서 투명해지는 알칼리 금속이 있습니다.

금속의 열전도율

드루드 모형의 큰 성공 중 하나는 비데만-프랑츠 법칙의 설명입니다.이것은 드루드의 원래 계산에서 우연히 오류가 취소되었기 때문이다.드루드는 로렌츠 수의 값을 예측했습니다.

{\frac T}=frac {3}{2}\leftfrac {k_{\rm {B}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8},{\text{\text}W}}\Omega/{\text{K}}^{2}

실험치의 $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ 는 $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ 2~3 $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ × $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ / $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ 2 \ $display$ 2 - 3 \ $times$ 10^ { - $8$ } , { \ $text {$ $W}}\Omega /{\text{K}}^2}($ ^{[note 17]}섭씨 $2-3\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}$ 0~100도의 금속용).

파생 및 드러드의 오류^{[note 15]}

고체는 전자, 원자, 이온의 운동을 통해 열을 전도할 수 있다.도체는 자유 전자의 밀도가 높은 반면 절연체는 그렇지 않습니다. 이온은 둘 다 존재할 수 있습니다.금속의 양호한 전기 및 열전도율과 절연체의 낮은 전기 및 열전도율을 고려할 때 열전도율을 추정하는 자연스러운 시작점은 전도 전자의 기여도를 계산하는 것입니다.

열전류 밀도는 흐름과 수직인 단위 면적에 걸친 단위 시간당 열 에너지의 플럭스입니다.온도 구배에 비례합니다.

\mathbf {j} _{q}=-\kappa \displayla T

여기서 $\kappa$ (\ $displaystyle \kappa)$ 는 $\kappa$ 열전도율입니다.1차원 와이어에서 전자의 에너지는 로컬 온도에 따라 달라집니다 $\epsilon [T(x)]$ $\epsilon [T(x)]$ [ $\epsilon [T(x)]$ ( $\epsilon [T(x)]$ x ) $]{$ $display$ style \ $epsilon [ T$ ( x ) $\epsilon [T(x)]$ }정 $\epsilon [T(x)]$ x 방향으로 온도가 저하하는 온도 구배를 상상하면 평균 전자속도는 0(평균속도는 아님)입니다.높은 에너지 쪽에서 위치 x에 도달하는 전자는 $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ ( $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ - $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ ) $]{$ $displaystyle \varepsilon [ T$ ( x - $v$ \ $tau$ $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ ) $\varepsilon [T(x-v\tau )]$ $displaystyle \varepsilon [ T$ ( $x$ + $v$ $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ ) $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ }{ displaystyle \ v } $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ $\varepsilon [T(x+v\tau )]$ with with with with with with with 。전자와 $\tau$ (\ $displaystyle\displaystyle)$ 는 $\tau$ 마지막 충돌 이후 평균 시간입니다.

위치 x에서의 열 에너지의 순 플럭스는 왼쪽에서 오른쪽으로 통과하는 것과 오른쪽에서 왼쪽으로 통과하는 것의 차이입니다.

\displaystyle \mathbf {j} _{q} = flac {1} {2} {\{\ （ } \ v \ tau ） - \ varepsilon [ T ( x + v \ tau ) ]{ \ big } }

1/2 인자는 전자가 어느 방향으로든 똑같이 움직일 수 있다는 사실을 설명한다.x에서 플럭스에 기여하는 것은 절반뿐입니다.

$\ell =v\tau$ $\ell =v\tau$ v $\ell =v\tau$ = v $\ell =v\tau$ \ $displaystyle \ell$ = $\ell =v\tau$ v \ v \ v \ v $tau }$ ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ } ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ [ $T$ - ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ / ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ v ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ [ \ $displaystyle$ \ $big$ ( ） \ $varepsilon ]-Arepsilon$ [ T ( ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ x - v ${\big (}\varepsilon [T(x-v\tau )]-\varepsilon [T(x+v\tau )]{\big )}/2v\tau$ 이것으로 알 수 있다.

\displaystyle \mathbf {j} _{q} = paret^{2} \ frac { d \ varepsilon } { dT}}\cdot(-{\frac {dT}{dx}})

전자는 $(\displaystyle$ x $x$ $(\displaystyle$ y $y$ $및$ z(\ $displaystyle$ z $)$ 방향으로 $z$ 이동하기 $x$ 에 $x$ (\ $displaystyle$ x) 방향의 평균 제곱 속도는 $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ v x $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ v $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\tfrac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ \ $displaystyle v$ _ { $x }^2$ ⟩ \ $rangle$ = $tfrac$ { \ $tfrac$ { \ 3 $}$ 입니다. $n{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {N}{V}}{\frac {d\varepsilon }{dT}}={\frac {1}{V}}{\frac {dE}{dT}}=c_{v}$ $T}}=black {N}{V}}{\flac {d\varepsilon}{d$ $T}} = flac {1} {V}} {\frac {dE} {d$ $T}}=c_{v$ $c_{v}$ 서 $c_{v}$ v $c_{v}$ {\ $displaystyle c_{v}$ 는 $c_{v}$ 재료의 비열 용량입니다.

이 모든 것을 종합하면 열 에너지 전류 밀도는

\displaystyle \mathbf {j} _{q}=-{\frac {1}{3}}v^{2}\display c_{v}\displayla T}

이는 열전도율을 결정합니다.

\displaystyle \kappa = vfrac {1}{3}}v^{2}\display c_{v}

(이 도출은 속도 v의 온도 의존성, 즉 위치 의존성을 무시합니다.이것은 평균 자유 경로와 동등한 거리에 걸쳐 온도가 급격하게 변화하지 않는 한 중대한 오류를 발생시키지 않습니다.)

$\kappa$ ${\$ {\ $displaystyle \kappa$ }를 $\kappa$ 전기전도율 $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ $=$ $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ 2 ${\$ m $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ { $displaystyle$ \ $display$ } = $frac$ { ne $^ {$ 2}\display } { $m}$ }으로 $\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}$ 나누면 $\tau$ ${\$ {\ $displaystyle$ \ $display$ }이 $\tau$ 없어집니다.

(\displaystyle {\frac } {\frac } = flac {c_{v} mv^{2}} {3ne^{2}} )

이 시점에서 드루드는 현재 오류로 알려진 두 가지 가정을 세웠습니다.먼저 $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ v $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ B ({ $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $c_{v}={\tfrac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $c_{v$ } = tfrac {3} }) $fr$ _ ${\rm {B$ )의 고전적인 결과를 이용했다.이것은 비열용량에 대한 전자적 기여도를 약 100배 과대평가한 것이다.둘째, 드루드는 전자에 대해 1 ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$ v ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$ ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$ ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$ ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {3}{2}}k_{\rm {B}}T$ B $(표시$ 스타일 { $tfrac$ {1 $}{2}} mv^{2$ } = $420tfrac {3}k_{\rm$ { $B}T$ 라는 고전적인 평균 제곱 속도를 사용했다.이것은 전자의 에너지를 대략 100배 정도로 과소평가한다.이 두 가지 오류를 상쇄하면 금속 전도율에 상당히 근접하게 됩니다.이 두 추정치 외에도 드루드는 통계 오류를 범하여 충돌 간 평균 시간을 2배로 과대 추정했다.이러한 오차들의 합치는 로렌츠 숫자에 매우 가까운 값을 제공했습니다.

드루드 모델에서 추정된 로렌츠 숫자의 정확한 값은 다음과 같습니다.

{\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}

W}}\Omega /{\text{K}}^{

2

{\frac {\kappa }{\sigma T}}={\frac {3}{2}}\left({\frac {k_{\rm {B}}}{e}}\right)^{2}=1.11\times 10^{-8}\,{\text{W}}\Omega /{\text{K}}^{2}

^{[주 18]}

서모파워

실험이 개방 회로 방식으로 수행될 경우, 얇은 막대에서 전원을 켤 때 일반적인 온도 구배는 낮은 온도 측으로 전자의 전류를 트리거합니다. 이 전류가 전류에 대항하는 전계를 생성하면서 해당 측에 축적됩니다.이 필드를 열전장이라고 합니다.

\mathbf {E} = Q\nabla T

Q는 서모파워라고 불립니다.드루드의 추정치는 특정 열에 대한 직접적인 의존성을 고려할 때 100 낮은 계수이다.

Q=-{\frac {c_{v}}{3ne}=-{\frac {k_{\rm {B}}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}}/{\text{K}}}}}

상온에서 일반적인 열전원은 마이크로프로세서보다 100배 작습니다.^{[note 19]}

드러드^{[note 20]} 오류와 함께 입증

심플한 1차원 모형에서

{displaystyle v_{Q}=frac {1}{2}}[v(x-v\flac)-v(x+v\flac)]=-\frac {dv}{flac}=-\frac {v2}{2}}\flac {v}\fright}

자유도 3까지 확장 $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ 2 $\langle v_{x}^{2}\rangle ={\frac {1}{3}}\langle v^{2}\rangle$ { $displaystyle$ \ $sclle$ v $_$ { $x }^{2$ } \ $rangle$ = $sclac$ { $1} {$ 3} \ $sclacle$ v $^{2$ } \ $rangle }$

\displaystyle \mathbf {v_{Q} =-{\frac {dv^{2}}{dT}}(\nabla T)}

전기장으로 인한 평균 속도(위의 평형 운동 방정식이 주어짐)

\displaystyle \mathbf {v_{E}} =-{\frac {e\mathbf {E} \mathbf }{m}}

총 $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ v $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ + $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ Q $=$ $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ (\ $displaystyle \mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0})$ 을 $\mathbf {v_{E}} +\mathbf {v_{Q}} =0$ 가지려면 다음과 같이 합니다.

Q=-{\frac {1}{3e}}{\frac {d}{dT}}\left({\frac {mv^{2}}{2}}\오른쪽)=-{\frac {c_{v}}}{3ne}}

드루드 $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ 의 경우와 마찬가지로 c $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $=$ $c_{v}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$ $({$

Q=-{\frac {k_{\rm {B}}{2e}}=0.43\times 10^{-4}{\text{V}}/{\text{K}}}

여기서 상온에서 일반적인 열전원은 ^{[note 19]}마이크로볼트보다 100배 작습니다.

실제 재료에 대한 즉응성

Drude 금속의 시간 또는 주파수 영역에서의 특징적인 거동, 즉 시간 상수 $θ$ $또는$ 위에서 $설명$ 한 $θ($ θ)에 대한 주파수 의존성에 의한 지수 완화, 즉 Drude 응답이라고 한다.기존의 단순한 실제 금속(예를 들어 상온에서 나트륨, 은 또는 금)에서는 특성 주파수 $θ$ 가⁻¹ 적외선 주파수 범위에 있기 때문에 그러한 거동은 실험적으로 발견되지 않는다. 이 경우 드루드 모델에서는 고려되지 않는 다른 특징(밴드 구조 등)이 중요한 ^[11]역할을 한다.그러나 금속 성질을 가진 다른 특정 재료의 경우, 주파수 의존 전도율이 $δ (θ)$ 에 대한 단순한 드루드 예측을 밀접하게 따르는 것으로 확인되었다.완화율 $θ$ 가⁻¹ 훨씬 낮은 주파수인 ^[11]소재입니다.특정 도프된 반도체 단결정,^[12] 고이동성 2차원 전자 가스 ^[13]및 중금속 ^[14]등이 이에 해당합니다.

모델의 정확성

역사적으로 드루드 공식은 처음에 전하 캐리어가 고전적인 이상 가스를 형성한다고 가정함으로써 제한된 방식으로 도출되었습니다.Arnold Sommerfeld는 양자이론을 고려했고 이론을 자유 전자 모형으로 확장했고, 여기에서 운반체는 페르미-디락 분포를 따릅니다.예측된 전도율은 전자 속도 분포의 형태에 의존하지 않기 때문에 드루드 모델과 동일합니다.

드루드 모델은 금속의 DC 및 AC 전도율, 홀 효과 및 상온 근처의 금속의 자기 저항을^{[note 13]} 매우 잘 설명합니다.이 모형은 또한 1853년의 비데만-프랑츠 법칙을 부분적으로 설명한다.그러나 금속의 전자 열 용량을 크게 과대평가합니다.실제로 금속과 절연체의 열 용량은 상온에서 거의 동일합니다.

이 모델은 양(홀) 전하 캐리어에도 적용할 수 있습니다.

드루드는 원래 논문에서 로렌츠 비데만-프란츠 법칙의 수를 고전적으로 추정해야 할 것의 두 배라고 추정하는 오류를 범했고, 따라서 비열의 실험 값과 일치하는 것처럼 보였다.이 수치는 기존의 예측보다 약 100배 작지만, 이 인수는 드루드의 ^{[note 21]}계산보다 약 100배 큰 평균 전자 속도로 상쇄됩니다.

「」를 참조해 주세요.

인용문

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레퍼런스

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일반

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외부 링크

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v t 원자 모형
단일 원자	달튼 모델(빌리어드 볼 모델) Lewis 모델(입방체 원자 모델) 나가오카 모델(토성 모델) Rutherford 모형(행성 모형) Bohr 모형(Rutherford-Bohr 모형) Bohr-Sommerfeld 모델(정제 Bohr-Sommerfeld 모델 그리진스키 모델(프리폴 모델) Schrodinger 모형(전자 구름 모형) 디락-고든 모델(상대론적 원자 모형) Thomson 모형(플럼 푸딩 모형) 원자의 소용돌이 이론(Knot 모델)
고체 중의 원자	아인슈타인 고체 데비 모형 드러드 모형 자유 전자 모형 거의 자유로운 전자 모형 밴드 구조 밀도 함수 이론
유체 중의 원자	이상 기체 반데르발스 가스 뉴턴 유체 보스-아인슈타인 응축수 페르미 가스
과학자	펠릭스 블로흐 닐스 보어 사틴드라 나스 보스 존 달튼 피터 데비 폴 디락 폴 드루드 알버트 아인슈타인 월터 고든 미하우 그리진스키 어빙 랭뮤어 길버트 N루이스 나가오카 한타로 아이작 뉴턴 어니스트 러더퍼드 에르빈 슈뢰딩거 아르놀트 소머펠트 J. J. 톰슨 요하네스 디데리크 판 데르 발스
카테고리:원자 포털:물리/화학

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역사

전제 조건

수학적 처리

DC 필드

시변 분석

정전계

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금속의 열전도율

서모파워

실제 재료에 대한 즉응성

모델의 정확성

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