필터 정량화기

수학에서 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 필터는 비공식적으로$$ A${\displaystyle }$ets ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$이(가) "크다"는 개념을 제공한다.필터 정량자는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 "대부분" 요소에 대해 비공식적으로 문장이 참인지 여부를 말하는 논리 정량자의 일종이다$.$ 이러한 정량자는 조합론, 모델 이론(초음속 처리 시 등), 그리고 (초음속) 필터가 사용되는 다른 수학적 논리 분야에서도 종종 사용된다.

배경

Here we will use the set theory convention, where a filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on a set ${\displaystyle X}$ is defined to be an order-theoretic filter in the poset ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$, i.e. a subset of ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ such t모자:

• ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \notin }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ 및$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\displaystyle$ X\$in {\$mathcal ${F$
• 모든 $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ F ${\${$F$$}$에 대해$,$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$ A$\cap$B\$in${\$mathcal$
• 모든 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A$${\$subseteq B$\$$subseteq X}$에 대해$,$ ${\displaystyle 만약\mathcal{}}$ $style$F${\$$displaystyle$ A\in ${\mathcal$ {$F}$인 경우, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ F ${\displaystystyle B\in$ {$F$

Recall a filter ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ on ${\displaystyle X}$ is an ultrafilter if, for every ${\displaystyle A\subseteq X}$, either ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ or ${\displaystyle X\setminus A\in {\mathcal {F}}}$.

}}집합 X{X\displaystyle}에 필터를 F{\displaystyle{{F\mathcal}을 감안하여, 우리는 한⊆ X{\displaystyle A\subseteq X}은 F{\displaystyle{{F\mathcal}하위 집합}}-stationary 만약, 모든 BF∈{\displaystyle B\in{{F\mathcal}에}}, 우리는 한∩ B를 보유하고 있≠ ∅{\displaystyle A\cap B\neq \varnothing}이라고 말한다.[1]

정의

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $세트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 필터로$$ 설정$.$ 필터 수량자 $\forall {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ F ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \forall _{\mathcal$$\exists$$$$_{\mathcal {F}x}$을 다음과 같은 해석의 공식 논리 기호로$$ 정의한다.

${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}x\\varphi(x)\iff \{x\in X:\varphi(x)\}\in {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\exists }}_{F\mathcal{}}}$ ${\displaystyle x_{}\text{φ}}$(${\displaystyle x)\{}$ x ${\displaystyle \in }$ X :${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle x)\}}$ ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}x\\varphi (x)\iff \{x\in$ X$:\varphi$ $(x)\}}$는 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -sty$$}

자유 변수가 하나 $있는{\displaystyle }$ 모든$$ ${\displaystyle \mathrm{1차}}$ 공식$\$ ( x ) {\$displaystyle$\varphi ($x)}$에 대해.이들은 또한 다음과 같이 대체 정의를 인정한다.

${\displaystyle \forall_{\mathcal {F}x\\varphi (x)\iff \exists A\in {\mathcal {F}\\\forall x\in A\\\varphi (x)}$

${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}x\\varphi (x)\iff \all A\in {\mathcal {F}\\\exists x\in A\\\\\varphi (x)}$

$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 울트라필터일$$ 때 위에서 정의한 두 정량자가 일치하며, 대신 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ x ${\displaystyle {\mathcal {F}$라는 표기법을 자주 사용할$$ 것이다.Verbally, we might pronounce ${\displaystyle {\mathcal {F}}x}$ as "for ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-almost all ${\displaystyle x}$", "for ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$-most ${\displaystyle x}$", "for the majority of ${\displaystyle x}$ (according to ${\displaystyle {\m$$atscal {F}}"$ 또는 "대부분 $x{\displaystyle }${\$displaystyle$x}$$에 대해"($$$F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${\$mathcal {F}$에 따름).필터가 분명한 경우에는 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 언급을 생략할 수 있다$.$

특성.

필터 수량자${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ifiers ${\displaystyle {F\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\forall _{\mathcal{F}x}$ 및$$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$$∃$ ${\displaystyle F_{}}$ x ${\displaystyle \exists$ ${\mathcal{F$$}x$$}$는 모든 공식에 대해 다음과 같은 논리적 정체성을 만족한다$.$^[1]

• 이중성: $\forall {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {F\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle \phi }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {F\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle x_{}\mathrm{}\phi \phi }$ ( x${\displaystyle }$)$${ {\$displaystyle \forall _{\mathcal{F}x\\varphi (x)\iff \exists _{\mathcal {F}x}\neg \varphi (x)}$
• Weakening: ${\displaystyle \forall x\ \varphi (x)\implies \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\implies \exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\implies \exists x\ \varphi (x)}$
• 접속사:
  • ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\land \psi (x){\big )}\iff {\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\land {\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
  • ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\land \psi (x){\big )}\implies {\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\land {\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
• 분리:
  • ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\lor \psi (x){\big )}\;\Longleftarrow \;{\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\lor {\big (}\forall _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
  • ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\lor \psi (x){\big )}\;\Longleftrightarrow \;{\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\lor {\big (}\exists _{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
• $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle G\mathcal{}}$ ${\$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 필터인$$ 경우$,$ 다음 작업을 수행하십시오.
  • ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}x\\varphi(x)\implies \forall_{\mathcal {G}x\\varphi(x)}$
  • ${\displaystyle \exists _{\mathcal {F}x\\varphi(x)\\Longleftarrow \\exists _{\mathcal {G}x\\varphi(x)}$

만약 F{\displaystyle{{F\mathcal}}}은 ultrafilter 또한, 두 필터 quantifiers:∃ F)()){\displaystyle \forall_{{\mathcal F}φ∀ F)}())⟺ φ x\\varphi())\iff \exists}이 기호 F){\displaystyle{\mathca Renaming .[표창 필요한]}x\\varphi())_{{F\mathcal}가 일치한다.나는{F}}x}, following 속성 고정:

• 부정: $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle ⟺\mathrm{}}$ F ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \text{¬}\mathrm{}\phi }$ ( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal {F}x\\varphi (x)\iff \neg {\mathcal {F}x\\\neg \varphi (x)}$
• 약화: $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$⟹ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \text{φ}}$ ${\displaystyle ⟹\mathrm{}}$x x x ${\displaystyle x)}$ { { { { { ${$ { { $\disply style \forall$ x\varphi ($x)\$mathcal {$F}x}\varphi \exists x$ $\varphi (x)}$
• Conjunction: ${\displaystyle {\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\land \psi (x){\big )}\iff {\big (}{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\land {\big (}{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$
• Disjunction: ${\displaystyle {\mathcal {F}}x\ {\big (}\varphi (x)\lor \psi (x){\big )}\iff {\big (}{\mathcal {F}}x\ \varphi (x){\big )}\lor {\big (}{\mathcal {F}}x\ \psi (x){\big )}}$

일반적으로 필터 정량자는 서로 통근하지 않으며, 일반적인 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \forall}$ 및${\displaystyle \mathrm{}}$and$$ ${\displaystyle \exists }$정량자와$$ 통근하지 않는다.^{[citation needed]}

예

• If ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\}}$ is the trivial filter on ${\displaystyle X}$, then unpacking the definition, we have ${\displaystyle \forall _{\mathcal {F}}x\ \varphi (x)\iff \{x\in X:\varphi (x)\}=X}$, and ${\displaystyle {\mathrm{\exists }}_{\mathcal{F}}x\phi (x)⟺\{x\in X:\phi (x)\}}$${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle \exists _${\$mathcal {F}x\\varphi$ (x)\$iff \{x\in$ X$:\varphi (x)\cap X\neq \$$varnothing }}}.$ 이렇게$$ 하면 일반적인 $\forall {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystytype \existers }$정량자가$$ 복구된다$.$
• Let ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\infty }}$ be the Fréchet filter on an infinite set ${\displaystyle X}$. Then, ${\displaystyle \forall _{{\mathcal {F}}^{\infty }}x\ \varphi (x)}$ holds iff ${\displaystyle \varphi (x)}$ holds for cofinitely many ${\displaystyl$$ex\in$ X$}$및 $\exists {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {F{\mathcal{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\infty }^{\mathrm{}}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle \text{φ}}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \exists _{\mathcal{F}^{\\infit }}}}}}}\$$varphi (x)}$는 ifff $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$$displaystystyle$$$${\displaystyle x}${\$x\in$ X$}$를 $무한히$ 보유한다$.$The quantifiers ${\displaystyle \forall _{{\mathcal {F}}^{\infty }}}$ and ${\displaystyle \exists _{{\mathcal {F}}^{\infty }}}$ are more commonly denoted ${\displaystyle \forall ^{\infty }}$ and ${\displaystyle \exists ^{\infty }}$, respectively.
• Let ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ be the "measure filter" on ${\displaystyle [0,1]}$, generated by all subsets ${\displaystyle A\subseteq [0,1]}$ with Lebesgue measure ${\displaystyle \mu (A)=1}$. The above construction gives us "measure quantifiers": ${$$\displaystyle \forall _{\mathcal {M}}x\ \varphi (x)}$ holds iff ${\displaystyle \varphi (x)}$ holds almost everywhere, and ${\displaystyle \exists _{\mathcal {M}}x\ \varphi (x)}$ holds iff ${\displaystyle \varphi (x)}$ holds on a set of positive measure.^[2]
• Suppose ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$ is the principal filter on some set ${\displaystyle A\subseteq X}$. Then, we have ${\displaystyle \forall _{{\mathcal {F}}_{A}}x\ \varphi (x)\iff \forall x\in A\ \varphi (x)}$, and ${\displaystyle {\mathrm{\exists }}_{{\mathcal{F}}_A}x\phi (x)⟺}$${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \text{A}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \exists _{{\mathcal{F}_{A}x\\varphi (x)\iff \exists$ x$\in$ A$\\\\varphi (x)}$.
  • If ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}}$ is the principal ultrafilter of an element ${\displaystyle d\in X}$, then we have ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}\,x\ \varphi (x)\iff \varphi (d)}$.

사용하다

필터 정량자의 효용성은 종종 특정한 수학적인 생각을 표현하기 위한 보다 간결하거나 명확한 방법을 제공한다는 것이다.예를 들어, 실제 값 시퀀스의 정합화 정의: 시퀀스${\displaystyle }$(${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_n}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {N\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {\subseteq }_{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$\mathb ${N}}\subseteq \mathb {R}이($가) ${\displaystyle \in }$ $R{\displaystyle }$ ${\$인 지점에 수렴한다$$.

$\displaystyle \for \varepsilon >0\ \exists N\in \mathb{N} \forall n\mathb{N}\\\\big (}\\\geq N\implies \vert a_{n}-a\vert <\varepsilon \{\\\\\\\\big )}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

위에서 정의한 대로$$ Frechet 정량자${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ifier${\$를 사용하여 보다 나은(동일한) 정의를 내릴 수 있다.

$\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \forall ^{\inful }n\in \mathb {N}:\vert a_{n}-a-\vert <\varepsilon }}}$

필터 정량자는 특히 필터를 포함하는 구성에서 유용하다.예를 들어 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 정의된$$ 이진 연산${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$이(가) 있다고$$ 가정해 보십시오.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 있는 $세트$인 β X ${\displaystyle$$\backslash {\displaystyle }$beta X}까지 + {\displaystyle $+}$을^[3](를) 자연스럽게$$ 확장하는 방법이 있다$.$^[4]

${\displaystyle {\mathcal {U}\oplus {\mathcal {V}={\big \{}}A\subseteq X:\ {\mathcal {U}x\\\mathcal {V}y\\ x+y\in A{\big \}}}$

초여과기 정량기를 이해하면 이 정의는 합리적으로 직관적이다.It says that ${\displaystyle {\mathcal {U}}\oplus {\mathcal {V}}}$ is the collection of subsets ${\displaystyle A\subseteq X}$ such that, for most ${\displaystyle x}$ (according to ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$) and for most ${\displaystyle y}$ (according to ${\displaystyle$${\mathcal{V}}),$ ${\displaystyle \mathrm{합계}}$ $x{\displaystyle }$+ y ${\displaystyle$ x$+y}$이(가) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 있음$.$ 이 값을 초여광기 정량자가 없는 동등한 정의와 비교:

${\displaystyle {\mathcal {U}\oplus {\mathcal {V}={\big \{}}A\subseteq X:\{x\in X:\\{y\in X:\\in x+y\}\in {\mathcal {V}\in {\mathcal {U}{\big \}}}}}}}}$

이것의 의미는 훨씬 덜 분명하다.

이러한 증가된 직관은 초여과기 관련 증거에서도 명백하다.예를 들어$,{\displaystyle }$ + ${\$$displaystyle +}$이$($가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\oplus }$의 첫 번째 정의를 사용하여 X ${\displaystyle$ \$oplus }$에 연관되어 있는$$ 경우$,$ $\oplus {\displaystyle }$ ${\displaysty \$$oplus$ }이$($가) $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\\displaystystytytytytytype$\bepecta beta X}에 연관되어 있음을 사소한 방식으로 증명하는 것은 훨씬 많은 작업이 필요하다$.$^[5]

참고 항목

• 필터
• 울트라필터
• 일반화 계량기
• 스톤-체흐 콤팩트화

참조