슈필라진 확장 정리

순서론에서는 1930년 에드워드 스즈필라진에 의해 증명된 스필라즈 확장 정리(순서-확장 원리라고도 함)^[1]는 모든 엄격한 부분 순서가 총 순서에 포함되어 있다고 기술하고 있다.직관적으로 정리는 일부 쌍을 비교할 수 없게 하는 원소를 비교하는 어떤 방법도 모든 쌍이 비교가 될 수 있는 방식으로 확장될 수 있다고 말한다.그 정리는 어떤 성질을 가진 최대 집합체를 찾기 위해 조른의 보조정리 형태로 선택 공리를 사용한 많은 예들 중 하나이다.

정의 및 문

A binary relation ${\displaystyle R}$ on a set ${\displaystyle X}$ is formally defined as a set of ordered pairs ${\displaystyle (x,y)}$ of elements of ${\displaystyle X,}$ and ${\displaystyle (x,y)\in R}$ is often abbreviated as ${\displaystyle xRy.$$}$

A relation is reflexive if ${\displaystyle xRx}$ holds for every element ${\displaystyle x\in X;}$ it is transitive if ${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRz}$ imply ${\displaystyle xRz}$ for all ${\displaystyle x,y,z\in X;}$ it is antisymmetric if ${\displaystyle xRy\text{and}}$${\displaystyle xRy{\text{ and }}yRx}$ imply ${\displaystyle x=y}$ for all ${\displaystyle x,y\in X;}$ and it is a connex relation if ${\displaystyle xRy{\text{ or }}yRx}$ holds for all ${\displaystyle x,y\in X.}$ A partial order is, by definition, a reflexive, transi3차원 및 대칭 관계전체 주문은 부분적인 주문으로 연결된다.

A relation ${\displaystyle R}$ is contained in another relation ${\displaystyle S}$ when all ordered pairs in ${\displaystyle R}$ also appear in ${\displaystyle S;}$ that is,${\displaystyle xRy}$ implies ${\displaystyle xSy}$ for all ${\displaystyle x,y\in X.}$ The extension 정리는 반사적, 전이적 및 대칭적(즉, 부분적 순서)인$$ 모든 관계 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 반사적, 전이적, 비대칭적 및 연결(즉, 전체 순서)인$$ 다른 $관계{\displaystyle }$ S$${\$displaystystyle S}$에 포함되어 있다고 명시하고 있다.

증명

그 정리는 두 단계로 증명된다.첫째, 부분 순서가 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$와 $y{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$을(를) 비교하지 않으면 먼저$$ 쌍$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y)}$을 추가한 다음$$ transitive closure를 수행하면 확장될 수 있으며, 둘째, 이 작업에서는 원래 순서를 엄격히 포함하며 적용할 수 있기 때문이다.o 비할 수 없는 원소의 모든 쌍, 모든 원소의 쌍이 비교 가능하게 만들어진 관계가 존재한다.

첫 번째 단계는 예비 보조정리로서 증명되는데, 한 쌍의 $원소{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$와 $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$가 비교할$$ 수 없는 부분적인 순서를 변경하여 비교 가능하게 한다.이 작업은 먼저 $쌍{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ y$${\$displaystyle xRy}$을$($를) 관계에 추가한 다음, ${\displaystyle 모든}$ 쌍 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ ${\displaystyle \mathrm{qRp}.}$ ${\displaystyle qRx{\text{}, }yRp$}을$$(를) 추가하여 Transitability를 복원한다.$}$ {\$displaystyle x}$ 및 $y$, ${\displaystyle y}$의 단일 쌍에서 이$$ 작업을$$ 수행하며, 여전히 반사적이고, 비대칭적이며, 타동적이며, 원래 요소를 엄격히 포함하는 관계를 생성한다.

다음으로, $포함$에 의해$$$$정렬된 R , {\$displaystyle R}$을 포함하는 부분 주문의 포셋은 최대 요소를 가지고 있음을 보여준다.이러한 최대 원소의 존재는 이 양식에 조른의 보조마법을 적용함으로써 증명된다.이 포셋의 체인($)$은 R {\$displaystyle$ R$}$을(를) 포함하는 관계 집합으로, 이러한$$ 관계 중 어떤 두 가지가 주어지면 다른 관계에도 하나가 포함된다.

조른의 보조마법을 적용하기 위해서는 모든 체인이 포셋에 상한을 가지고 있음을 보여 주어야 한다.$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 그런 체인으로 하고$$, 그 요소들의 결합인 $\bigcup {\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}$이(가) 포셋에 $있는$ C ${\$에 대한 상한임을$$ 보여주어야 한다.${\displaystyle }$$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle {\mathcal$ ${$$C}$의 모든 요소는 $R{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$$$R$.}$을(를) 포함하는 부분 ${\displaystyle 순서}$이므로 C ${\$ R}이$($가) 원래 관계 R $\{\backslash {\displaystyle }$$displaystystyle$ $\bigcup$ {\$mathc}$을(가)로 표시한다$$.Suppose that ${\displaystyle (x,y)}$ and ${\displaystyle (y,z)}$ are in ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}},}$ so that there exist ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {C}}}$ such that ${\displaystyle (x,y)\in S{\text{ and }}(y,z)\in T.}$Since ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ is a chain, either ${\displaystyle S\subseteq T{\text{ or }}T\subseteq S.}$ Suppose ${\displaystyle S\subseteq T;}$ the argument for when ${\displaystyle T\subseteq S}$ is similar.Then ${\displaystyle (x,y)\in T.}$ Since all relations produced by our process are transitive, ${\displaystyle (x,z)}$ is in ${\displaystyle T}$ and therefore also in ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}.}$ Similarly, it can be shown that ${\displaystyle \bigcup {\mathcal$${C}}$은(는) 대칭이다.

따라서 조른의 보조정리기로 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $R$$}$을(를) 포함하는 부분 주문 집합은 최대 $요소{\displaystyle }$ Q${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ Q$,}$을(를) 가지며$$$$, $Q{\displaystyle }${\$displaystyle$Q}이$$(가) 합계라는 것만 보여 준다.실제로 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$이(가) 비할 수 없는 요소 쌍을 가지고$$ 있다면 첫 번째 단계의 프로세스를 그것에 적용하는 것이 가능하여, $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ R$}$을(를) 포함하고$$ Q${\displaystyle }$, ${\displaysty$ Q$}$을(를) 엄격히 포함하는 또 다른 엄격한 부분 순서가 Q ${\displaystyty$ Q$}$이 최대라는 것을 부정한다$$$$.${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ Q ${\displaystyle Q}$은(는) $R{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle R,}$을(를) 포함하는$$ 총 주문이다.

기타 확장명 정리

화살은 모든 사전 주문(반복적, 전이적 관계)을 총 사전 주문(전환적, 연결적 관계)으로 확장할 수 있다고 진술했고, 이러한 주장은 나중에 한손에 의해 증명되었다.

Suzumura는 Suzumura가 일관성이 있는 경우에만 2진수 관계가 전체 사전 주문으로 확장될 수 있다는 것을 증명했다. 즉, 연속 원소의${\displaystyle \mathrm{모든}}$쌍${\displaystyle (x}$ , y , ,${\displaystyle }$, ,$${\$displaystyle xRy})$에 대해 x ${\displaystyle \mathrm{Ry}}$ ${\displaysty xRy}$과 같은 원소의 주기가 없으며, 연속$$ 원소의 일부 쌍$({\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)이 있다는 것을 의미한다.${\displaystyle }$$y{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle yRx}$이(가) 유지되지$$ 않는 주기의$$ ${\displaystyle(x,y)}$

참고 항목

• 선형 확장 – 부분순서의 수학적 순서

참조