하우스도르프 최대 원리

수학에서 하우스도르프 맥심원리는 1914년(모어 1982:168) 펠릭스 하우스도르프가 입증한 조른의 보조정리(Moore 1982:168)의 대체적이고 초기 제형이다.그것은 부분 순서 집합에서, 모든 완전 순서 집합은 완전 순서 집합의 최대 순서에 포함된다고 명시하고 있다.

하우스도르프 최대 원리는 ZF보다 선택의 공리(선택의 공리 없는 제르멜로-프라엔켈 집합론)에 상당하는 많은 문장 중 하나이다.이 원리는 하우스도르프 최대성 정리 또는 쿠라토프스키 보조정리(켈리 1955:33)라고도 한다.

성명서

Hausdorff maximal 원칙은 부분 순서 집합에서 모든 완전 순서 하위 집합이 완전 순서 하위 집합(어떤 식으로든 확대된 경우 완전 순서 하위 집합은 완전한 순서가 유지되지 않는 완전 순서 하위 집합)에 포함된다고 명시한다.일반적으로 주어진 완전 주문 서브셋을 포함하는 완전 주문 서브셋이 많을 수 있다.

Hausdorff maximal 원리의 등가 형태는 모든 부분 순서에 maximal all ordered subset이 존재한다는 것이다.이 진술이 원래 형태에서 따온다는 것을 증명하기 위해 A를 부분 주문 집합으로 한다.그러면${\displaystyle }$∅ ${\displaystyle \varnothing }$이(가) 완전히 A의 부분 집합이므로, $\varnothing {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varnothing }$을(를) 포함하는 전체 순서 하위 집합이 존재하므로$,$ 특히 A는 전체 순서 하위 집합의 최대값을 포함한다.반대 방향의 경우 A를 부분 주문 집합으로 하고 T는 완전히 주문된 A의 부분 집합으로 한다.그러면

${\displaystyle \{S\mid T\subseteq S\subseteq A{\mbox{와 S가 완전히 주문됨}\}}}$

세트포함 $\subseteq {\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$에 의해 부분적으로 정렬되므로 완전하게 정렬된 부분집합 P의 최대값을 포함한다$.$그런 다음 설정된 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 원하는 속성을 충족하십시오$$.

하우스도르프 맥심원리가 조른의 보조정리 원리와 동일하다는 증거는 이 증거와 매우 유사하다.

예

A가 어떤 집합의 집합인 경우, A에 대한 "적절한 부분 집합" 관계는 A에 대한 엄격한 부분 집합이다.A가 평면에 있는 모든 원형 영역(원 내부)의 집합이라고 가정한다.A의 완전 주문형 서브컬렉션 1개는 원점에 중심이 있는 모든 원형 영역으로 구성된다.완전히 순서가 지정된 또 다른 최대 하위 수집은 원점에서 우측에서 y축까지 접선되는 원들로 둘러싸인 모든 원형 영역으로 구성된다.

(x₀, y₀)와 (x₁, y₁)가 평면 ℝ의² 두 점이라면 (x₀, y) < (x₁₀, y) 만약₀₁ y = y₁, x < x를₀₁ 정의한다.이는 두 점이 동일한 수평선에 놓여 있을 경우에만 비교 가능한 ℝ의² 부분 순서다.완전히 순서가 정해진 최대 세트는 ℝ의² 수평선이다.

참조

• 존 켈리(1955년), 본 노스트랜드의 일반 위상.
• 그레고리 무어(1982년), 제르멜로의 선택 공리 스프링거.
• 제임스 뮌크레스(2000), 토폴로지, 피어슨.