오더 위상(기능분석)

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수학에서 특히 순서 이론과 기능 분석에서 순서 벡터 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$의 순서 위상은 $모든$ 순서$$간격이 $경계$되는 X {\$displaystyle X}$에서 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간(TV) 위상 위상 중 가장 우수한 $것$이다$.$$le$ X$}$은(는) ${\displaystyle 형식}{\displaystyle }$[ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$: ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle z}$와 z ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$의 집합이다.$=\\왼쪽\{z\in$ X$:a\leq z{\text{}$및$}z\leq b\right\}}}$이$($가$)$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ $b$$}$에 속함$$

순서 위상은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가)부터$$ 시작되는 어떤 위상이 아닌$$${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle (X,\leq )}$의 대수학과 순서 이론적 속성에서 직접 유래하기 때문에 순서 위상 벡터 공간 이론에서 자주 사용되는 중요한 위상이다.이를 통해 이${\displaystyle }$위상과 (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$)의 대수학 및 순서 이론적 특성 사이에 친밀한 연결을 설정할 수 있다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle (X,\leq )}$ 분석에서 발생하는 많은 순서 위상 벡터 공간의 경우$$ 위상은 순서 위상과 동일하다.^[2]

정의들

$모든{\displaystyle }$ 주문 간격이 경계되는 X$$ ${\displaystyle X}$의 모든 로컬 볼록 토폴로지의 패밀리는 비어 $있지{\displaystyle }$ 않으며$(X$ {\displaystyle $X$에서 가능한 가장 강력한 토폴로지를 포함하므로) 순서 토폴로지는 이 패밀리의 상한이다.^[1]

$X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X}$의 부분집합은 $X$의 모든 주문 간격을 볼록하고 흡수하는 경우에만 주문 위상에서의 출발지 근린이다^[1]$.{\displaystyle }$ [ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle :=}${${\displaystyle x}$} ${\displaystyle [x,x]:$$=\{x\}$모든$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle x\in$ X$.}$

For every ${\displaystyle a\geq 0,}$ let ${\displaystyle X_{a}=\bigcup _{n=1}^{\infty }n[-a,a]}$ and endow ${\displaystyle X_{a}}$ with its order topology (which makes it into a normable space).모든 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$의$$세트는 포함 상태에서 지시되며, $X{\displaystyle {}_{}}$ a${\displaystyle {}_{}{a}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$일 경우 X ${\displaystyle a_{}}$ ${\$를 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$에 자연적으로 포함하면 연속된다$$.If ${\displaystyle X}$ is a regularly ordered vector space over the reals and if ${\displaystyle H}$ is any subset of the positive cone ${\displaystyle C}$ of ${\displaystyle X}$ that is cofinal in ${\displaystyle C}$ (e.g. ${\displaystyle H}$ could be ${\displaystyle C}$), then ${\di$순서$$ 위상이 있는 $splaystyle X}$은 유도 한계$\{{\displaystyle }$X ${\displaystyle a{}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}a}$ ${\displaystyle 0\}}$ ${\$ 0$\right\}}}}$이다($$여기서는 본딩 맵이 자연 포함됨).^[3]

격자 구조는 주문 단위의 부족을 부분적으로 보상할 수 있다.

In particular, if ${\displaystyle (X,\tau )}$ is an ordered Fréchet lattice over the real numbers then ${\displaystyle \tau }$ is the ordered topology on ${\displaystyle X}$ if and only if the positive cone of ${\displaystyle X}$ is a normal cone in ${\displaystyle (X,\tau ).$$}$^[3]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 정기적으로 순서가 지정된 벡터 격자라면 순서가 지정된 위상은 X ${\displaystyle$ $X$$}$에서 로컬 볼록형 벡터 격자로 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 만드는 로컬 볼록형 TVS 위상이다.$또한{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$을(를) 주문 완료한 경우, 주문 토폴로지를$$ $가진{\displaystyle }$X {\$displaystyle$ X$}$은(는) 바울링 공간이며 X ${\displaystyle X}$의 모든 밴드 분해는 이$$ 위상에 대한 위상학적 직접 합입니다.^[3]특히 벡터 $격자{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 순서가 규칙적인$$ 경우, $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$의 모든 격자 격자 세미놈 패밀리에 의해 순서 위상이 생성된다.

특성.

전체적으로${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$은 순서가 지정된 벡터 공간이며 ${\$은(는) $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$의 순서 위상을 나타낸다.

• $({\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$) ${\$의 이중은 $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$}$의 주문 바인딩된 이중 ${\displaystyle X_{}}$ b ${\$ $X_$${b}$이다.
• $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$가 X$${\$displaystyle X}($예:^[3]${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$${\displaystyle }$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ \${\displaystyle {}_{}}$\$$) {\$displaystyle \left(X$,\$tau _${\leq }\rig}\$rig))}}}}}})$가 선천적으로 로컬$$ 볼록 TV이다.
• 순서가 지정된 두 벡터 공간 사이의 각 양의 선형 연산자는 각 순서의 위상에 대해 연속적이다.^[3]
• 주문된 TVS의 각 주문 단위는 주문 위상에 대한 양의 콘에 내장되어 있다.^[3]
• 순서 벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 순서가 정규 순서이고, $X{\displaystyle }$${\$$displaystyle$$\ell ^$1}의 각 양순서가 합계 가능한 순서라면, 순서 위상이 부여된$$ X ${\displaystyle X}$이(가) 바라인 공간이다.^[3]
• If the order of an ordered vector space ${\displaystyle X}$ is a regular order and if for all ${\displaystyle x\geq 0}$ and ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$ holds, then the positive cone of ${\displaystyle X}$ is a normal cone in ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가)^[3] 주문 토폴로지와 함께 제공된$$ 경우$$ ${\displaystyle X}$특히, 순서 위상이 있는$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 연속 이중 공간은 주문 이중 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 될 것이다$.$⁺
• If ${\displaystyle (X,\leq )}$ is an Archimedean ordered vector space over the real numbers having an order unit and let ${\displaystyle \tau _{\leq }}$ denote the order topology on ${\displaystyle X.}$ Then ${\displaystyle \left(X,\tau _{\leq }\right)}$ is an ordered TVS that is normable,${\$은(는) 양의 콘이 정상인 것처럼$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 로컬 볼록 TVS 위상 중 가장 우수한 위상이며$$, 다음은 동등하다.^[3]

1. ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$) ${\$ 완료$$.
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$} 타입의 각 양순은 summary로 주문할 수 있다.

• 특히${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \le }$) ${\displaystyle (X,\leq )}$이(가) 주문 단위가 있는 Archimedese 순서 벡터 공간인$$ 경우, ${\displaystyle \{}${\$displaystyle$$$\,\$leq \,}$ 순서는 정규 순서이고${\displaystyle {}_{}{X}_{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$ + . $.{b}=X^{+}.$$}$^[3]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Banach 공간이고 순서 단위 벡터 공간인 경우 X ${\displaystyle X}$의 위상학은$$X ${\displaystyle$ X$}$의 $양$의 원뿔이 정상 $원뿔$인 경우에만 순서 위상과 동일하다$.$
• $X$ ${\$$displaystyle X}$에서 Y ${\displaystyle Y}$까지의 벡터 격자 동형성은 X {\$displaystyle X}$ $및$ Y ${\displaysty Y}$에 각각 순서 토폴로지가 주어질$$ 때 위상 동형이다.^[4]

하위 공간, 인용부 및 제품과의 관계

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이(가) 벡터 $격자{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$의 솔리드 벡터 하위 공간인$$ 경우 $X{\displaystyle }$${\displaystyle$ $X$$}$의 순서 위상 위상은 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$에 대한 순서 위상의 몫이다$$.

예

순서가 정해진 벡터 공간의 유한한 생산물의 순서 위상(이 제품은 표준적인 순서를 가지고 있음)은 구성 순서가 정해진 벡터 공간의 위상적 생산물의 제품 위상(각자에게 순서 위상이 주어졌을 때)과 동일하다.^[3]

참고 항목

• 순서 위상 벡터 공간
• 순서가 지정된 벡터 공간 – 부분 순서의 벡터 공간
• 벡터 격자

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.