대각선 지배 행렬

수학에서 정사각형 행렬은 행렬의 모든 행에 대해 한 행의 대각 엔트리의 크기가 그 행의 다른 모든 (비대각) 엔트리의 크기의 합보다 크거나 같을 때 대각선 지배적이라고 한다.보다 정확히는 행렬 A가 대각선으로 우세하다.

({displaystyle a_{ii} \geq \sum _{j\neq i} a_{ij} \text{모든 }}i, )

여기서_ij a는 ith 행과 j번째 열의 엔트리를 나타냅니다.

이 정의는 약한 부등식을 사용하므로 약한 대각 우위라고 부르기도 합니다.엄밀한 부등식(>)을 사용하는 경우, 이것을 엄밀한 대각 우위라고 부릅니다.조건 없는 항 대각 우위는 ^[1]상황에 따라 엄격하고 약한 대각 우성을 모두 의미합니다.

바리에이션

첫 번째 단락의 정의는 각 행에 걸쳐 엔트리를 집계합니다.따라서 행 대각 우위라고 불리기도 합니다.각 열을 요약하도록 정의를 변경하는 경우 이를 열 대각 우세라고 합니다.

엄밀한 대각선 지배행렬은 약사슬 대각선 지배행렬이다.약하게 연결된 대각선 지배 행렬은 비사각형이며 축소할 수 없는 대각선 지배 행렬의 패밀리를 포함합니다.이러한 행렬은 약대각선으로 우세하지만 적어도 하나의 행에서 엄격히 대각선으로 우세합니다.

예

매트릭스

({displaystyle A=bgin{bmatrix}3&1&1&3&2\-1&4\end{bmatrix})

대각선으로 우세한 이유는

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

|+3|\geq |-2|+|+1|

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

12

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

+

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

{\

style a_{

11} \

geq a_{12}

+

a_{13} 。

+ 3

|a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|

|+3|\geq |-2|+|+1|

µ - 2 +

1

display + 3

\

geq

-

|+3|\geq |-2|+|+1|

+ 1

）

|+3|\geq |-2|+|+1|

。

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

21

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

style

a _ {

22

} \

geq a

_ { 21 } + a

_

{

23 }

|-3|\geq |+1|+|+2|

(

3 geq + 1

+ 2

）

이후

|a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|

|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|

|+4|\geq |-1|+|+2|

|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|

a

|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|

+

|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|

|a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|

{

style

a _ {

33

} \

geq

a _ {

31

} + a

_

{

32

|+4|\geq |-1|+|+2|

。 + 4

µ

-

|+4|\geq |-1|+|+2|

+

2

（

display

+

4

\

geq -

1 + 2

|+4|\geq |-1|+|+2|

。

매트릭스

B=bgin{bmatrix}-2&1&3&2\1&0&end{bmatrix}

대각선으로 우세하지 않은 이유는

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

|-2|<|+2|+|+1|

11

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

<

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

+

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

style

b _ {

11

} <

b

_ {

12

} +

b

_ {

13 }

이래

|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|

-

2

< +

2 + 1

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

|+3|\geq |+1|+|+2|

22

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

b

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

|b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|

style

b _ {

22

} \

geq b

_ { 21 } + b

_

{

23

+ 3

|+3|\geq |+1|+|+2|

µ

+

|+3|\geq |+1|+|+2|

+

|+3|\geq |+1|+|+2|

（

display

+ 3 \

geq + 1

+ 2

）

|+3|\geq |+1|+|+2|

。

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

|+0|<|+1|+|-2|

33

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

<

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

31

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|

<

style

b _ {

33

} < b

_

{

31

} +

b

_ {

32

( +

0 <

+ 1

+ -

2

|+0|<|+1|+|-2|

。

즉, 첫 번째 행과 세 번째 행은 대각 우세 조건을 충족하지 못합니다.

매트릭스

C=bgin{bmatrix}-4&1&1&6&2\1&2&5\end{bmatrix}

엄밀하게 대각선으로 우세한 이유는

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

|-4|>|+2|+|+1|

11

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

>

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

12

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

({

style c_{11}

>

c_{12}

+

c_{13}

이후

|c_{11}|>|c_{12}|+|c_{13}|

-

|-4|>|+2|+|+1|

4

|-4|>|+2|+|+1|

+

|-4|>|+2|+|+1|

+

|-4|>|+2|+|+1|

displaystyle

-

4 >

+

2

+

1

)

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

|+6|>|+1|+|+2|

22

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

>

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

21

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

+

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

|c_{22}|>|c_{21}|+|c_{23}|

style c

_ {

22

} >

c

_ {

21

} +

c

_ {

23 }

( +

6

+

+

+

）이후

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

|+5|>|+1|+|-2|

33

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

>

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

31

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

|c_{33}|>|c_{31}|+|c_{32}|

{

style

c

_

{

33

} > c

_

{

31

} +

c

_ {

32

( +

5

+

1

+ -

2

|+5|>|+1|+|-2|

。

응용 프로그램 및 속성

엄밀하게 대각선 지배행렬(또는 축소할 수 없는 대각선 지배행렬^[2])은 비단수행렬이다.이 결과는 Levy-Desplanques ^[3]정리라고 알려져 있다.

증명: A가 엄밀하게 대각선으로 지배적인 $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ 이고 v $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ ( $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ , $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ , $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ n ) { $display$ v = ( $v$ _ {1} , $\ldots$ , v _ { n $}$ } } $Av=0$ $Av=0$ v $Av=0$ 0 { $display$ $style$ Av = $0$ $Av=0$ 、 $v_{i}$ i $v_{i}$ { $display$ v _ { i $v_{i}$ } } $v_{i}$ value 。그리고나서

{\displaystyle (Av)_{i} =\left \sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}\right \geq A_{i}-\sum _{i}-{j\neq i} A_{ij} v_{i} \left(A_{i} -\sum _{j\neq i} A_{ij}\right)

가설에 반하는 것 같아요

음이 아닌 실제 대각 엔트리가 있는 에르미트식 대각선 지배 $행렬$ A(\ $displaystyle$ A $A$ )는 양의 반무한이다.

증명: $대각행렬$ D $(\displaystyle$ D $)$ 에 $D$ A $(\displaystyle$ A $A$ 의 대각행렬 엔트리가 포함되도록 합니다. $M(t)=(1-t)(D+I)+tA$ M $($ $=$ ( $M(t)=(1-t)(D+I)+tA$ - $M(t)=(1-t)(D+I)+tA$ ) $M(t)=(1-t)(D+I)+tA$ + T( t) + $T$ ( t $)$ 의 세그먼트를 통해A(\ $displaystyle$ A $)$ 와 $A$ D $(\$ $displaystyle$ D $+I)$ 를 $D+I$ $A$ 합니다. $A$ 이 세그먼트는 $A$ 를 $A$ 하고 엄밀하게 대각선 우세한(따라서 비싱귤러 $A$ 행렬로 구성되어 있습니다. $\mathrm {det} (A)\geq 0$ 은 d e $\mathrm {det} (A)\geq 0$ ( $\mathrm {det} (A)\geq 0$ 0 $(\display$ \ $mathrm {det}$ ( $A$ $A$ $geq$ 0 $\mathrm {det} (A)\geq 0$ 을 나타냅니다.이 인수를 $A$ 의 주요 마이너리티에 적용하면 실베스터의 반최종성이 뒤따릅니다.기준을 설정합니다.

대칭 요건이 제거되면 이러한 행렬이 반드시 양의 반확정행렬은 아니다.예를 들어,

{pmatrix}-2&1&1\end {pmatrix}{\displaystyle {pmatrix}1&0\1&1&0\end {pmatrix}{\displaystyle {pmatrix}-2\1&1&1&0\end {pmatrix}<0}

그러나 고유값의 실제 부분은 거슈고린 원 정리에 의해 음이 아닌 상태로 남아 있다.

마찬가지로, 실제 양의 대각선 엔트리를 가진 에르미트식 엄밀한 대각선 지배행렬은 양의 확정행렬이다. 이는 실제 음이 아닌 대각선 엔트리(양수 반정의)를 가진 일부 에르미트식 $지배행렬$ A $(\displaystyle$ A $)$ 와 $A$ 양의 실제 저림에 대한 $(\displaystyle xI)$ 의 $xI$ 합과 같기 때문이다. $er$ x( $확정)$

가우스 소거(LU 인수분해)를 수행할 때 엄격히 대각선으로 지배적인 열 매트릭스에는 (부분) 피벗이 필요하지 않습니다.

선형계를 풀기 위한 야코비와 가우스-세이델 방법은 행렬이 대각선으로 엄격히 우세할 경우 수렴한다.

유한 요소 방법에서 발생하는 많은 행렬이 대각선으로 우세합니다.

대각선 우위의 개념에 대한 약간의 변화는 템플리-립 대수의 루프가 없는 다이어그램의 쌍이 ^[4]비퇴화적이라는 것을 증명하기 위해 사용된다.다항식 엔트리가 있는 매트릭스의 경우 대각선 우위에 대한 합리적인 정의 중 하나는 각 행에 나타나는 $q$ 의 $q$ $최대$ 거듭제곱이 대각선에만 나타나는 경우이다.(이러한 행렬의 q $(\displaystyle$ q)의 $q$ 큰 값에서의 평가는 위와 같은 의미에서 대각선으로 우세하다.)

메모들

^ 예를 들어, Horn과 Johnson(1985, 페이지 349)은 약한 대각선 우위를 의미하는 데 이것을 사용한다.
^ 혼앤존슨, 6.2.27번지.
^ 혼앤존슨, 6.1.10.이 결과는 수십 차례 독립적으로 재발견되었다.레비, 데스플랑크, 민코프스키, 하다마르, 슈르, 마르코프, 로르바흐, 거슈고린, 아르틴, 오스트로프스키, 푸르트벵글러 등이 눈에 띈다.이 "반복 정리"의 이력은 다음을 참조하십시오.Taussky, 올가(1949년)."결정 요인에 관한 제 정리".미국 수학 월간.미국 수학 월간, Vol56, 제1056(10):672–676. doi:10.2307/2305561. JSTOR 2305561.또 다른 유용한 역사 슈나이더, 한스(1977년):에 있다."행렬 이론과 행렬 이론가들에 올가 Taussky-Todd의 영향력".그리고 Multilinear 대수학. 5(3):197–224. doi:10.1080/03081087708817197 선형.
^ K.H. Ko and L. Smolinski (1991). "A combinatorial matrix in 3-manifold theory". Pacific J. Math. 149: 319–336.

레퍼런스

Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (Paperback ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.

외부 링크

[1] 예를 들어, Horn과 Johnson(1985, 페이지 349)은 약한 대각선 우위를 의미하는 데 이것을 사용한다.

[2] 혼앤존슨, 6.2.27번지.

[3] 혼앤존슨, 6.1.10.이 결과는 수십 차례 독립적으로 재발견되었다.레비, 데스플랑크, 민코프스키, 하다마르, 슈르, 마르코프, 로르바흐, 거슈고린, 아르틴, 오스트로프스키, 푸르트벵글러 등이 눈에 띈다.이 "반복 정리"의 이력은 다음을 참조하십시오.Taussky, 올가(1949년)."결정 요인에 관한 제 정리".미국 수학 월간.미국 수학 월간, Vol56, 제1056(10):672–676. doi:10.2307/2305561. JSTOR 2305561.또 다른 유용한 역사 슈나이더, 한스(1977년):에 있다."행렬 이론과 행렬 이론가들에 올가 Taussky-Todd의 영향력".그리고 Multilinear 대수학. 5(3):197–224. doi:10.1080/03081087708817197 선형.

[4] K.H. Ko and L. Smolinski (1991). "A combinatorial matrix in 3-manifold theory". Pacific J. Math. 149: 319–336.

[1]

[2]

[3]

[4]

v t 수치 선형 대수
주요 개념	부동 소수점 수치 안정성
문제	선형 방정식 체계 행렬 분해 행렬 곱셈(알고리즘) 행렬 분할 희박한 문제
하드웨어	CPU 캐시 TLB 캐시 오비어스 알고리즘 SIMD 멀티프로세서
소프트웨어	매트랩 기본 선형 대수 서브 프로그램(BLAS) 랩 전문 라이브러리 범용 소프트웨어

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제약된 엔트리	얼터 반대각선 반헤르미티안 반대칭적 화살촉 밴드 쌍대각선 쌍대칭의 블록 대각선 블록 블록 삼각형 부울 코시 중심대칭의 회의. 복합 아다마르 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초등 등가 프로베니우스 일반 치환 아다마르 행켈 에르미트인 헤센베르크 움푹 패임 정수 논리 행렬 단위 메츨러 무어 음이 아닌 오각형의 치환 대칭의 다항식 사분위기의 서명 스큐헤르미트어 스큐대칭 스카이라인 희박. 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형의 삼각형의 반데르몽드 월시 Z
일정한	교환하다 힐베르트 신원 레머 1개 중 파스칼 파울리 레히퍼 시프트 영
고유값 또는 고유 벡터에 대한 조건	동반자 수렴 결함이 있는 확실한 대각선화 가능 후루비츠 양의 정의 스틸테제스
제품 또는 반전 조건 충족	일치하다 등전위 또는 투영 반전 가능 인벌리테이션 무효 보통의 직교 유니모듈러 전능하지 않다 유니터리 완전 단일한 무게 측정
특정 응용 프로그램 사용	인접국 교대 기호 증강 베주트 칼레만 카르탄 순환제 보조인자 정류 혼란 콕서터 거리 복제 및 삭제 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 발전기 그램 헤시안 세대주 야코비안 순간. 이익 고르다 랜덤 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 전적으로 긍정적이다 변혁
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 설계. 이중 확률적 피셔 정보 모자 정확 확률적 전이
그래프 이론에서 사용됨	인접 관계 바이애시턴시 도 에드먼즈 발생률 라플라시안 세이델 인접 투테
이공계에 사용	카비보코바야시마스카와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연상사 감마 겔만 해밀턴식 불규칙하다 오버랩 S 상태 전이 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정규형 선형 독립성 행렬 지수 원뿔 단면 행렬 표현 완전 매트릭스 유사역 행형식 브롱스키안
수학 포털 행렬 목록 카테고리:매트릭스

Search

대각선 지배 행렬

네임스페이스

더

목차

바리에이션

예

응용 프로그램 및 속성

메모들

레퍼런스

외부 링크