게르슈고린 원 정리

수학에서 게르슈고린 원 정리는 정사각형 행렬의 스펙트럼을 묶는 데 사용될 수 있다.1931년 소련의 수학자 세면 아로노비치 게르슈고린이 처음 출간했다.게르슈고린의 이름은 게르슈고린, 게르슈고린, 게르슈고린, 허쉬혼, 허쉬혼 등 여러 가지 다른 방법으로 번역되었다.

진술 및 증거

Let ${\displaystyle A}$ be a complex ${\displaystyle n\times n}$ matrix, with entries ${\displaystyle a_{ij}}$. For ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ let ${\displaystyle R_{i}}$ be the sum of the absolute values of the non-diagonal entries in the ${\displaystyle i}$$$-번째 행:

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j\neq{i}}\왼쪽 a_{ij}\오른쪽 .}$

$D{\displaystyle }$( ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\$을(를) $반경{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Ri}_{}}$ ${\$이(가) ${\displaystyle {\mathrm{있는}}_{}}$ i$${\$displaystyle a_{i}$를 중심으로 한 폐쇄 디스크로$$ 한다$.$ 이러한 디스크를 Gershorin disk.

정리.$모든$ 고유값 A ${\displaystyle A$$}$은(는) Gershgorin $디스크$ $i$,$$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$중 하나 이상에 위치한다$.$$}$

Proof. Let ${\displaystyle \lambda }$ be an eigenvalue of ${\displaystyle A}$. Choose a corresponding eigenvector ${\displaystyle x=(x_{j})}$ so that one component ${\displaystyle x_{i}}$ is equal to ${\displaystyle 1}$ and the others are of absolute value less than or equal to ${\d$$isplaystyle 1}$: ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle i_{}}$= 1 ${\displaystyle x_{i}=1}$및 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{j} \leq 1}$ $for$ j ${\displaystyle \ne }$ i ${\displaystyle j\neq i$$그러한{\displaystyle }$ x {\$displaystyle x}$은(는) 항상 존재하는데$,$ 어떤 고유 벡터를 가장 큰 계수를 가진 성분으로 나누어 간단히 얻을 수 있다$.$$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Ax=\lambda$ x$\},$ 특히

${\displaystyle \sum _{j}a_{ij}x_{j}=\data x_{i}=\displayda.}$

따라서 합계를 나누고 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x_{i}=1}$을(를) 다시 한 번 고려하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}+a_{ii}=\data.}$

그래서 삼각형 불평등을 적용하면

${\displaystyle \left \lambda -a_{ii}\right =\left \sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}\right \leq \sum _{j\neq i}\left a_{ij}\right \left x_{j}\right \leq \sum _{j\neq i}\left a_{ij}\right =R_{i}.}$

코롤러리.또한 A의 고유값은 A의 열에 해당하는 게르슈고린 디스크 C_j 안에 있어야 한다.

증명^T. A에 정리를 적용하라.

예.대각 행렬의 경우 게르슈고린 디스크는 스펙트럼과 일치한다.반대로 게르슈고린 디스크가 스펙트럼과 일치하면 매트릭스는 대각선이다.

토론

이 정리를 해석할 수 있는 한 가지 방법은 복잡한 숫자에 걸친 사각 행렬의 비대각 입력이 작은 규범을 갖는다면, 행렬의 고유값은 행렬의 대각선 입력을 "멀리"할 수 없다는 것이다.따라서, 비대각 입력의 규범을 줄임으로써 행렬의 고유값의 근사를 시도할 수 있다.물론 대각선 입력을 최소화하는 과정에서 대각선 입력이 변경될 수도 있다.

이 정리는 각각의 고유치에 대해 하나의 디스크가 있다고 주장하지 않는다. 만약 있다면, 디스크는 오히려 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$^{n}$의 축에 해당하며, 각각 하나의 특정 축에 가장 근접한 고유값에 대한 경계를 정확하게 표현한다.매트릭스에서

${\displaystyle{\begin{pmatrix}3&, 2&, 2\\1&, 1&, 0\\1&, 0&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&, 0&, 0\\0&, b&, 0\\0&, 0&, c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&, 2&, 2\\1&, 1&, 0\\1&, 0&, 1\end{pmatrix}}^{)}={\begin{pmatrix}-3a+2b+2c&, 6a-2b-4c&, 6a-4b-2c\\b-a&, a+(a-b)&, 2(a-b)\\c-a&, 2(심방 경동맥)&, a+(심방 경동맥)\end{pmatrix}}}$

— which by construction has eigenvalues ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, and ${\displaystyle c}$ with eigenvectors ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}3\\1\\1\end{smallmatrix}}\right)}$, ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end$${smallmatrix}\right$$)\}$ ${\displaystyle \begin{array}{}및\\ \mathrm{}\end{array}}$ (${\displaystyle \begin{array}{}2\\ \mathrm{}\end{array}}$0$$1 ) {\$displaystyle$ \$left\$put\$nd{smallmatrix}2\\\\\1\end$${$$smallmatrix$}\$right)$ —$$ 2행의 $디스크$는 ${\displaystystyle$$a$}와$$c$}을 포괄$하는 것을 $쉽게$ 확인할 수 있다$.$그러나 이것은 단지 행복한 우연일 뿐이다. 만약 증명 단계를 통해 작업하는 것이 각 고유 벡터 안에 있는 것이 가장 큰 첫 번째 요소라는 것을 발견한다면(모든 아이겐스페이스는 다른 어떤 축보다 첫 번째 축에 가깝다), 따라서 정리는 1행에 대한 디스크(반경이 다른 두 반지름의 두 배가 될 수 있음)를 약속할 뿐이다.ers 세 개의 고유값 모두

정리 강화

디스크 중 하나가 다른 디스크와 분리되면 정확히 하나의 고유값을 포함한다.하지만 만약 다른 디스크를 만나그것이 없다는 고유치(예를 들어, A=(0140){A=\left({\begin{}smallmatrix 0&, 1\\4&, 0\end{smallmatrix}}\right)\displaystyle}또는 A=(1− 2대 1− 1){\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}1&, -2\\1&, -1\end{smallmatrix}가 가능하다.}\right)}).일반적인 경우에는 다음과 같이 정리를 강화할 수 있다.

정리:k 디스크의 결합이 다른 n - k 디스크의 결합과 분리되는 경우, 전자의 결합은 정확히 k와 A의 n - k 고유값을 포함한다.

증명: D를 A의 대각선 항목과 같은 대각선 행렬로 하고 대각선 행렬로 한다.

$[\displaystyle B(t)=(1-t)D+tA.}$

고유값이 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t$에서 연속된다는 사실을 사용하고 고유값이 조합 중 하나에서 다른 조합으로 이동하면 일부 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 디스크 밖에 있어야 한다는 사실을 보여 주겠다$.$ 이는 모순이다.

$이{\displaystyle }$ 문장은 D${\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle D=B(0)}$에 대해 참이다$.$$B{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle B(t)}$의 대각선 입력은 A의 입력과 같으므로$$ 게르슈고린 원의 중심은 동일하지만, 그 반지름은 A의 3배이다.따라서 $B{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle B(t)}$의 해당 k 디스크의 결합은 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle t\in [0,1]$에 대해 나머지 n-k의 결합과 분리된다$.$ 디스크가 닫혀 있으므로 A에 대한 두 결합의 거리는 > ${\displaystystyled d>$0$B{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle B(t)}$의 거리는 t의 감소 함수여서$$ 항상 d 이상이다.Since the eigenvalues of ${\displaystyle B(t)}$ are a continuous function of t, for any eigenvalue ${\displaystyle \lambda (t)}$ of ${\displaystyle B(t)}$ in the union of the k discs its distance ${\displaystyle d(t)}$ from the union of the other n-k discs is also continuous.${\displaystyle \mathrm{분명히}}$ $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \ge }$ d ${\displaystyle d(0)\geq d}$, 그리고$\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \lambda(1$)이 n-k 디스크의 조합에 있다고$$ 가정한다.Then ${\displaystyle d(1)=0}$, so there exists ${\displaystyle 0<t_{0}<1}$ such that ${\displaystyle 0<d(t_{0})<d}$. But this means ${\displaystyle \lambda (t_{0})}$ lies outside the Gershgorin discs, which is impossible.따라서 $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \lambda(1)}$은(는) k 디스크의 결합에 놓여$$ 있으며, 정리가 증명된다.

설명:

• $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \lambda (t)}$의 연속성은 위상의 의미로 이해해야 한다$$.루트(공간 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$가 계수의 연속 함수임을 보여주기에 충분하다.루트를 계수에 매핑하는 역지도는 개방형 지도를 증명할 수 있는 비에타의 공식(특성 다항식 ${\displaystyle a_{}}${ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a_{n}\equiv$ 1$\})$에 의해 설명된다는 점에 유의한다.이것은 뿌리 전체가 그 계수의 연속적인 함수라는 것을 증명한다.연속함수의 구성이 다시 연속적이기 때문에 루트솔러 $구성$으로서의${\displaystyle }$sol${\displaystyle (t}$ )${\displaystyle$ $\lambda(t)}$과 B(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle B(t)}$도 연속적이다$$.
• 개별 고유값 $\lambda {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \lambda (t)}$은 다른 고유값과 병합하거나 이전 고유값의 분할에서 나타날 수 있다$$.이것은 사람들을 혼란스럽게 하고 연속의 개념을 의심하게 할 수 있다.그러나 고유값 집합 C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 공간에서 볼 때, 궤적이 반드시 매끄러운 것은 아니지만, 여전히 연속 곡선이다$.$

추가 설명:

• 위에 제시된 증거가 틀림없이 정확하다...고유값에 관한 연속성에는 두 가지 유형이 있다. (1) 각 개별 고유값은 통상적인 연속함수(실제 간격에는 존재하지만 복잡한 영역에는 존재하지 않을 수 있음), (2) 고유값은 위상학적 의미에서 전체로서 연속적이다(규범에 의해 유도된 메트릭을 가진 매트릭스 공간으로부터의 매핑).순서가 지정된 튜플, 즉 유도 메트릭과 순열 동등성 하에서의 C^n의 몫 공간).게르슈고린 디스크 정리를 증명하는 데 어떤 연속성이 사용되든, 고유값의 대수적 승수의 합은 연결된 각 영역에서 변하지 않는 것이 정당화되어야 한다.복잡한 분석의 논거 원리를 사용하는 증명에는 어떤 종류의 고유 가치 연속성이 필요하지 않다.^[1]간단한 토론 및 설명은 을 참조하십시오.^[2]

적용

게르슈고린 원 정리는 x에 대한 Ax = b 형식의 행렬 방정식을 푸는 데 유용하다. 여기서 b는 벡터, A는 조건 번호가 큰 행렬이다.

이런 종류의 문제에서 최종 결과의 오차는 대개 초기 데이터의 오차에 A의 조건 번호를 곱한 것과 같은 규모의 오차를 가진다.예를 들어 b가 소수점 6자리, 조건번호 A가 1000이면 x가 소수점 3자리까지 정확하다고 확신할 수 있다.매우 높은 조건 수의 경우 반올림으로 인한 매우 작은 오류라도 결과가 무의미할 정도로 확대시킬 수 있다.

A의 조건 번호를 줄이는 것이 좋을 것이다.이것은 전제조건으로 할 수 있다: P ≈ A와⁻¹ 같은 매트릭스 P를 만들고, 그 다음 x에 대해 PAx = Pb라는 방정식을 푼다. A의 정확한 역을 사용하는 것은 좋지만 매트릭스의 역을 찾는 것은 계산 비용 때문에 우리가 피하고 싶은 것이다.

이제 내가 정체성 매트릭스인 PA ≈ I이므로 PA의 고유값은 모두 1에 가까워야 한다.게르슈고린 원 정리로는 PA의 모든 고유치가 알려진 영역 내에 있으므로 PA에 대한 우리의 선택이 얼마나 좋았는지를 대략적으로 추정할 수 있다.

예

게르슈고린 원 정리를 사용하여 다음과 같은 고유값을 추정한다.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}10&#1&#1\0.2&8&0.2&0.2\\1&1&1&1\-1&-1&-1&-11\\end{bmatrix}.}$

첫 번째 행부터 대각선의 원소를 디스크의_ii 중심으로 삼는다.그런 다음 행에 남아 있는 원소를 취하여 다음과 같은 공식을 적용한다.

${\displaystyle \sum _{j\neq i} a_{ij} =R_{i}}}$

다음 4개의 디스크를 가져오려면:

${\displaystyle D(10,2),\;D(8,0.6),\;D(2,3),\{\text{and}\;D(-11,3).}$

행렬의 해당 열에 공식을 적용하여 D${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 1.}$2 )${\디스플레이$ 스타일 $D(2,1.2)}$ 및$$ $D{\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 11,}$ 2.2 )${\디스플레이$ 스타일 $D(-11,-2.2)}$을 얻음으로써 마지막 두 디스크의 정확도를 향상시킬 수 있다는 점에 유의하십시오$.$

그 eigenvalues 있9.8218, 8.1478, 1.8995, −10.86.이것이(칼럼)대각선으로 지배적인 매트릭스:나는 나는입니다.;습니다 ∑ j≠ 나는 j나는{\textstyle a_{ii}>\sum _{j\neq 나는}a_{ji}}. 이 말은 대부분의 매트릭스에 그리고 대각선, 점을 설명하는데 왜 eigenvalues 정말 친한 센터의 학계 인사 및 예측은 매우 좋다.무작위 매트릭스에서, 우리는 eigenvalues에 실질적으로 더 이상은 원의 중심에서 기대할 것이다.

참고 항목

• non-negative 항목으로 매트릭스로, Perron–Frobenius 정리를 참조하십시오.
• 악재로 이중고 확률 행렬
• 후르 비츠 행렬
• 조엘 리 브레너
• Metzler 행렬
• 뮤어 헤드의 부등식
• 벤딕슨의 부등식
• Schur–Horn 정리

참조

• Gerschgorin, S.(1931년),"Über 죽다 완전 분리 정책. Eigenwerte einer 매트릭스 der", Izv.Akad.Nauk.소련 Otd.Fiz.-Mat. Nauk(독일어로), 6:749–754.
• 바르가, 리처드 S.(2004년), Geršgorin과 그의 Circles, 베를린:Springer-Verlag, 아이 에스비엔 3-540-21100-4.(Errata).
• 바르가, 리처드 S.(2002년), 매트릭스 반복적인 해석(2판), Springer-Verlag.1일 교육., 프렌티스 홀, 1962년.
• 골럽 G.H.;반 대출, C.F.(1996년), 매트릭스 Computations, 볼티모어:존스 홉킨스 대학 출판부, 우편 320, 아이 에스비엔 0-8018-5413-X.

외부 링크

• "Gershgorin's circle theorem". PlanetMath.
• 에릭 W. 와이스슈타인"거슈고린 서클 정리."MathWorld—Wolfram 웹 리소스.
• 세면 아라노비치 거슈고린 맥튜터 전기