트위스트(수학)

In mathematics (differential geometry), twist is the rate of rotation of a smooth ribbon around the space curve ${\displaystyle X=X(s)}$, where ${\displaystyle s}$ is the arc length of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle U=U(s)}$ a unit vector perpendicular at each point to ${\displayst$$yle X}$. Since the ribbon ${\displaystyle (X,U)}$ has edges ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$ the twist (or total twist number) ${\displaystyle Tw}$ measures the average winding of the curve ${\displaystyle X'}$ around and along the curve ${\disp$$laystyle X$ 사랑(1944)에 따르면 트위스트는 다음과 같이 정의된다.

${\dfrac Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \좌측({\dfrac {dU}{ds}\time U\오른쪽)\cdot {\dfrac {dX}{ds}ds\,},}$

여기서 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle dX/ds}$은(는) $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$에 대한 접선 벡터 단위 입니다$.$총 트위스트 번호 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Tw}$은(${\displaystyle \mathrm{Moffatt}}$ & Ricca 1992년)을 표준화된 총 $비틀림$ T ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$)$${\$displaysty$$T\$$in$ [$0,1)}$ 및$$ 내재 ${\displaystyle 트위스트\mathbb{}}$ N${\displaystyle }${ Z ${\$ {$Z}$로 분해할 수 있다$$.

${\dplaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\\\]Theta \right]_{X}{2\pi }}=T+N\;,}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle \tau }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \tau =\tau(s)}$은 공간 곡선 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$및${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle {\mathrm{\theta }]}_{}}$ X ${\$의 비틀림이다.$Theta \right]_{X}}$ denotes the total rotation angle of ${\displaystyle U}$ along ${\displaystyle X}$. Neither ${\displaystyle N}$ nor ${\displaystyle Tw}$ are independent of the ribbon field ${\displaystyle U}$. Instead, only the normalized torsion ${\displaystyle T}$ is an invariant of the curve $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}($Banchoff & White 1975).

리본이 변곡 상태를 통과하도록 $변형$되면$($즉, X {\displaystyle X}에 변곡점이 있음) 비틀림 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$은(는) 단수가 된다$$.총 비틀림 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$}$이${\displaystyle }$± $[\displaystyle$ $\pm$ 1$}$만큼$$ 점프하고$$, 총 각도 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은$({\displaystyle \mathrm{Moffatt}}$ & Ricca 1992),$$ ${\displaystyle T}$ w ${\displaystytle$ Tw$}$은 연속적으로$$ 점프한다.이러한 행동은 과학의^{[citation needed]} 많은 분야에서 에너지 고려에 많은 중요한 결과를 가져온다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Wr}$과$($와) 함께 트위스트는 Călugăreanu–의 적용에 중요한 역할을 하는 기하학적 수량이다.화이트-풀러 공식 ${\displaystyle \mathrm{Lk}}$= ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle r}$+ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$ 위상학적 유체 역학(벡터 장의 운동 및 자기 나선성에 대한 밀접한 관련), 물리적 매듭 이론 및 구조 복잡성 분석.

참고 항목

• 트위스트(나사 이론)
• 트위스트(합리적 삼각법)
• 트위스트 셰이프

참조

• Bancoff, T.F. & White, J.H. (1975) 반전하에서의 닫힌 공간 곡선의 총 트위스트 및 자체 링크 숫자의 거동.수학, 스캔들 36, 254–262
• 사랑, A.E.H. (1944) 수학 탄성 이론에 관한 논문.도버, 4번가, 뉴욕
• 모팻, H.K. & Ricca, R.L.(1992) 헬리시티와 Călugăreanu 불변제.Proc. R. Soc. A 439, 411–429.