에일렌베르크-매클레인 공간

수학, 특히 대수적 위상에서는 에일렌버그-매클레인 공간은^{[note 1]} 하나의 비종교적 호모토피 그룹을 가진 위상학적 공간이다.

G를 집단이 되게 하고 n을 양의 정수로 한다. 연결된 위상학적 공간 X는 $K형{\displaystyle (G}$, ${\displaystyle n}$){\$displaystyle K(G,n)}{\$displaystyle K(G,n$)}$의 Eilenberg-MacLane 공간이라고 하며$,$ N-th 호모토피 그룹 $πn$($X)$이 G와 다른 모든 호모토피 그룹과의 이형인$$ 경우. > ${\displaystyle n>1}$이면 G는 아벨리안이어야 한다. 그러한 공간이 존재하고, CW 복합체이며, 약한 호모토피 동등성에 따라 독특하기 때문에, 그러한 공간은 흔히 $K{\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle n}$ $){\displaystyle$ K ($G,n)}$라고 불린다$.$

그 이름은 1940년대 후반에 그러한 공간을 소개한 사무엘 아일렌베르크와 손더스 맥 레인에서 유래되었다.

이와 같이 에일렌베르크-마클레인 공간은 특수한 종류의 위상학적 공간으로, 호모토피 이론에서는 포스트니코프 시스템에서 섬유화를 통한 CW 복합체의 구성 블록으로 간주할 수 있다. 이러한 공간은 구들의 호모토피 그룹 계산, 동족학 연산의 정의, 그리고 단일 동족학과의 강한 연결을 포함한 대수적 위상에서의 많은 맥락에서 중요하다.

$일반화된 Eilenberg-Maclane$ 공간은 $Eilenberg-Maclane$ 공간 ${\displaystyle \underset{}{}}$의 호모토피 $타입을 가진 공간$이다$.$

예

• 단위원 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\$는 $K{\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{}}$, ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle K(\mathb {Z},1)}$ 입니다$.$
• 무한 차원 복합 투영 공간 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${{\$은 $K{\displaystyle (Z\mathbb{},}$ $){\displaystyle$ K$(\mathb {Z},2)}$의 모델이다$.$
• 무한대의 실제 투영 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) $K{\displaystyle (Z\mathbb{}}$/ 2,${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle K(\mathb {Z} /2,1)}$ 입니다$.$
• ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{k}}}$ 단위 원의 쐐기 합 $\bigvee {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle {k\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}^{}}$ 1 ${\$}:{1}:{1}:{1$}}$은 K$($ k${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 1}$)이고$,$ 여기서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$$F_$${k$$}{k$$}}}}$은 k 발생기의 자유 그룹이다.
• 3차원 구체 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에서 연결된 매듭이나 그래프의 $보완$은 K형${\displaystyle (G,1}$ )$${\$displaystyle K(G,1$ 이것을 "노트의 일반성"이라고 하며, 크리스토스 파파키리아코풀로스의 1957년 정리다.^[1]
• 모든 콤팩트하고 연결되고 비잠재적으로 곡선 처리된 다지관 M은 K${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$, ${\displaystyle 1}$ $displaystyle K(\Gamma ,$1)이고$$여기서 $where{\displaystyle \mathrm{}}$ = ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle M}$ $){\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)}$는 M의 기본 그룹이다$.$ 이것은 카르탄-하다마드 정리의 결과물이다.
• An infinite lens space ${\displaystyle L(\infty ,q)}$ given by the quotient of ${\displaystyle S^{\infty }}$ by the free action ${\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)}$ for ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q}$ is a ${\displaystyle K($$\mathb {Z} /q,1$ 이것은 커버 공간 이론과 무한 치수 구가 수축할 수 있다는 사실을 사용하여 보여줄 수 있다.^[2] 참고: R ${\displaystyle {\mathbb{P}}^{\mathrm{}}}$∞ ${\$ {$RP} ^{\infit }}$을(를) K${\displaystyle (Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$,${\displaystyle 1}$)로 포함 ${\displaystyle K(\mathb {Z} /2$,1$)\}.$
• 평면에서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 포인트의$$ 구성 공간은 $($ n${\displaystyle {}_{}}$, 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(P_{n$},1)이며$,$ 여기서 ${\displaystyle {Pn}_{}}$ ${\$는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$ 가닥에$$ 대한 순수한 브레이드 그룹이다.
• 이에 상응하여 R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 미순서n^th 구성 $공간$은 K${\displaystyle ({Bn}_{}}$,${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle K(B_{n},1$)이며$,$ 여기서 ${\displaystyle {Bn}_{}}$ ${\$은 -스트랜드 브레이드 그룹을 나타낸다$$. ^[3]
• The infinite symmetric product ${\displaystyle SP(S^{n})}$ of a n-sphere is a ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$. More generally ${\displaystyle SP(M(G,n))}$ is a ${\displaystyle K(G,n)}$ for all Moore spaces ${\displaystyle M(G,n)}$.

어떤 추가적인 초등 학교 예 이들로 사실은 제품 K(G, n)×K){K(G,n)\times K(H,n)\displaystyle}K입니다 예를 들어(G×H, n){K(G\times H,n)\displaystyle}. 다차원 원환체 Tn(^{n}}은 K(Z, 1){\d를 사용하여 구성될 수 있습니다.i$splaystyle K(\mathb {Z} ^{n,1)}$.

에일렌베르크-매클레인 공간구성에 관한 소견

For ${\displaystyle n=1}$ and ${\displaystyle G}$ an arbitrary group the construction of ${\displaystyle K(G,1)}$ is identical to that of the classifying space of the group ${\displaystyle G}$. Note that if G has a torsion element, then every CW-complex of type K(G,1) has to be infinite-dimensional.

에일렌베르크-마칸레인의 더 높은 공간을 건설하기 위한 여러 가지 기법이 있다. One of which is to construct a Moore space ${\displaystyle M(A,n)}$ for an abelian group ${\displaystyle A}$: Take the wedge of n-spheres, one for each generator of the group A and realise the relations between these generators by attaching (n+1)-cells via corresponding maps in ${\displaystyle \$$pi _{n}(\bigvee S^{n})}$의 해당 쐐기 합계가 있다. 하부 호모토피 그룹 i< ( ( , )) ${\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))}}$은(는) 이미 시공에 의해 사소한 것이라는 점에 유의한다. Now iteratively kill all higher homotopy groups ${\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))}$ by successively attaching cells of dimension greater than ${\displaystyle n+1}$, and define ${\displaystyle K(A,n)}$ as direct limit under inclusion of this iteration.

또 다른 유용한 기술은 단순한 아벨 집단의 기하학적 실현을 이용하는 것이다.^[4] 이것은 Eilenberg-Maclane 공간을 대표하는 단순한 아벨리아 집단을 명시적으로 보여준다.

공간과 보편적 다발을 분류한다는 점에서 또 다른 단순한 건축물은 J. 피터 메이의 저서에 제시되어 있다.^[5]

루프 공간을 확보하면 호모토피 그룹이 한 슬롯씩 낮아지기 때문에 표준 호모토피 $동등성{\displaystyle }$ K${\displaystyle (G}$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle K(G}$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(G,n)\simeq \Oomega K(G,n+1)}$이(가)가 있으므로 진동 시퀀스가 있다$.$

${\displaystyle K}$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \ast }$→ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle G}$, n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle K(G,n)\to *\to$ K($G,n+$1$)\}.$

이것은 공진동 시퀀스가 아니라는 점에 유의하십시오. 스페이스 $K{\displaystyle (G,}$ ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle K(G$${\displaystyle ,n}$$+1)}$은 $K{\displaystyle (G}$, n${\displaystyle }$) →$displaysty K(G,n)\to *}$의 호모토피 코파이버가 아닙니다$$$.$

이 진동 시퀀스는 Leray 스펙트럼 시퀀스를 사용하여$$ $($, ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}$)에서 $K{\displaystyle (}$G , ${\displaystyle n}$ $){\$$displaystyle K$${\displaystyle (}$$G,n+1)}{\$$displaystyle K(G,n$)}}}의$$ 동역학을 연구하는 데 사용할 수 있다. 이것은 장 피에르 세레가 포스트니코프 시스템과 스펙트럼 시퀀스를 이용하여 호모토피 그룹의 구체들을 연구하던 중에 착취되었다.

에일렌베르크-매클레인 공간의 특성

지도와 코호몰리학의 호모토피 계층간 편향

An important property of ${\displaystyle K(G,n)}$'s is that for any abelian group G, and any based CW-complex X, the set ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ of based homotopy classes of based maps from X to ${\displaystyle K(G,n)}$ is in natural bijection with the n-th singular cohomology group ${\displaystyle {\mathrm{공간}}^{}}$ X의 H ${\displaystyle n^{}}$( ${\displaystyle X}$, G${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ H$^{n}(X,G)}$ $따라서{\displaystyle }$ K${\displaystyle (G}$, ${\displaystyle n}$ )${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle K(G,n)}$이(가) G에 계수가 있는 단수 코호몰로지 공간을 나타낸다고 한다. 이후

${\displaystyle H^{n}(K(G,n),G)=\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)=\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)=\operatorname {Hom} (G,G)}$,

$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$( K${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$, G${\displaystyle }$) ${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$에 해당하는$$ 구분 요소가 있다. 위의 바이어싱은 f${\displaystyle }f{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$u ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f\mapsto$ f$^{*}u}$의 풀백에 의해 주어진다$.$ 이것은 범주 이론의 요네다 보조정리법과 비슷하다.

이 정리에 대한 건설적인 증거는 여기서 찾을 수 있으며,^[6] 오메가-스펙트라와 일반화된 축소된 코호몰로지 이론 사이의 관계를 이용하는 또 다른 방법은 여기에서 찾을 수 있으며, 주요 아이디어는 나중에 스케치된다.

루프 공간 / 오메가 스펙트럼

The loop space of an Eilenberg–MacLane space is again an Eilenberg–MacLane space: ${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$. Further there is an adjoint relation between the loop-space and the reduced suspension: ${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$, which gives ${\displaystyle [}$${\displaystyle X}$, ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle ]\cong }$ [ ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \Omega }$ 2 ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$ ${\디스플레이스타일 [X,$ K$(G,n)]\cong [X,\Oomega ^{2}K(G,n+2)]}}}$이(가) 아벨 그룹 구조로$$, 여기서 연산은 루프 결합이다. 이것은 그룹 이등분포 위에 언급된$$ $[{\displaystyle X}$, K${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$, n${\displaystyle }$) ${\displaystyle ]}$→ ${\displaystyle H^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle X}$, $){\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}}}}$을(를)로 만든다.

또한 이 속성은 다양한 n을 가진 Eilenberg-MacLane 공간이 "Eilenberg-MacLane 스펙트럼"이라고 불리는 오메가 스펙트럼을 형성한다는 것을 암시한다. 이 스펙트럼은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle {}^{}X}$) ${\displaystyle :=}$[ ${\displaystyle X}$, K${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle X\mapsto$ h$^{n}(X):$$=[X,K(G,n)]}$ a reduced cohomology theory on based CW-complexes and for any reduced cohomology theory ${\displaystyle h^{*}}$ on CW-complexes with ${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$ for ${\displaystyle n\neq 0}$ there is a natural isomorphism ${\displaystyle h^n(X)\cong {\tilde{H}}^n(X,h^0(}$${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde{H}^{n}(X,h^{0}(S^{$$0$$\})\},$ $여기$서 H${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$~ {\$displaystyle {\tilde{$H^{*}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}은 단수확률의 단수일(단수일$$)를 의미한다. 그러므로 이 두 공동체의 이론은 일치한다.

보다 일반적인 맥락에서, 브라운의 표현가능성은 CW 콤플렉스에 기반한 모든 감소된 코호몰로지 이론은 오메가-스펙트럼에서 나온다고 말한다.

호몰로지와의 관계

고정 아벨 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 경우 안정적인 호모토피 그룹에 대한 지도가 있다.

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

지도 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle G}$, n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle K}$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$+ 1${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$에 의해 유도된다$.$ 이러한 지도에 대한 직접적인 한계를 가지고, 이것이 감소된 동종학 이론을 정의하는지 검증할 수 있다.

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n)))}$

CW 단지에 대해 알아냈어 Since ${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$ vanishes for ${\displaystyle q\neq 0}$, ${\displaystyle h_{*}}$ agrees with reduced singular homology ${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$ CW 복합체에서 G로 계수를 표시한다.

교감성

에일렌베르크 맥레인 공간이 그룹의 준기능자($si-functor)$라는 것은 코호몰로지 범용 계수 정리에서 따온 것이다. 즉${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle a}$ : ${\displaystyle {}^{}}$→ G ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 아벨리아 그룹의 동형성일 경우$$ 비빈 집합이 있다.

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\}}}$

satisfying ${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ where ${\displaystyle [f]}$ denotes the homotopy class of a continuous map ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle S\$$순환 T:=\{s\circle t:s\in S,t\in T\}.$$}$

포스트니코프/화이트헤드 타워와의 관계

연결된 모든 CW $콤플렉스{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에는 Postnikov 타워가 있으며$$, 이는 공간의 역시스템이다.

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{2}\xrightarrow {p_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

예를 $들어{\displaystyle }$ 모든$$n {\$displaystyle$ n$\}$에 대해 다음을 수행하십시오.

1. 통근 지도 $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {Xn}_{}}$ ${\$이 있다$.$ 이 지도는 $i{\displaystyle }$$\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle$ $\$$pi _$${i$$}$에 이형성을 유발한다.$$
2. ${\displaystyle {\pi }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}($ > > n > ${\displaystyle$ i $>n$
3. 지도 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}\stackrel{}{}}$→ p ${\displaystyle \stackrel{}{n{}_{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{X_{}}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$- 1 ${\$ 화살표 ${p_{n}}$${\displaystyle \mathrm{X\_}}$${$n-1} X_{$n-1}$은 섬유 $K{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ ($){\displaysty K(\pi _{n})(X,n)})$가 있는 섬유들이다$.$

Dallally에는 CW 복합체의 연속인 Whitehead 타워가 존재한다.

$\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

예를 $들어{\displaystyle }$ 모든$$n {\$displaystyle$ n$\}$에 대해 다음을 수행하십시오.

1. 지도 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}\to$ X$}$은(는) > ${\displaystyle$ $\pi$$_{i}$에 이소모르핀을 유도한다
2. ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) n-연결되어 있으며,
3. 지도 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}}$1 ${\$ $X\_{\displaystyle }${n-1}는 섬유 K${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {\pi n}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1$)가 있는 섬유다$.$

세레의 도움으로 더 높은 호모토피 구군의 스펙트럼 시퀀스 연산이 이루어질 수 있다. 예를 들어 π 4(S 3){\displaystyle \pi_{4}(S^{3})}과π 5(S 3){\displaystyle \pi_{5}(S^{3})}{\displaystyle S^{3}S3의 화이트 헤드 탑을 사용하여}here,[8]더 일반적으로+나는(Sn)나는 3{\displaystyle \pi_{n+i}(S^{n})\ i\leq 3≤}는 Postnikov s를 사용하여 그π와 발견될 수 있ys템은 여기서 찾을 수 있다. ^[9]

코호몰로지 연산

고정된 자연수 m,n 및 아벨리아 그룹 G,${\displaystyle H}$는 모든 코호몰로지 연산 $\theta {\displaystyle \mathrm{}}$: H ${\displaystyle m^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\cdot }$, G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\cdot }$, ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \Teta$:$H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$ and ${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$ defined by ${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )}$, where ${\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)}$ is a fundamental class.

그 결과, 코호몰로지 연산은 코호몰로지 그룹의 정도를 감소시킬 수 없으며 코호몰로지 연산을 보존하는 정도가 계수 호모폴리스 ${\displaystyle \mathrm{Hom}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (G,}$ H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$에 해당된다$.$ 이는 코호몰로지 연계에 대한 범용계수 정리 및 $K$의 (m-1) 연계에 따른 것이다.${\displaystyle (G}$, ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle K(G,m)}$.

코호몰로지 연산을 위한 몇 가지 흥미로운 예로는 Steenrod Square와 Powers가 있는데, $이때{\displaystyle }$G${\displaystyle }$= ${\displaystyle H}$ {\$displaystyle G=H$}는$$ 유한 주기 그룹이다. $이러한{\displaystyle \mathbb{}}$ 연구를 수행하면 Z${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathb {Z}$/p,$n}$에 계수가 ${\displaystyle 있는}$ $K($/$mathb {Z} /p,n)$의 공동호몰학의 중요성이 빠르게 명백해진다$$.^[10] 이러한 그룹의 광범위한 타블로그를 여기에서 찾아볼 수 있다. ^[11]

집단(공동)호몰로지

그룹 A에 계수가 있는 G의 그룹(co)호몰리를 A에 계수가 있는$$ Eilenberg-MacLane 공간 $($, 1$){\displaystyle K(G,1$)의 단수(co)호몰이로 정의할 수 있다.

추가 애플리케이션

위에서 설명한 루프 공간 구조는 끈 이론에 사용되어, 예를 들어, 끈 그룹, 오브레인 그룹 등을 짧은 순서에서 발생하는 화이트헤드 타워로서 얻는다.

${\displaystyle 0\오른쪽 화살표 K(\mathb {Z} ,2)\오른쪽 화살표 \operatorname {String}(n)\오른쪽 화살표 \operatorname {Spin}(n)\오른쪽 화살표 0}$

${\displaystyle \text{문자열}(n}$) ${\displaystyle {\text{String}(n)}$ 문자열 그룹과 ${\displaystyle \text{스핀}(n}$) ${\displaystyle {\text{Spin}(n)}$ 스핀 그룹 포함. $($, 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(\mathb {Z},2$)의 관련성은 호모토피 동등성이 있다는 사실에 있다$$.

${\displaystyle K(\mathb {Z},1)\simeq U(1)\simeq B\mathb {Z}}$

공간 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$과$($와) 사실 $K{\displaystyle (Z\mathbb{},}$ ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle u}$ B${\displaystyle }$U(${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ K$(\mathbb {Z},2)\simeq BU($1$)\}.$ 복잡한 스핀 그룹은 그룹 확장명이므로 주의하십시오.

${\displaystyle 0}$→ ${\displaystyle K}$(${\displaystyle \mathrm{Z}}$, 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ C ${\displaystyle {(}^{}n}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \text{스핀}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$→ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ 0$\to K(\mathb {Z},1)\to {\text{Spin}^{\mathb {C}}\to {\text{Spin}}\to 0$

문자열 그룹은 공간 $K{\displaystyle }$(${\displaystyle Z\mathbb{},2}$) ${\displaystyle K(\mathb {Z},2)$가 상위$$ 그룹의 예시이기 때문에 상위 그룹 이론의 의미에서 "상위" 복합 스핀 그룹 확장이라고 생각할 수 있다. It can be thought of the topological realization of the groupoid ${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$ whose object is a single point and whose morphisms are the group ${\displaystyle U(1)}$. Because of these homotopical properties, the construction generalizes: any given space ${\displaystyle K(\mat$$hbb {Z},n)}$을(를) 사용하여 위상학 그룹에서 호모토피 그룹 ${\displaystyle {\pi n}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}을$($를) 죽이는 짧은 정확한 시퀀스를 시작할 수 있다$$.

참고 항목

• 사례 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=1}$에 대한 공간 분류
• 표현 공간에 관한 갈색 표현성 정리
• 호몰로지 아날로그 무어 공간

메모들

참조

기초 기사

• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945), "Relations between homology and homotopy groups of spaces", Annals of Mathematics, (Second Series), 46 (3): 480–509, doi:10.2307/1969165, JSTOR 1969165, MR 0013312
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1950). "Relations between homology and homotopy groups of spaces. II". Annals of Mathematics. (Second Series). 51 (3): 514–533. doi:10.2307/1969365. JSTOR 1969365. MR 0035435.
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1954). "On the groups ${\displaystyle H(\Pi ,n)}$. III. Operations and obstructions". Annals of Mathematics. 60 (3): 513–557. doi:10.2307/1969849. JSTOR 1969849. MR 0065163.

카르탄 세미나 및 애플리케이션

카르탄 세미나는 아일렌베르크-마클레인 공간의 호몰로지 및 코호몰로지, 구들의 호모토피 집단을 계산하기 위한 어플리케이션을 포함한 많은 근본적인 결과를 담고 있다.

• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/

통합 코호몰로지 링 계산

• 분할된 동력 장치의 파생 펑커
• 유한 포스트니코프 타워의 일체형 코호몰로지
• (Co)Ailenberg-MacLane 공간의 호몰로지 K(G,n)

기타 백과사전 참조 자료

• 수학 백과사전
• nLab의 Eilenberg-Mac 레인 공간