리 대수확장

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

리 그룹, 리 알헤브라와 그들의 표현 이론에서, 리 대수 확장 e는 또 다른 리 대수 h에 의해 주어진 리 대수 g를 확대시킨 것이다.연장은 여러 가지 방법으로 발생한다.리알헤브라 두 마리를 직접 합쳐서 얻은 사소한 연장선이 있다.다른 종류는 분할 확장 및 중앙 확장이다.예를 들어, 투영 집단 표현에서 Lie 대수학을 형성할 때 자연적으로 확장이 발생할 수 있다.그러한 리 대수학에는 중심 전하가 포함될 것이다.

유한차원 단순 리 대수학에 대한 다항식 루프 대수학에서 시작하여 중앙 확장자와 파생에 의한 확장이라는 두 개의 확장을 수행하면서, 지지되지 않은 어포틴 칵-무디 대수학으로 이형화된 리 대수학(Lie 대수학)을 얻는다.중앙 확장 루프 대수를 사용하면 두 개의 스페이스타임 차원으로 전류 대수를 구성할 수 있다.비라소로 대수학(Virasoro 대수학)은 위트 대수학의 보편적인 중심 확장이다.^[1]

물리학에 있어서 중심연장이 필요한 것은 정량화된 시스템의 대칭군이 대개 고전적 대칭군의 중심연장이며, 이와 마찬가지로 양자계의 해당 대칭 Lie 대수학은 일반적으로 고전적 대칭대수학의 중심연장이기 때문이다.^[2]Kac-Moody Algebras는 통일된 슈퍼스트링 이론의 대칭 집단으로 추측되어 왔다.^[3]중심적으로 확장된 리알헤브라는 양자장 이론, 특히 순응장 이론, 끈 이론, M-이론에서 지배적인 역할을 한다.^[4][5]

끝을 향한 큰 부분은 수학에서나 물리학에서나 실제로 유용한 영역에서 Lie 대수확장의 응용을 위한 배경 재료에 할애된다.이점이 있을 수 있는 곳에 괄호 링크(배경 재료)가 제공된다.

역사

리 통신 때문에 이론, 그리고 결과적으로 리 대수 연장의 역사는 그룹 연장의 이론과 역사와 밀접하게 연결되어 있다.집단 확장에 대한 체계적인 연구는 1923년 오스트리아의 수학자 오토 슈레이어가 박사학위 논문에서 수행했고 이후 출간됐다.^{[nb 1][6][7]}오토 헐더 교수의 논문에 대해 제기된 문제점은 "G와 H 두 그룹이 주어지고, 모든 E 그룹이 G에 대해 정상 부분군 N 이형성을 가지며, 인자 그룹 E/N이 H에 이형성을 갖는 것을 발견한다"는 것이었다.

리 대수확장은 무한차원 리알헤브라에 가장 흥미롭고 유용하다.1967년 빅토르 칵과 로버트 무디스가 독자적으로 고전적인 리알헤브라의 개념을 일반화하여 현재는 카크-무디 알헤브라스라 불리는 무한차원 리알헤브라의 새로운 이론을 낳았다.^[8][9]그들은 유한차원 단순 리알헤브라를 일반화하며 종종 확장으로 구체화 될 수 있다.^[10]

표기 및 교정

아래에 제시된 지수적 지도 exp에 대한^X 논증적 남용, 직접 제품 G × H에 있는 요소(g_H, e)에 대한 g 쓰기(e는_H H에 있는 정체성), 리 대수직합(g + h와 (g, h)도 서로 교환하여 사용한다)를 포함한다.반간접 제품 및 반간접 총액도 이와 유사하다.표준 주사(그룹과 리알헤브라의 경우 모두)는 암묵적 식별에 사용된다.나아가 G, H, ...가 집단이라면 G, H, ...의 원소의 기본 명칭은 g, h, ...이고, 그들의 리 알헤브라는 g, h, ...의 기본 명칭은 g, h, ...이다. g, h, ...의 원소의 기본 명칭은 g, h, ... (그룹과 마찬가지로!) 부분적으로는 알파벳 자원을 절약하지만 대부분은 균일한 표기법을 가지고 있다.

연장선상에 있는 재료인 거짓말 알헤브라는 언급 없이 같은 분야로 간주될 것이다.

관련 지수가 위층 또는 아래층인 경우를 포함하여 합산 규약이 적용된다.

주의사항: 아래의 모든 증거와 증거 개요가 보편적인 타당성을 가지는 것은 아니다.가장 큰 이유는 리알헤브라가 종종 무한한 차원(infinite-densional)이며, 그 다음에는 리 대수학에 해당하는 리 그룹이 있을 수도 있고 없을 수도 있기 때문이다.더욱이 그러한 집단이 존재한다고 해도, 예를 들어 지수지도는 존재하지 않을 수도 있고, 존재한다고 해도, 모든 "현상" 속성이 존재하지 않을 수도 있다.이런 경우 그룹에 '거짓말' 한정자를 부여해야 하는지 의문이다.문학은 획일적이지 않다.명시적 예에 대해서는 관련 구조물이 제자리에 있는 것으로 추정된다.

정의

거짓말 대수 연장은 짧은 정확한 순서의 관점에서 공식화된다.^[1]짧은 정확한 순서는 길이 3의 정확한 순서와 같다.

${\displaystyle {\mathfrak{h}\;{\overset {i}{\hockwrightarrow{e}\\\\mathfrak{s}{\nowledrightarrow }}\\\mathfak {g},}$

(1)

그러한 i는 단형주의, s는 인식주의, ker s = im i.정확한 시퀀스의 이러한 속성으로부터, e에서 ()h의 이미지가 이상적이라는 것을 따른다.게다가

${\displaystyle {\mathfak {g}\cong {\mathfak {e}/\operatorname {Im} i={\mathfak {e}/\operatorname {Ker}s,}$

그러나 g가 e의 하위골격과 이형성인 경우는 아니다.이 구조는 그룹 확장의 밀접하게 관련된 개념에서 유사한 구조를 반영한다.

만약 (1)의 상황이 비견할 수 없이 같은 분야에 걸쳐 리 알헤브라의 경우, e는 g by h의 연장선이라고 말한다.

특성.

정의된 재산은 재조정될 수 있다.Lie 대수 e는 g by h의 연장이다.

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

(2)

정확해여기서 끝의 0은 영 리 대수(null 벡터 vector만을 포함)를 나타내며, 지도는 명백한 것이다; ; 지도 ∅ ~ ∅, σ 지도는 g ~ ∅의 모든 원소를 맵핑한다.이 정의와 함께 나는 단동형이고 s는 경동형이라는 것을 자동적으로 따른다.

g by h의 확장이 반드시 고유한 것은 아니다.Let e, e'는 두 개의 확장을 나타내며 아래의 프리타임들이 명확한 해석을 하게 한다.그 후, Lie 대수 이소모르피즘 f:e → e'가 존재한다면.

$[\displaystyle f\displaystyle f\disput i=i],\disput s'\disput f=$

그러면 e와 e' 확장자는 등가 확장이라고 한다.확장의 등가성은 등가관계다.

확장 유형

사소한

A Lie 대수확장

${\displaystyle {\mathfrak{h}\;{\overset {i}{\hockwrightarrow}}\\\mathfrak{t}\\\\nows}{\nowled rightarrow}}\\\mathfrak {g},}$

t = i ⊕ ker s와 i가 t에서 이상적일 정도로 하위공간 i가 있다면 사소한 것이다.^[1]

분할

A Lie 대수확장

${\displaystyle {\mathfrak{h}\;{\overset {i}{\hockwrightarrow{s}\\\mathfrak{s}\\\nows};{\overset {s}{\weadhrighrightarrow},},}}}$

s = u ⊕ ker s가 벡터 공간이고 u가 s의 하위 공간인 경우 분할된다.

이상형은 아장형이지만 아장형이 꼭 이상형인 것은 아니다.따라서 사소한 확장은 분할 확장이다.

중앙

Abelian Lie 대수 a에 의한 Lie 대수 g의 중앙 확장자는 g에 있는 소위 (비교) 2-Cocycle (배경)의 도움을 받아 얻을 수 있다.2-cocycle이 아닌 2-cocycle은 Lie 그룹의 투영적 표현(배경)의 맥락에서 발생한다.이것은 더 내려갈 것을 암시하고 있다.

A Lie 대수확장

${\displaystyle {\mathfrak{h}\;{\overset {i}{\hockwrightarrow}}\\\mathfrak{c}\\\\c};{\overset {s}{\weadhrightarrow }}}\\\\mathfak {g},}}}}}$

ker s가 c의 중심 Z(c)에 포함된 경우 중심 확장이다.

특성.

• 센터가 모든 것을 통근하기 때문에 h ≅ im i = kers는 이 경우 아벨리안이다.
• 중심 확장 e가 g인 경우 g에 2-cocycle을 구성할 수 있다.e가 g x h의 중심 확장이라고 가정하자.s ∘ l = Id_g, 즉 l이 s의 일부인 속성으로 g에서 e까지의 선형 지도가 되게 한다.이 섹션을 사용하여 ε: g × g → e by를 정의하십시오.

${\displaystyle \epsilon(G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}]--[l(G_{1}),l(G_{2}}),\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}.}$

ε 지도가 만족하다.

${\displaystyle \epsilon(G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon(G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}.}$

이를 보려면 왼쪽에 있는 ε의 정의를 사용한 다음 l의 선형성을 사용하십시오.6개 용어 중 절반을 없애려면 g에 자코비 아이덴티티를 사용한다.3개의 눕는 괄호 안에 앉아 있는 l([G_ii,G_jj]]) 용어에 다시 definition의 정의를 사용하고, 마지막으로 임 ε ⊂ ker ker s와 저 ker Z(e)가 모든 것과 0으로 괄호하는 나머지 세 용어에 사용한다.그 다음 φ = i⁻¹ ∘ ε은 해당 관계를 만족하며, h가 1차원이라면, φ은 g에 2-cocycle이다(밑 영역과 h의 사소한 서신을 통해).

중앙 확장

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

다른 모든 중앙 확장의 경우 보편적임

${\displaystyle 0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0}$

고유 동형체 $isms{\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle e}$→ ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $\psi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle h}$→ h → ${\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이 도표와 같은$$ 고유한 동형체가 있다.

통근 즉, i = = = i i i와 s' ∘ ∘ = = s. 보편성에 의해 그러한 보편적인 중심 연장은 이소모르피즘에까지 고유한 것이라고 단정하기 쉽다.

건설

직접합계로

$g{\displaystyle }$ ${\$ {g$},$$h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$mathfak {$h}$을(를) 같은 필드 F ${\displaystyle F}$에 걸쳐 리알헤브라가 되도록$$ 한다$.$ 정의

${\displaystyle {\mathfrak{e}={\mathfrak {h}\mathfrak {g},}$

$그리고{\displaystyle \mathfrak{}}$ e ${\$에 포인트로 덧셈을 정의하십시오$.$ 스칼라 곱셈은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle \alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {h},G\in {\mathfrak {g}.}$

이러한 정의로 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle g}$× ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$h}\$compete{h}\oplus {\mathfrak {g}}$은(는) F ${\displaysty$ F$} 위$에 벡터 공간이다$.$

${\displaystyle [(H_{1},G_{1}),(H_{2}, G_{2}),]=([H_{1},H_{2}), [G_{1},G_{2}]),}$

(3)

${\displaystyle \mathfrak{e}}$ ${\$은(는) Lie 대수학이다$$.추가 정의

${\displaystyle i}{\mathfrak {h}\hockrightarrow {\mathfrak{e};H\mapsto(H,0),\quad s:{\mathfrak {e}\2head 오른쪽 화살표 {\mathfrak {g};(H,G)\mapsto G.}$

(1)을 정확한 순서로 잡고 있는 것이 분명하다.$h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle {\mathfrak {g}$을(를) h {\$displaystyle${\$mathfak {h}$만큼 확장한 것을 사소한 확장이라고 한다.물론 그것은 리 대수직접합이다.By symmetry of definitions, ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$ is an extension of ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ by ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ as well, but ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}}$. It is clear f롬 (3) 하위게브라 ${\displaystyle 0\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ g ${\$이(가) 이상(Lie 대수학)이라는 것.리 알헤브라의 직접 합계의 이 속성은 사소한 연장의 정의로 승격된다.

반간접 합계

동형성 G → 오토(H)를 이용한 그룹의 반간접적 제품(배경)의 건설에서 영감을 받아 리 알헤브라에 상응하는 구조를 만들 수 있다.

ψ:g → 데르 h가 리 대수동형인 경우, $e{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$에 눕는 괄호를 정의한다.

${\displaystyle [(H,G),(H',G')]=([H,H']+\psi _{G}(H')-\psi _{G'}(H),[G,G']),\quad H,H'\in {\mathfrak {h}},G,G'\in {\mathfrak {g}}.}$

(7)

이 Lie bracket으로, 그렇게 얻은 Lie 대수는 e= h ⊕_S g로 표시되며 h와 g의 반간접 합이라고 불린다.

(7)의 검사에 따르면 e에서는 0 g g가 e의 하위골격이고 h 0 0이 이상적이라고 본다.i:h → e by H ↦ H ⊕ 0 및 s:e → g by H ⊕ G h G, H ∈ h, G ∈ g. ker s = im i.따라서 e는 g by h의 리 대수 확장이다.

사소한 확장과 마찬가지로, 이 속성은 분할 확장의 정의에 따라 일반화된다.

예
G를 로렌츠 그룹O(3, 1)로 하고 T는 (${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$^{4$}, +)로 번역 그룹을 이형화하여 푸앵카레 그룹의 곱셈 규칙을 고려한다.P

${\displaystyle (a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset P,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,}$

(여기서 T와 SO(3, 1)는 P에서 해당 이미지로 식별된다.그 직후부터 푸앵카레 그룹에서는 (0, λ)(a, I)(0, λ⁻¹) = (λ a, )) T ⊂ P.따라서 모든 로렌츠 변환 λ은 역 φ과_Λ⁻¹ T의 자동 orph에_Λ 대응하며 φ은 분명히 동형상이다.이제 정의

${\displaystyle {\mathrm {P}}}}}}}}}}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O}(3,1),}$

(4)가 준 곱셈을 부여하다.정의를 풀면 곱셈이 처음부터 시작한 곱셈과 같다는 것을 알게 되고, 곱셈이 P = P. From (5')이_Λ = = Ad를_Λ 따르고, 그 다음 (6')이_λ = = 광고에_λ 따른다는 것을 알게 된다. λ o o(3, 1)

파생별

Δ를 h의 파생(배경)으로 하고 Δ에 의해 확장된 1차원 Lie 대수 g로 나타낸다.e = g ⊕ h에 Lie Bracket 정의 by^{[nb 2][11]}

${\displaystyle [G_{1}+H_{1}, G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta(H_{1})-\mu \delta(H_{2}).}$

bracket의 정의로 볼 때 h가 e in에서 이상적이고 g가 e의 하위격자임을 알 수 있다.더욱이 g는 e에서 h를 보완한다.let i:h → e는 H ↦ (0, H)와 s:e → g by (G, H) ↦ G. im i = ker s.따라서 e는 g by h의 분할 확장이다.그러한 확장을 파생에 의한 확장이라고 한다.

ψ: g → der h가 ψ(μΔ)(H) = μΔ(H)로 정의된다면, ψ는 der h에 대한 Lie 대수 동형성이다.따라서 이 시공은 ψ에서 시작하여 앞의 절에서 공법을 사용할 때 동일한 Liebracket 결과가 나타나는 반간접 합계의 특별한 경우다.

2-코사이클로

ε이 Lie 대수 g의 2-코사이클(배경)이고 h가 어떤 1차원 벡터 공간인 경우 e = h g g(벡터 공간 직접합)으로 하고 e에 Lie bracket을 정의한다.

${\displaystyle [\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\epsilon (G1,G2)H,\quad \mu ,\nu \in F.}$

여기서 H는 임의적이지만 h의 고정된 요소다.대칭은 g에 있는 Lie bracket의 대칭과 2-cocycle의 대칭에서 나타난다.자코비 정체성은 g와 ε의 해당 속성에서 따온 것이다.그러므로 e는 Lie 대수다.G₁ = 0을 넣으면 그 μH ∈ Z(e)를 따른다.또 i: μH μH(μH, 0) 및 s: (μH, G) μ G로 임i = ker s = {(μH, 0): μ F} μ Z(e)로 이어진다.따라서 e는 g x h의 중심 확장이다.그것은 2-코사이클로 확장이라고 불린다.

정리

아래는 중앙 확장 및 2-코클에 관한 몇 가지 결과를 따른다.^[12]

정리^[1]
φ과₁ φ은₂ Lie 대수 g에 있는 코호몰로하 2-코사이클이 되고 e와₁₂ e는 각각 이 2-코사이클로 구성된 중심 확장이 되도록 한다.그러면 중앙 확장자 e와₁ e는₂ 등가 확장자 입니다.
증명
정의상 φ₂ = φ₁ + Δf.정의

${\displaystyle \psi :G+\mu c\in {e}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}_{2}.}$

ψ은 Lie 대수 이형성(Lie 대수학 이형성)이며 (2)가 가지고 있는 정의에서 따온 것이다.

코롤라리
코호몰로지 클래스 [φ] ∈ H²(g, F)는 이등형성에 이르기까지 고유한 g의 중심 확장을 정의한다.

소소한 2코사이클은 소소한 연장선을 주는데, 2코바운드는 소소한 2코사이클과 동음이의어가 되기 때문에 소소한 2코사이클은 소형의 2코사이클을 가지고 있다.
코롤라리
공동 경계로 정의되는 중심 확장자는 사소한 중심 확장자와 동등하다.

정리
유한차원 단순 리 대수학에는 사소한 중심 확장만이 있을 뿐이다.
증명
모든 중심 연장은 2코사이클 φ에서 나오므로, 모든 2코클이 공동 경계임을 보여주기에 충분하다.φ이 g에 2코사이클이라고 가정하자.과제는 이 2-코사이클을 사용하여 φ = Δf와 같은 1-코체인 f를 제조하는 것이다.

첫 번째 단계는 각 G_G1 ∈ g에 대해 φ을 사용하여 선형 지도 ρ_G1:g → F를 정의하는 것이다.그러나 선형 지도는 g의^∗ 요소들이다.이것은 이형성 ν을 이용하여 K의 관점에서 φ을 표현하기에 충분하다.다음으로, 선형 지도 d:g → g가 파생으로 판명되는 것을 정의한다.모든 파생은 내적인 것이므로, 어떤 G_d ∈ g에 대해 d = 광고를_Gd 가지고 있다. K와 d의 관점에서 φ에 대한 표현을 얻는다.따라서 d가 파생이라는 것을 믿고

${\displaystyle \varphi(G_{1},G_{2})\equiv \rho_{{1}:{G_{1}}=K(\nu ^{1},\rho _{G_{1}),G_{2}}\equiv K(d(G_{1}), G_{2}=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}), G_{2}=K([G_{d},G_{1}),G_{2}=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])).}$

f를 1코사슬로 정의

$[\displaystyle f(G)=K(G_{d},G).}$

그러면

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d}, [G_{1},G_{2}])=\varphi(G_{1},G_{2}),}$

φ이 공동 경계임을 보여 준다.이전의 결과에 따르면, 어떤 중앙 확장도 사소한 것이다.

다음과 같은 방법으로 대칭 비 탈구적 연관성 형식 K와 2-cocycle φ이 주어진 파생 d를 정의할 수 있다는 관측치

${\displaystyle K(\nu ^{-1})(\rho _{G_{1}),G_{2}\equiv K(d(G_{1}), G_{2}),}$

또는 K의 대칭과 φ의 대칭성을 이용하여

${\d(G_{1}),G_{2}=-K(G_{1},d(G_{2}),}$

진원지로 이어지다

코롤라리
L:'g × g: → F는 비분수 대칭 연관 이선형이고 d는 만족스러운 파생형이 되도록 하라.

${\디스플레이 스타일 L(d(G_{1}), G_{2}=-L(G_{1},d(G_{2}),}$

다음에 정의한 φ

${\displaystyle \varphi(G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2}}$

2인치 짜리 자전거야

Proof d에 대한 조건은 φ의 대칭성을 보장한다.2-코키클에 대한 자코비 정체성은 다음으로 시작한다.

${\displaystyle \varphi([G1,G_{2}),G_{3}=L(d[G1,G_{2}),G_{3}=L([d(G1)],G_{2}],G_{3}+L([G1,d(G_{2})],G_{3}),}$

형태의 대칭, 대칭의 대칭성, 그리고 다시 한번 L의 관점에서 φ의 정의를 사용한다.

g가 리 그룹 G의 리 대수이고 e가 g의 중심 확장인 경우, 리 대수 e를 가진 리 그룹 E가 있는지 물어볼 수 있다.정답은, 리의 세 번째 정리 긍정이다.그러나 Lie 대수 e와 함께 G의 중심 확장자 E가 있는가?이 질문에 대한 대답은 약간의 기계가 필요하며, 투인만&위게린크(1987, 정리 5.4)에서 찾을 수 있다.

적용들

앞의 정리의 "부정" 결과는 최소한 반시 구현된 리알헤브라를 위해, 중앙 확장의 유용한 응용을 찾기 위해 무한 차원 리알헤브라에 가야 한다는 것을 나타낸다.정말 그런 것이 있다.여기엔 카크-무디 알헤브라와 비라소로 알헤브라가 소개될 것이다.이것들은 다항 루프-알제브라스와 위트 대수학의 확장이다.

다항 루프-알제브라

g를 다항 루프 대수(배경),

${\displaystyle {\mathfak{g}=C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfak {g}_{0}}}$

여기서 g는₀ 복잡한 유한차원 단순 리 대수다.목표는 이 대수학의 중심 연장을 찾는 것이다.두 가지 이론이 적용된다.한편, g에 2-cocycle이 있는 경우, 중심 확장을 정의할 수 있다.한편, 이 2코사이클이 g₀ 파트(만 해당)에 작용하고 있다면, 그 결과의 연장은 사소한 것이다.더욱이 g₀(만)에 작용하는 파생은 2-cocycle의 정의에 사용될 수 없다. 왜냐하면 이러한 파생은 모두 내부적이고 동일한 문제 결과이기 때문이다.따라서 C[λ, λ⁻¹]에 있는 파생어를 찾는다.그러한 파생어 집합 중 하나는

${\displaystyle d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }}},\quad k\in \mathb {Z}.}$

g에 대한 비퇴행 이선 결합 대칭성 형태 L을 제조하기 위해서는 m, n을 고정시킨 상태에서 먼저 인수의 제약에 관심이 집중된다.요구사항을 만족하는 모든 형태가 킬링 폼 K on g의₀ 배수라는 것이 정리다.^[13]이것은 필요하다.

${\displaystyle L(\lambda ^{l}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2}=\lmma _{lm}K(G_{1}, G_{2}).}$

K의 대칭성이 함축하고 있다.

${\displaystyle \property_{mn}=\filename _{nm}}$

그리고 연상성 산출물

${\displaystyle \cHB _{k+l,m}=\cHB _{k,l+m}}$

l = 0을 사용하면 γ_lm = γ을_0,l+m 볼 수 있다.이 마지막 조건은 전자를 내포하고 있다.이 사실을 이용하여 f(n) = γ을_0,n 정의한다. 그러면 정의 방정식은

${\displaystyle L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2}=f(l+m)K(G_{1},G_{2}).}$

모든 i ∈ $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 정의에$$ 대해

${\displaystyle f(n)=\delta _{ni}\왼쪽 오른쪽 화살표 \gamma _{lm}=\delta _{l+m,i}}}$

대칭적 연관 형태를 정의하는지 여부

${\displaystyle L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},\lambda ^{m}\otimes G_{2}=\delta _{l+m,i}K(G_{1},G_{2}).}$

그러나 이것들은 모든 형태가 올바른 속성을 갖는 벡터 공간의 기초를 형성한다.

현재 파생 및 상태로 돌아가기

${\displaystyle L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),}$

정의로 볼 때

${\displaystyle l\m_{k+l+m,i}=-m\m\m_{k+l+m,i}}$

또는 n = l + m을 사용하면

${\displaystyle n\property _{k+n,i}=0.}$

이 (그리고 비대칭 조건)은 k = i일 경우, 특히 k = i = 0일 때 유지된다.

따라서 L = L₀, d = d를₀ 선택했다.이러한 선택으로, 코랄라 안의 전제는 만족하게 된다.다음에 의해 정의된 2-Cocycle φ

${\displaystyle \varphi(P(\lambda )\otimes G_{1}), Q(\lambda )\otimes G_{2})=L(\lambda {dP}{d\lambda }}}}\otimes G_{1},Q(\lambda)}).$

g의 중심 확장을 정의하기 위해 최종적으로 채택되었다.

${\displaystyle {\mathfrak{e}={\mathfrak {g}\\oplus \mathb {C}C,}$

리 브라켓으로

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.}$

적절한 정규화 및 비대칭 구조 상수를 사용하는 기본 요소의 경우

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}^{k_{k}}+L(\lambda {d\lambda ^{l}}}}}{d\lambda }}}}}\lambda ^{m}otimes G_{j}C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {c_{ij}^{k_{k}+L(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}^{k_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{정렬}}}$

이것은 다항 루프 대수학의 보편적인 중심 확장이다.^[14]

용어에 대한 참고 사항

물리학 용어에서, 위의 대수학은 Kac-Moody 대수학으로 통과될 수 있지만, 수학 용어는 그렇지 않을 것이다.이를 위해서는 파생에 의한 확장인 추가 차원이 필요하다.그럼에도 불구하고 물리적 적용에서 g 또는₀ 그 대표성의 고유값을 (일반적인) 양자수로 해석할 경우 발전기의 추가 상위첨자를 수준이라고 한다.추가 양자수다.고유값이 정확히 그 수준인 추가 연산자는 아래에서 더 자세히 소개된다.

전류대수학

다항 루프 대수의 중심 확장을 적용하기 위해 양자장 이론의 현재 대수학을 고려한다(배경).한 사람이 현재 대수학을 가지고 있다고 가정해 봅시다. 흥미로운 정류자는

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\reason _{j}\reason (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+,}$

(CA10)

슈윙거 용어로는이 대수학을 수학적으로 구성하려면 g를 이전 섹션의 중앙 확장 다항식 루프 대수(based ended polyomial loop 대수)가 되도록 한다.

${\displaystyle [\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C}$

정류 관계의 하나로서, 또는 물리학 규약에 따라 i의 인수를 갖는 표기법(l→m, m→n, i→a→a→j→b, λλG^m_a→T^m_a)의 전환으로서,^{[nb 3]}

${\displaystyle [T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.}$

g의 요소를 사용하여 정의한다.

${\displaystyle J_{a}(x)={\frac {\hbar }{{L}\sum _{n=-\flt }^{\frac{2\pi inx}{L}}}}}}T_{a}^{-n},x\in \mathb {R} .}$

라고 말하고 있다.

${\displaystyle J_{a}(x+L)=J_{a}(x)}$

원 위에 정의되도록.이제 정류자를 계산해봐

${\displaystyle {\displaystyle}[][[]]J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\왼쪽({\frac {\hbar }{{L}\오른쪽)^{2}\왼쪽[\sum _{n=-\inflit }^{\e^{\frac {2\pi inx}{L}}}}}}}}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\nflit }^{\e^{\frac {2\pi imy}{L}^{-m}\right]\\&=\왼쪽({\frac {\hbar }}{L}\오른쪽)^{2}\sum _{m,n=-\flt }^{\frac {2\pi inx}{{\m,n=-\flt }}}}{\frac {2\pi inx}{{{{{L}}e^{\frac {2\pi imy}{{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}]\end{정렬}}}$

단순성을 위해 좌표를 전환하여 y → 0, x → x - y ≡ z를 사용하고 정류 관계를 사용한다.

${\displaystyle {\displaystyle}[][[]]J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\좌측({\frac {\hbar }}{L}\우측)^{2}\sum _{m,n=-\inflt }^{\e^{\frac {2\pi inz}{\}{\m,n=-\nflt}}}}}}}}}L}}[i{C_{ab}}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\왼쪽({\frac {\hbar }{L}\오른쪽)^{2}\sum _{m=-\inflt }^{{m=-\inflt }e^{\fract {2\pi i(-m)z}{{m=}}}}}L}}\sum _{l=-\flt }^{\inflt ^{\frac {2\pi i(l)z}{L}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\왼쪽({\frac {\hbar }}{L}\오른쪽)^{2}\sum _{m,n=-\inflt }^{\e^{\frac {2\pi inz}{\}{\frac}}{{\fl}}}}}}}}{{L}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\왼쪽({\frac {\hbar }{L}\오른쪽)\sum _{m=-\inflt }^{}e^{\frac {2\pi imz}{{{}}}}}}}}}}}}}}}L}}i{C_{ab}}^{c_{c}(z)-\좌측({\frac {\hbar }{L}\우측)^{n=-\sum _{n=-\inflt }^{}e^{\frac {2\pi inz}{{{}}}}}}}{{{}}}}L}}n\delta _{ab}C\end{arged}}$

이제 포아송 합산식을 채택하고

${\displaystyle {\frac {1}{{L}\sum _{n=-\nflt }^{\flt ^{\frac{-2\pi inz}{{n1}{n=-\nflt ^{\flt}{nflt=-\pi inz}L}}={\frac{1}{{L}\sum _{n=-\nflt }^{\n=\delta (z)}$

(0, L) 구간에 있는 z에 대해 그리고 수율을 위해 그것을 구별한다.

${\displaystyle -{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\nflit }^{\ne^{\frac{-2\pi inz}{{ne^}{\frac{-2\pi inz}}}{{n=-\nflt=-\piL}}=\delta '(z),}$

그리고 마침내

${\displaystyle [J_{a}(x-y)),J_{b}(0)=i\hbar {C_{ab}^{c_{c}(x-y)\delta(x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}:{2\pi _{ab}C\delta '(x-y),}}$

또는

${\displaystyle [J_{a}(x),J_{b}(y)=i\hbar {C_{ab}^{c_{c}(x-y)\delta(x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}\delta _{ab}C\delta '(x-y),}}$

델타 함수 인수는 정류자의 좌우 변수의 인수가 같음을 보장할 뿐이기 때문에(Δ(z) = Δ(z - 0) Δ(x -y) - 0) = Δ(x -y) = Δ(x -y) = Δ(x -y)이다.

CA10과 비교했을 때, 이것은 슈윙거 용어를 포함한 2개의 스페이스타임 치수의 현재 대수인데, 공간 치수가 원으로 웅크리고 있다.양자장 이론의 고전적 설정에서 이것은 아마도 별로 쓸모가 없겠지만, 필드가 세계의 현판 위에 살고, 공간적 차원이 웅크리고 있는 끈 이론의 출현과 함께, 관련 응용이 있을 수 있다.

카크무디 대수

앞의 절에서 2-코사이클 φ의 구성에 사용된 파생 d는₀ Kac-Moody 대수^[15][16](배경)를 실현하기 위해 여기서 g로 표시된 중앙 확장 다항 루프 대수에서 파생 D로 확장할 수 있다.단순설정

${\dapplaystyle D(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.}$

다음으로 벡터 공간으로 정의

${\displaystyle {\mathfrak {e}=\mathb {C}d+{\mathfrak {g}.}$

e의 Lie Bracket은 파생된 표준 구성에 따라 다음 기준에 의해 주어진다.

${\displaystyle{\begin{정렬}[\lambda ^{m}'D G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu \otimes]&,=\lambda ^{m+n}\otimes,=\lambda ^{m+n}\otimes _ᆴK(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otim[G_{1},G_{2}]+m\delta D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\& _ᆲK(G_{1},G_{2})C+\nu[G_{1},G_{2}]+m\delta.es G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\time G_{2}.\end{정렬}}}$

For convenience, define

${\displaystyle G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.}$

In addition, assume the basis on the underlying finite-dimensional simple Lie algebra has been chosen so that the structure coefficients are antisymmetric in all indices and that the basis is appropriately normalized. Then one immediately through the definitions verifies the following commutation relations.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

These are precisely the short-hand description of an untwisted affine Kac–Moody algebra. To recapitulate, begin with a finite-dimensional simple Lie algebra. Define a space of formal Laurent polynomials with coefficients in the finite-dimensional simple Lie algebra. With the support of a symmetric non-degenerate alternating bilinear form and a derivation, a 2-cocycle is defined, subsequently used in the standard prescription for a central extension by a 2-cocycle. Extend the derivation to this new space, use the standard prescription for a split extension by a derivation and an untwisted affine Kac–Moody algebra obtains.

Virasoro algebra

The purpose is to construct the Virasoro algebra (named after Miguel Angel Virasoro)^{[nb 4]} as a central extension by a 2-cocycle φ of the Witt algebra W (background). The Jacobi identity for 2-cocycles yields

${\displaystyle (l-m)\eta _{n+m,p}+(m-n)\eta _{m+n,l}+(n-l)\eta _{l+n,m}=0,\quad \eta _{ij}=\varphi (d_{i},d_{j}).}$

(V10)

Letting ${\displaystyle l=0}$ and using antisymmetry of η one obtains

${\displaystyle (m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.}$

In the extension, the commutation relations for the element d₀ are

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).}$

It is desirable to get rid of the central charge on the right hand side. To do this define

${\displaystyle f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.}$

Then, using f as a 1-cochain,

${\displaystyle \eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,}$

so with this 2-cocycle, equivalent to the previous one, one has^{[nb 5]}

${\displaystyle [d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.}$

With this new 2-cocycle (skip the prime) the condition becomes

${\displaystyle (n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,}$

and thus

${\displaystyle \eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),}$

where the last condition is due to the antisymmetry of the Lie bracket. With this, and with l + m + p = 0 (cutting out a "plane" in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{3}}$), (V10) yields

${\displaystyle (2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,}$

that with p = 1 (cutting out a "line" in ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$) becomes

${\displaystyle (m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.}$

This is a difference equation generally solved by

${\displaystyle a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.}$

The commutator in the extension on elements of W is then

${\displaystyle [d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.}$

With β = 0 it is possible to change basis (or modify the 2-cocycle by a 2-coboundary) so that

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},}$

with the central charge absent altogether, and the extension is hence trivial. (This was not (generally) the case with the previous modification, where only d₀ obtained the original relations.) With β ≠ 0 the following change of basis,

${\displaystyle d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,}$

the commutation relations take the form

${\displaystyle [d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,}$

showing that the part linear in m is trivial. It also shows that H²(W, ${\displaystyle \mathbb {C} }$) is one-dimensional (corresponding to the choice of β). The conventional choice is to take α = −β = 1⁄12 and still retaining freedom by absorbing an arbitrary factor in the arbitrary object C. The Virasoro algebra V is then

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,}$

with commutation relations

Bosonic open strings

The relativistic classical open string (background) is subject to quantization. This roughly amounts to taking the position and the momentum of the string and promoting them to operators on the space of states of open strings. Since strings are extended objects, this results in a continuum of operators depending on the parameter σ. The following commutation relations are postulated in the Heisenberg picture.^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}}$

All other commutators vanish.

Because of the continuum of operators, and because of the delta functions, it is desirable to express these relations instead in terms of the quantized versions of the Virasoro modes, the Virasoro operators. These are calculated to satisfy

${\displaystyle [\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}}$

They are interpreted as creation and annihilation operators acting on Hilbert space, increasing or decreasing the quantum of their respective modes. If the index is negative, the operator is a creation operator, otherwise it is an annihilation operator. (If it is zero, it is proportional to the total momentum operator.) In view of the fact that the light cone plus and minus modes were expressed in terms of the transverse Virasoro modes, one must consider the commutation relations between the Virasoro operators. These were classically defined (then modes) as

${\displaystyle L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

Since, in the quantized theory, the alphas are operators, the ordering of the factors matter. In view of the commutation relation between the mode operators, it will only matter for the operator L₀ (for which m + n = 0). L₀ is chosen normal ordered,

${\displaystyle L_{0}={\frac {1}{2}}\alpha _{0}^{I}\alpha _{0}^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }\alpha _{-p}^{I}\alpha _{p}^{I},=\alpha 'p^{I}p^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }p\alpha _{p}^{I\dagger }\alpha _{p}^{I}+c}$

where c is a possible ordering constant. One obtains after a somewhat lengthy calculation^[18] the relations

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m+n\neq 0.}$

If one would allow for m + n = 0 above, then one has precisely the commutation relations of the Witt algebra. Instead one has

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {D-2}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad \forall m,n\in \mathbb {Z} .}$

upon identification of the generic central term as (D − 2) times the identity operator, this is the Virasoro algebra, the universal central extension of the Witt algebra.

The operator L₀ enters the theory as the Hamiltonian, modulo an additive constant. Moreover, the Virasoro operators enter into the definition of the Lorentz generators of the theory. It is perhaps the most important algebra in string theory.^[19] The consistency of the Lorentz generators, by the way, fixes the spacetime dimensionality to 26. While this theory presented here (for relative simplicity of exposition) is unphysical, or at the very least incomplete (it has, for instance, no fermions) the Virasoro algebra arises in the same way in the more viable superstring theory and M-theory.

Group extension

A projective representation Π(G) of a Lie group G (background) can be used to define a so-called group extension G_ex.

In quantum mechanics, Wigner's theorem asserts that if G is a symmetry group, then it will be represented projectively on Hilbert space by unitary or antiunitary operators. This is often dealt with by passing to the universal covering group of G and take it as the symmetry group. This works nicely for the rotation group SO(3) and the Lorentz group O(3, 1), but it does not work when the symmetry group is the Galilean group. In this case one has to pass to its central extension, the Bargmann group,^[20] which is the symmetry group of the Schrödinger equation. Likewise, if G = ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, the group of translations in position and momentum space, one has to pass to its central extension, the Heisenberg group.^[21]

Let ω be the 2-cocycle on G induced by Π. Define^{[nb 6]}

${\displaystyle G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g) \lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}}$

as a set and let the multiplication be defined by

${\displaystyle (\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).}$

Associativity holds since ω is a 2-cocycle on G. One has for the unit element

${\displaystyle (1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),}$

and for the inverse

${\displaystyle (\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).}$

The set (${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$, e) is an abelian subgroup of G_ex. This means that G_ex is not semisimple. The center of G, Z(G) = {z ∈ G zg = gz ∀g ∈ G} includes this subgroup. The center may be larger.

At the level of Lie algebras it can be shown that the Lie algebra g_ex of G_ex is given by

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},}$

as a vector space and endowed with the Lie bracket

${\displaystyle [\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.}$

Here η is a 2-cocycle on g. This 2-cocycle can be obtained from ω albeit in a highly nontrivial way.^{[nb 7]}

Now by using the projective representation Π one may define a map Π_ex by

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).}$

It has the properties

${\displaystyle \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),}$

so Π_ex(G_ex) is a bona fide representation of G_ex.

In the context of Wigner's theorem, the situation may be depicted as such (replace ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ by U(1)); let SH denote the unit sphere in Hilbert space H, and let (·,·) be its inner product. Let PH denote ray space and [·,·] the ray product. Let moreover a wiggly arrow denote a group action. Then the diagram

commutes, i.e.

${\displaystyle \pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.}$

Moreover, in the same way that G is a symmetry of PH preserving [·,·], G_ex is a symmetry of SH preserving (·,·). The fibers of π₂ are all circles. These circles are left invariant under the action of U(1). The action of U(1) on these fibers is transitive with no fixed point. The conclusion is that SH is a principal fiber bundle over PH with structure group U(1).^[21]

Background material

In order to adequately discuss extensions, structure that goes beyond the defining properties of a Lie algebra is needed. Rudimentary facts about these are collected here for quick reference.

Derivations

A derivation δ on a Lie algebra g is a map

${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

such that the Leibniz rule

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]}$

holds. The set of derivations on a Lie algebra g is denoted der g. It is itself a Lie algebra under the Lie bracket

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.}$

It is the Lie algebra of the group Aut g of automorphisms of g.^[22] One has to show

${\displaystyle \delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$

If the rhs holds, differentiate and set t = 0 implying that the lhs holds. If the lhs holds (A), write the rhs as

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],}$

and differentiate the rhs of this expression. It is, using (A), identically zero. Hence the rhs of this expression is independent of t and equals its value for t = 0, which is the lhs of this expression.

If G ∈ g, then ad_G, acting by ad_G1(G₂) = [G₁, G₂], is a derivation. The set ad_G: G ∈ g is the set of inner derivations on g. For finite-dimensional simple Lie algebras all derivations are inner derivations.^[23]

Semidirect product (groups)

Consider two Lie groups G and H and Aut H, the automorphism group of H. The latter is the group of isomorphisms of H. If there is a Lie group homomorphism Φ:G → Aut H, then for each g ∈ G there is a Φ(g) ≡ Φ_g ∈ Aut H with the property Φ_gg' = Φ_gΦ_g', g,g' ∈ G. Denote with E the set H × G and define multiplication by

${\displaystyle (h,g)(h',g')=(h\phi _{g}(h'),gg'),\quad g,g'\in G,h,h'\in H.}$

(4)

Then E is a group with identity (e_H, e_G) and the inverse is given by (h, g)⁻¹ = (Φ_g⁻¹(h⁻¹), g⁻¹). Using the expression for the inverse and equation (4) it is seen that H is normal in E. Denote the group with this semidirect product as E = H ⊗_S G.

Conversely, if E = H ⊗_S G is a given semidirect product expression of the group E, then by definition H is normal in E and C_g ∈ Aut H for each g ∈ G where C_g (h) ≡ ghg⁻¹ and the map Φ:g ↦ C_g is a homomorphism.

Now make use of the Lie correspondence. The maps Φ_g:H → H, g ∈ G each induce, at the level of Lie algebras, a map Ψ_g:h → h. This map is computed by

${\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}\phi _{g}(e^{tG})\right _{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}},g\in G.}$

(5)

For instance, if G and H are both subgroups of a larger group E and Φ_g = ghg⁻¹, then

${\displaystyle \Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}ge^{tG}g^{-1}\right _{t=0}=gGg^{-1}=\mathrm {Ad} _{g}(G),}$

(5')

and one recognizes Ψ as the adjoint action Ad of E on h restricted to G. Now Ψ:G → Aut h [ ⊂ GL(h) if h is finite-dimensional] is a homomorphism,^{[nb 8]} and appealing once more to the Lie correspondence, there is a unique Lie algebra homomorphism ψ:g → Lie(Aut h) = Der h ⊂ gl(h).^{[nb 9]} This map is (formally) given by

${\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\Psi _{e^{tG}}\right _{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}}}$

(6)

for example, if Ψ = Ad, then (formally)

${\displaystyle \psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\mathrm {Ad} _{e^{tG}}\right _{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}e^{\mathrm {ad} _{tG}}\right _{t=0}=\mathrm {ad} _{G},}$

(6')

where a relationship between Ad and the adjoint action ad rigorously proved in here is used.

Lie algebra
The Lie algebra is, as a vector space, e = h ⊕ g. This is clear since GH generates E and G ∩ H = (e_H, e_G). The Lie bracket is given by^[24]

${\displaystyle [H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.}$

Cohomology

For the present purposes, consideration of a limited portion of the theory Lie algebra cohomology suffices. The definitions are not the most general possible, or even the most common ones, but the objects they refer to are authentic instances of more the general definitions.

2-cocycles
The objects of primary interest are the 2-cocycles on g, defined as bilinearalternating functions,

${\displaystyle \phi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F,}$

that are alternating,

${\displaystyle \phi (G_{1},G_{2})=-\phi (G_{2},G_{1}),}$

and having a property resembling the Jacobi identity called the Jacobi identity for 2-cycles,

${\displaystyle \phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0.}$

The set of all 2-cocycles on g is denoted Z²(g, F).

2-cocycles from 1-cochains
Some 2-cocycles can be obtained from 1-cochains. A 1-cochain on g is simply a linear map,

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow F}$

The set of all such maps is denoted C¹(g, F) and, of course (in at least the finite-dimensional case) C¹(g, F) ≅ g*. Using a 1-cochain f, a 2-cocycle δf may be defined by

${\displaystyle \delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}]).}$

The alternating property is immediate and the Jacobi identity for 2-cocycles is (as usual) shown by writing it out and using the definition and properties of the ingredients (here the Jacobi identity on g and the linearity of f). The linear map δ:C¹(g, F) → Z²(g, F) is called the coboundary operator (here restricted to C¹(g, F)).

The second cohomology group
Denote the image of C¹(g, F) of δ by B²(g, F). The quotient

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )}$

is called the second cohomology group of g. Elements of H²(g, F) are equivalence classes of 2-cocycles and two 2-cocycles φ₁ and φ₂ are called equivalent cocycles if they differ by a 2-coboundary, i.e. if φ₁ = φ₂ + δf for some f ∈ C¹(g, F). Equivalent 2-cocycles are called cohomologous. The equivalence class of φ ∈ Z²(g, F) is denoted [φ] ∈ H².

These notions generalize in several directions. For this, see the main articles.

Structure constants

Let B be a Hamel basis for g. Then each G ∈ g has a unique expression as

${\displaystyle G=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }G_{\alpha },\quad c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B}$

for some indexing set A of suitable size. In this expansion, only finitely many c_α are nonzero. In the sequel it is (for simplicity) assumed that the basis is countable, and Latin letters are used for the indices and the indexing set can be taken to be ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ = 1, 2, .... One immediately has

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k}}$

for the basis elements, where the summation symbol has been rationalized away, the summation convention applies. The placement of the indices in the structure constants (up or down) is immaterial. The following theorem is useful:

Theorem:There is a basis such that the structure constants are antisymmetric in all indices if and only if the Lie algebra is a direct sum of simple compact Lie algebras and u(1) Lie algebras. This is the case if and only if there is a real positive definite metric g on g satisfying the invariance condition

${\displaystyle g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }.}$

in any basis. This last condition is necessary on physical grounds for non-Abelian gauge theories in quantum field theory. Thus one can produce an infinite list of possible gauge theories using the Cartan catalog of simple Lie algebras on their compact form (i.e., sl(n, ${\displaystyle \mathbb {C} }$) → su(n), etc. One such gauge theory is the U(1) × SU(2) × SU(3) gauge theory of the standard model with Lie algebra u(1) ⊕ su(2) ⊕ su(3).^[25]

Killing form

The Killing form is a symmetric bilinear form on g defined by

${\displaystyle K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).}$

Here ad_G is viewed as a matrix operating on the vector space g. The key fact needed is that if g is semisimple, then, by Cartan's criterion, K is non-degenerate. In such a case K may be used to identify g and g^∗. If λ ∈ g^∗, then there is a ν(λ) = G_λ ∈ g such that

${\displaystyle \langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}.}$

This is resembling Riesz representation theorem and the proof is virtually the same. The Killing form has the property

${\displaystyle K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}]),}$

which is referred to as associativity. By defining g_αβ = K[G_α,G_β] and expanding the inner brackets in terms of structure constants, one finds that the Killing form satisfies the invariance condition of above.

Loop algebra

A loop group is taken as a group of smooth maps from the unit circle S¹ into a Lie group G with the group structure defined by the group structure on G. The Lie algebra of a loop group is then a vector space of mappings from S¹ into the Lie algebra g of G. Any subalgebra of such a Lie algebra is referred to as a loop algebra. Attention here is focused on polynomial loop algebras of the form

${\displaystyle \{h:S^{1}\to {\mathfrak {g}} h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}\}.}$

A little thought confirms that these are loops in g as θ goes from 0 to 2π. The operations are the ones defined pointwise by the operations in g. This algebra is isomorphic with the algebra

${\displaystyle C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}},}$

where C[λ, λ⁻¹] is the algebra of Laurent polynomials,

${\displaystyle \sum \lambda ^{k}G_{k}\leftrightarrow \sum \lambda ^{k}\otimes G_{k}.}$

The Lie bracket is

${\displaystyle [P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2}]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}].}$

In this latter view the elements can be considered as polynomials with (constant!) coefficients in g. In terms of a basis and structure constants,

${\displaystyle [\lambda ^{m}\otimes G_{i},\lambda ^{n}\otimes G_{j}]={C_{ij}}^{k}\lambda ^{m+n}\otimes G_{k}.}$

It is also common to have a different notation,

${\displaystyle \lambda ^{m}\otimes G_{i}\cong \lambda ^{m}G_{i}\leftrightarrow T_{i}^{m}(\lambda )\equiv T_{i}^{m},}$

where the omission of λ should be kept in mind to avoid confusion; the elements really are functions S¹ → g. The Lie bracket is then

which is recognizable as one of the commutation relations in an untwisted affine Kac–Moody algebra, to be introduced later, without the central term. With m = n = 0, a subalgebra isomorphic to g is obtained. It generates (as seen by tracing backwards in the definitions) the set of constant maps from S¹ into G, which is obviously isomorphic with G when exp is onto (which is the case when G is compact. If G is compact, then a basis (G_k) for g may be chosen such that the G_k are skew-Hermitian. As a consequence,

${\displaystyle T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}.}$

Such a representation is called unitary because the representatives

${\displaystyle H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G}$

are unitary. Here, the minus on the lower index of T is conventional, the summation convention applies, and the λ is (by the definition) buried in the Ts in the right hand side.

Current algebra (physics)

Current algebras arise in quantum field theories as a consequence of global gauge symmetry. Conserved currents occur in classical field theories whenever the Lagrangian respects a continuous symmetry. This is the content of Noether's theorem. Most (perhaps all) modern quantum field theories can be formulated in terms of classical Lagrangians (prior to quantization), so Noether's theorem applies in the quantum case as well. Upon quantization, the conserved currents are promoted to position dependent operators on Hilbert space. These operators are subject to commutation relations, generally forming an infinite-dimensional Lie algebra. A model illustrating this is presented below.

To enhance the flavor of physics, factors of i will appear here and there as opposed to in the mathematical conventions.^{[nb 3]}

Consider a column vector Φ of scalar fields (Φ₁, Φ₂, ..., Φ_N). Let the Lagrangian density be

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .}$

This Lagrangian is invariant under the transformation^{[nb 10]}

${\displaystyle \phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,}$

where {F₁, F₁, ..., F_r} are generators of either U(N) or a closed subgroup thereof, satisfying

${\displaystyle [F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.}$

Noether's theorem asserts the existence of r conserved currents,

${\displaystyle J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},}$

where π^k0 ≡ π^k is the momentum canonically conjugate to Φ_k. The reason these currents are said to be conserved is because

${\displaystyle \partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,}$

and consequently

${\displaystyle Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},}$

the charge associated to the charge density J_a⁰ is constant in time.^{[nb 11]} This (so far classical) theory is quantized promoting the fields and their conjugates to operators on Hilbert space and by postulating (bosonic quantization) the commutation relations^{[26][nb 12]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\phi _{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]&=i\delta (x-y)\delta _{k}^{l},\\{}[\phi _{k}(t,x),\phi _{l}(t,x)]&=[\pi ^{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]=0.\end{aligned}}}$

The currents accordingly become operators^{[nb 13]} They satisfy, using the above postulated relations, the definitions and integration over space, the commutation relations

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$

where the speed of light and the reduced Planck's constant have been set to unity. The last commutation relation does not follow from the postulated commutation relations (these are fixed only for π^k0, not for π^k1, π^k2, π^k3), except for μ = 0 For μ = 1, 2, 3 the Lorentz transformation behavior is used to deduce the conclusion. The next commutator to consider is

${\displaystyle [J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....}$

The presence of the delta functions and their derivatives is explained by the requirement of microcausality that implies that the commutator vanishes when x ≠ y. Thus the commutator must be a distribution supported at x = y.^[27] The first term is fixed due to the requirement that the equation should, when integrated over X, reduce to the last equation before it. The following terms are the Schwinger terms. They integrate to zero, but it can be shown quite generally^[28] that they must be nonzero.

Affine Kac–Moody algebra

Let g be an N-dimensional complex simple Lie algebra with a dedicated suitable normalized basis such that the structure constants are antisymmetric in all indices with commutation relations

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N.}$

An untwisted affine Kac–Moody algebra g is obtained by copying the basis for each n ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (regarding the copies as distinct), setting

${\displaystyle {\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}}$

as a vector space and assigning the commutation relations

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}}$

If C = D = 0, then the subalgebra spanned by the G^m_i is obviously identical to the polynomial loop algebra of above.

Witt algebra

The Witt algebra, named after Ernst Witt, is the complexification of the Lie algebra VectS¹ of smooth vector fields on the circle S¹. In coordinates, such vector fields may be written

${\displaystyle X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }},}$

and the Lie bracket is the Lie bracket of vector fields, on S¹ simply given by

${\displaystyle [X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.}$

The algebra is denoted W = VectS¹ + iVectS¹. A basis for W is given by the set

${\displaystyle \{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\right n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

This basis satisfies

This Lie algebra has a useful central extension, the Virasoro algebra. It has 3-dimensional subalgebras isomorphic with su(1, 1) and sl(2, ${\displaystyle \mathbb {R} }$). For each n ≠ 0, the set {d₀, d_−n, d_n} spans a subalgebra isomorphic to su(1, 1) ≅ sl(2, ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Projective representation

If M is a matrix Lie group, then elements G of its Lie algebra m can be given by

${\displaystyle G={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right _{t=0},}$

where g is a differentiable path in M that goes through the identity element at t = 0. Commutators of elements of the Lie algebra can be computed using two paths, g₁, g₂ and the group commutator,

${\displaystyle [G_{1},G_{2}]={\frac {d}{dt}}\left.g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1}\right _{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).}$

Likewise, given a group representation U(M), its Lie algebra u(m) is computed by

${\displaystyle {\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right _{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right _{t=0},\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0).\end{aligned}}}$

Then there is a Lie algebra isomorphism between m and u(m) sending bases to bases, so that u is a faithful representation of m.

If however U(G) is a projective representation, i.e. a representation up to a phase factor, then the Lie algebra, as computed from the group representation, is not isomorphic to m. In a projective representation the multiplication rule reads

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2}).}$

The function ω,often required to be smooth, satisfies

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}}$

It is called a 2-cocycle on M.

One has

${\displaystyle {\begin{aligned}[][U_{1},U_{2}]&={\frac {d}{dt}}\left.U(g_{1}(t))U(g_{2}(t))U(g_{1}(t))^{-1}U(g_{2}(t))^{-1}\right _{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left.e^{i\xi (g_{1},g_{2})\xi (g_{1}^{-1},g_{2}^{-1})\xi (g_{1}g_{2},g_{1}^{-1}g_{2}^{-1})}U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right _{t=0}\\&\equiv {\frac {d}{dt}}\left.\Omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})\right _{t=0}\\&=\left.{\frac {dU(g_{1}(t)g_{2}(t)g_{1}(t)^{-1}g_{2}(t)^{-1})}{dt}}\right _{t=0}+\left.{\frac {d\Omega (g_{1},g_{2})}{dt}}\right _{t=0}I,\quad G_{1}=g_{1}'(0),G_{2}=g_{2}'(0),\end{aligned}}}$

because both Ω and U evaluate to the identity at t = 0. For an explanation of the phase factors ξ, see Wigner's theorem. The commutation relations in m for a basis,

${\displaystyle [G_{i},G_{j}]={C_{ij}^{k}}G_{k}}$

become in u

${\displaystyle [U_{i},U_{j}]={C_{ij}^{k}}U_{k}+D_{ij}I,}$

so in order for u to be closed under the bracket (and hence have a chance of actually being a Lie algebra) a central charge I must be included.

Relativistic classical string theory

A classical relativistic string traces out a world sheet in spacetime, just like a point particle traces out a world line. This world sheet can locally be parametrized using two parameters σ and τ. Points x^μ in spacetime can, in the range of the parametrization, be written x^μ = x^μ(σ, τ). One uses a capital X to denote points in spacetime actually being on the world sheet of the string. Thus the string parametrization is given by (σ, τ) ↦(X⁰(σ, τ), X¹(σ, τ), X²(σ, τ), X³(σ, τ)). The inverse of the parametrization provides a local coordinate system on the world sheet in the sense of manifolds.

The equations of motion of a classical relativistic string derived in the Lagrangian formalism from the Nambu–Goto action are^[30]

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.}$

A dot over a quantity denotes differentiation with respect to τ and a prime differentiation with respect to σ. A dot between quantities denotes the relativistic inner product.

These rather formidable equations simplify considerably with a clever choice of parametrization called the light cone gauge. In this gauge, the equations of motion become

${\displaystyle {\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,}$

the ordinary wave equation. The price to be paid is that the light cone gauge imposes constraints,

${\displaystyle {\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,}$

so that one cannot simply take arbitrary solutions of the wave equation to represent the strings. The strings considered here are open strings, i.e. they don't close up on themselves. This means that the Neumann boundary conditions have to be imposed on the endpoints. With this, the general solution of the wave equation (excluding constraints) is given by

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},}$

where α' is the slope parameter of the string (related to the string tension). The quantities x₀ and p₀ are (roughly) string position from the initial condition and string momentum. If all the α^μ
_n are zero, the solution represents the motion of a classical point particle.

This is rewritten, first defining

${\displaystyle \alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},}$

and then writing

${\displaystyle X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .}$

In order to satisfy the constraints, one passes to light cone coordinates. For I = 2, 3, ...d, where d is the number of space dimensions, set

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}}$

Not all α_n^μ, n ∈ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, μ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d} are independent. Some are zero (hence missing in the equations above), and the "minus coefficients" satisfy

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.}$

The quantity on the left is given a name,

${\displaystyle {\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},}$

the transverse Virasoro mode.

When the theory is quantized, the alphas, and hence the L_n become operators.

See also

• Group cohomology
• Group contraction (Inönu–Wigner contraction)
• Group extension
• Lie algebra cohomology
• Ring extension

Remarks

Notes

References

Books

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Web

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