슈퍼 푸앵카레 대수

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이론 물리학에서 초핀카레 대수학은 보손과 페르미온의 관계인 초대칭성을 통합하기 위한 푸앵카레 대수학의 확장이다.이들은 초대칭 알헤브라의 예로서 (중앙 전하 또는 내부 대칭이 없는) Lie superalgebras이다.따라서 슈퍼 푸앵카레 대수학이란 짝수 부분이 푸앵카레 대수학을 포함하는 리 대수학이고, 홀수 부분은 짝수 부분의 값과 반공 관계가 있는 스피너로 만들어질 정도로 등급이 매겨진 리 브라켓을 가진 Z-graded₂ 벡터 공간이다.

비공식 스케치

푸앵카레 대수학에서는 민코프스키 스페이스타임의 등각도를 기술하고 있다.는 로런츠 군의 표현론부터, 로런츠 군 그들의 텐서 제품을 .[nb 1]두inequivalent 복잡한 스피너,}2{2\displaystyle}과 2¯{\displaystyle{\overline{2}로 불리}을 인정하지 않을 것으로 알려져 있고 2⊗ 2¯=3⊕ 1{\displaystyle 2\otimes{\overline{2}}=3\opl을 득한다.1}$$; 그러한 텐서 생산물의 직접적인 총액으로 분해되는 것은 리틀우드-리처드슨 법칙에 의해 주어진다.

일반적으로 그러한 분해를 특정 입자와 관련된 것으로 취급한다. 예를 들어, 키랄 벡터 입자인 파이온은 쿼크-안티 쿼크 쌍으로 구성된다.그러나 ${\displaystyle \mathrm{밍코프스키}}$ 스페이스타임 그 자체로$$ $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ 1 ${\displaystyle 3\oplus 1}$을(를) 식별할 수도 있다.이것은 자연스러운 질문으로 이어진다: 만약 민코프스키 스페이스타임이 부선 표현에 속한다면, 푸앵카레 대칭이 근본적인 표현으로 확장될 수 있을까?음, 할 수 있다: 이것은 정확히 초 푸앵카레 대수학이다.그에 상응하는 실험적인 질문이 있다: 만약 우리가 조정된 표현으로 산다면, 근본적인 표현은 어디에 숨어 있을까?이것은 실험적으로 발견되지 않은 초대칭의 프로그램이다.

역사

초핀카레 대수학(super-pincaré)은 하그-워푸스자흐스키-의 맥락에서 처음 제안되었다.콜만-만둘라 정리의 결론을 회피하는 수단으로서 손니우스 정리.즉, 콜만-만두라 정리는 관측된 물리적 입자 스펙트럼의 내부 대칭을 설명할 수 있는 추가적인 대칭으로 푸앵카레 대수학을 확장할 수 없다는 것을 기술하는 무고 정리다.그러나 콜먼-만둘라 정리는 대수 연장이 정류자에 의한 것이라고 가정했다. 이 가정, 그리고 따라서 정리는 반 커머레이터, 즉 반 커머싱 그라스만 숫자를 채택함으로써 피할 수 있다.제안은 내부 대칭의 콤팩트한 Lie 대수법에 의해 초-푸앵카레 대수학의 중앙연장의 반간접적 산물로 정의되는 초대칭 대수학을 고려하는 것이었다.

정의

Poincaré 대수학의 가장 간단한 초대칭 확장에는 다음과 같은 반 커뮤테이션 관계를 가진 2개의 Weyl 스피너가 포함되어 있다.

${\displaystyle \{Q_{\alpha },{\bar {Q}}{\dot{\beta }}}=2{\sigma ^{\mu }}{\alpha }}{\dot {}P_{\mu }}}}}}}}}}}}$

그리고 Qs와 Ps 사이의 다른 모든 반협정 관계도 사라진다.^[1]위의 표현에서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$은(는) 번역의 생성자이고$$ $\mu {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}}$ ${\$은(는) Pauli 행렬이다.지수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle$$$\$alpha}$은(는)$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$, 2. {\$displaystyle$ \$alpha=1,2.}$ 지수$$ $\beta {\displaystyle \stackrel{}{}}$ β ${$ {\$dot{\beta}}}}$에 점을 사용하여$$ 이 지수가 불평등 결합 스핀기 표현에 따라 변환됨을 상기시킨다. 이 두 가지 유형의 i에 우발적으로 수축해서는 안 된다.ndexes. Pauli 매트릭스는 앞에서 언급한 리틀우드-리처드슨 법칙의 직접적인 표현으로 간주할 수 있다: 그것들은 두 개의 스피너 중$$ 텐서 제품 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ $⊗$ 2$\times{\overline{2}}}$가 벡터로서 어떻게 다시 표현될 수 있는지를 나타낸다.지수$$ $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$은(는) 물론 시공간 치수 $\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$. ${\displaystyle \mu$= $0,1,$2$,3}$에 걸쳐 있다${\displaystyle \mathrm{.}}$

웨일 스피너 대신 디락 스피너와 작업하는 것이 편리하다; 디락 스피너는 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle 2}$의 원소라고 생각할 수 $있다.$ 디락 $스피너는 4개$의 구성요소를 가지고 있다$.$따라서 디락 행렬은 4차원적이기도 하며, 파울리 행렬의 직접적인 합으로 표현할 수 있다.텐서 제품은 다음으로 표현되는$$ 민코프스키 ${\displaystyle {미터법}^{}}$ $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대수적 관계를 부여한다.

${\displaystyle \{\mu ^{\mu },\mu ^{\nu }\}=2g^{\mu \nu }}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \nu ^{\mu \nu ^}={\frac {i}{2}}\왼쪽[\fract ^{\mu }},\filename ^{\nu }\오른쪽]}}$

그러면 이것은 완전한^[2] 대수학을 준다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[M^{\mu \nu },Q_{\alpha }\right]&={\frac {1}{2}}(\sigma ^{\mu \nu })_{\alpha }^{\;\;\beta }Q_{\beta }\\\left[Q_{\alpha },P^{\mu }\right]&=0\\\{Q_{\alpha },{\bar {Q}_{\dot {\beta }\\\beta ^{\sigma ^{\mu }}}}}=2(\sigma ^{\mu }}}}}}P_{\mu }\ended}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

일반적인 푸앵카레 대수학과 결합되어야 한다.그것은 모든 자코비 정체성이 충족되고 명시적인 매트릭스 표현 이후 가질 수 있기 때문에 닫힌 대수학이다.이러한 추리의 선에 따라 초중력을 갖게 될 것이다.

SUSY 3 + 1 Minkowski 스페이스타임

(3 + 1) Minkowski spacetime, Haag-Wopuszański–Sonius 정리에서는 N 스피너 발생기가 있는 SUSY 대수학은 다음과 같이 기술하고 있다.

항성 Lie superalgebra의 짝수 부분은 푸앵카레 대수와 환원성 Lie 대수 B의 직접 합이다(자체 적응 부분은 실제 콤팩트 Lie 그룹의 접선 공간이다).대수학의 홀수 부분은

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\otimes V\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)\otimes V^{*}$

where ${\displaystyle (1/2,0)}$ and ${\displaystyle (0,1/2)}$ are specific representations of the Poincaré algebra. (Compared to the notation used earlier in the article, these correspond ${\displaystyle {\overline {2}}\oplus 1}$ and ${\displaystyle 1\oplus 2}$, respectively,또한 이전 표기법이 소개된 각주를 참조한다.두 구성 요소는 * 조합에 따라 서로 결합된다.V는 B의 N차원 복합 표현이고 V는^* 이중 표현이다.홀수 부분에 대한 Li Bracket은 짝수 부분에 값이 있는 홀수 부분에 대칭 등분위 쌍 {,.}에 의해 주어진다.In particular, its reduced intertwiner from ${\displaystyle [({\frac {1}{2}},0)\otimes V]\otimes [(0,{\frac {1}{2}})\otimes V^{*}]}$ to the ideal of the Poincaré algebra generated by translations is given as the product of a nonzero intertwiner from ${\displaystyle (\frac{1}{2},0)\otimes (0,\frac{1}{2})}$${\displaystyle({\frac$ {1$}{2}},0)\time$ ($0,{{\frac {1}{2}})$ ~ 1/${\displaystyle {}^{}}$/2) V$$ ${\displaystyle {\otimes }^{}}$V $display$ {\$displaystyle V\$otimes V^{*}의 "연락 인터트위너"에 의해 사소한 표현까지$.$On the other hand, its reduced intertwiner from ${\displaystyle [({\frac {1}{2}},0)\otimes V]\otimes [({\frac {1}{2}},0)\otimes V]}$ is the product of a (antisymmetric) intertwiner from ${\displaystyle ({\frac {1}{2}},0)\otimes ({\frac {1}{2}},0)}$ to(0,0) 및 N ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ N$^{2$}}$$~ B)의 비대칭 인터트위너 A.나머지 절반에 해당하는 케이스를 얻으려면 이 케이스를 혼합하십시오.

N = 1

B는 이제 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle u(1)}$ $$(R-대칭이라고 함)이고, V는 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle u(1$)를 충전으로 1D로 표현한 것이다. A (위에서 정의한 인터트위너)는 대칭이기 때문에 0이어야 한다.

실제로 두 가지 버전의 N=1 SUSY가 있는데, 하나는 ${\displaystyle \mathrm{u}}$( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle u($1)가 없는 버전이고,$$ 다른 하나는 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaysty u(1$)가 있는 버전이다$.$

N = 2

이제 B는 $s{\displaystyle u}$ ( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle su(2)\oplus u(1)}$이고, V는 $0{\displaystyle }$$u{\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle 1}$) ${\displaysty su(2)}$을(를$)$ 0 u) ${\displaysty u($1)로 2D 더블트 표현한다.현재 A는 B의 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle u(1)}$ 부분에$$ 대한 0이 아닌 인터트위너 입니다.

또는 V는 0이 아닌 $u{\displaystyle (1}$) ${\displaystyle u(1)}$의 충전으로$$ 2D 더블트일 수 있다.이 경우 A는 0이 되어야 할 것이다.

그러나 또 다른 가능성은 B를 $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1{}_{}}$) ${\displaystyle A_{}u}$( ${\displaystyle 1{}_{}}$) ${\displaystyle B_{}u}$( ${\displaystyle 1{}_{}}$) ${\displaystyle C_{}}$ $(\$로 하는 것이다.${A}\oplus u($1)$_{B}\oplus u($1)$_{C$ V는 ${\displaystyle u_{}}$(1 ${\displaystyle ){}_{}}$B ${\displaystyle u($1)$_{B}}$ 및$$${\displaystyle \mathrm{u}{}_{}}$1) ${\displaystyle C_{}}${\$displaysty u$(1)$_$${$$C}$에 따라 불변하며${\displaystyle \mathrm{u}{}_{}}$1 ) A $($1)와 함께 1D prepa로 분해된다$.$${A}$은(는) 1을 충전하고 다른 1D 담당자는 충전 -1을 충전한다.인터트위너 A는 ${\displaystyle \mathrm{u}}$( 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle B_{}}$ ${\$1)$_{B}$에 실제 부품을 매핑하고$$ $u{\displaystyle }$ ( 1${\displaystyle }$) ${\$1)$_{C}$에 가상 부품을 매핑하여 복잡할 것이다$.$

아니면 우리는 B가 $s{\displaystyle \mathrm{u}}$ ( 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle 1{}_{}}$) ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u}$( ${\displaystyle 1{}_{}}$) ${\displaystyle B_{}}$ ${\$2)\$oplus u$(1$)$이 될 수도 있다.${A}\oplus u($1)$_{B$$}$와 함께 $V$는 s ${\displaystyle u}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle su$(2$)}$ 0${\displaystyle }u{\displaystyle }$ (${\displaystyle 1}$ ) ${\$$displaysty$ $u(1)}$ 과금$$ 및 A는 실제 $부품$을${\displaystyle {}_{}\mathrm{u}}$ (1$)$에 매핑하는 복잡한 인터트위너입니다$.$${A}$과(${\displaystyle \mathrm{와}}$) 가상 파트를 $u{\displaystyle (}$1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle B_{}}$ ${\$에 연결$.$

이것은 모든 가능성을 다 소모시키지도 않는다.우리는 N = 2 이상의 초대칭이 있다는 것을 안다. 마찬가지로 N > 2에 대한 SUSY도 고유하지 않다(사실 더 나빠질 뿐이다).

N = 3

이론적으로는 허용되지만 다중점 구조는 N=4 초대칭 이론과 자동으로 동일해진다.그래서 그것은 N=1,2,4버전에 비해 덜 자주 논의된다.^{[citation needed]}

N = 4

이것은 중력이 없는 이론의 최대 과당수다.

다양한 차원의 SUSY

0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1, 10 + 1 치수 등에서 SUSY 대수학은 양의 정수 N으로 분류된다.

1 + 1, 5 + 1, 9 + 1 치수 등에서는 SUSY 대수 한 개를 두 개의 음이 아닌 정수(M, N)로 분류하고, 그 중 적어도 하나는 0이 아니다.M은 왼손 SUSY의 수를 나타내고, N은 오른손 SUSY의 수를 나타낸다.

그 이유는 스핀들의 현실 조건과 관련이 있다.

이하 d = 9는 민코스키 서명 등에서 d = 8 + 1을 의미한다.초대칭 대수학의 구조는 주로 페르미온 생성기의 수에 의해 결정되는데, 이는 d 치수의 스핀러의 실제 치수에 N배인 숫자다.치수 축소를 이용함으로써 더 높은 치수로부터 더 낮은 차원의 초대칭 대수학 을 쉽게 얻을 수 있기 때문이다.

d = 11

유일한 예는 32개의 초임금을 가진 N = 1 초대칭이다.

d = 10

d = 11, N = 1 SUSY로부터 N = (1) 비치랄 SUSY 대수를 얻는데, 이를 IIA 초대칭이라고도 한다.또한 유형 IIB 초대칭이라고 하는 N = (2, 0) SUSY 대수학도 있다.둘 다 32개의 과당금이 있다.

N = (1, 0) SUSY 대수는 16개의 초과금을 가진 10차원 최소 susy 대수다.I형 초대칭이라고도 한다.타입 IIA / IIB / I 슈퍼스트링 이론은 해당 이름의 SUSY 대수학을 가지고 있다.이질 초끈에 대한 초대칭 대수학은 유형 I의 그것이다.

언급

메모들

참조

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