퍼지 집합 작업

퍼지 집합 연산은 퍼지 집합에 대한 연산이다. 이 작업들은 바삭바삭한 세트 작업의 일반화다. 가능한 일반화는 두 개 이상이다. 가장 널리 사용되는 연산을 표준 퍼지 집합 연산이라고 한다. 퍼지 보완, 퍼지 교차로, 퍼지 유니언의 세 가지 연산이 있다.

표준 퍼지 집합 작업

A와 B를 퍼지 집합으로 하여 A,B u U, u는 U 우주에 있는 모든 요소(예: 값)가 된다. u ∈ U.

표준보충제

${\displaystyle \mu _{\lnot{A}(u)=1-\mu _{A}(u)}$

보어는 ¬A 대신 ∁A 또는 A로^∁ 표기되기도 한다.

표준교차로

${\displaystyle \mu \cap B}=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}}$

표준조합

${\displaystyle \mu_{A\cup B}(u)=\max\{\mu_{A}(u),\mu_{B}(u)\}}}}$

일반적으로 3중(i,u,n)은 De Morgan Triplet ifff라고 불린다.

• 난 t-norm이야
• u는 t-conorm(일명 s-norm)이고,
• n은 강한 부정자이다.

모든 x,y ∈ [0, 1]에 대해 다음이 참이 되도록 한다.

u(x,y) = n( i(n(x), n(y) ) )

(De Morgan 관계 일반화).^[1] 이는 아래에 제시된 공리를 상세히 함축하고 있다.

퍼지 보완물

μ_A(x)는 x가 A에 속하는 정도로 정의된다. ∁A는 타입 c의 A의 애매모호한 보어임을 나타내도록 한다. 그 다음 μ_∁A(x)는 x가 ∁A에 속하는 정도이며, x가 A에 속하지 않는 정도(μ_A(x)는 따라서 x가 ∁A에 속하지 않는 정도)이다. 함수로 보완 complementA를 정의하도록 한다.

c : [0,1] → [0,1]

모든 x μ U: μ_∁A(x) = c(μ_A(x))

퍼지 보완에 대한 공리

Axiom c1. 경계조건

c(0) = 1 및 c(1) = 0

Axiom c2. 단조도

모든 a, b ∈ [0, 1]에 대해, 만약 < b, 그 다음 c(a) > c(b)

Axiom c3. 연속성

c는 연속함수다.

Axiom c4. 비자발적

c는 비자발적인 것으로, 즉 c(c(a) = 각 a ∈에 대해 a를 의미한다 [0,1]

c는 강한 부정기(일명 퍼지 보충기)이다.

공리 c1과 c2를 만족하는 함수 c는 c(a^*) = a를^* 가진 적어도^* 하나의 고정점을 가지고 있으며, 만약 공리 c3도 충족된다면 정확히 하나의 고정점이 있다. 표준 부정기 c(x) = 1-x의 경우 고유한 고정점은^* a = 0.5이다.^[2]

퍼지 교차점

두 퍼지 집합 A와 B의 교차점은 일반적으로 폼의 함수인 단위 간격에 대한 이항 연산에 의해 지정된다.

i:[0,1]×[0,1] → [0,1].

모든 x μ U: μ_{A ∩ B}(x) = i[μ_A(x)], μ_B(x).

퍼지 교차로에 대한 공리

Axiom i1. 경계조건

i(a, 1) = a

Axiom i2 단조도

b ≤ d는 i(a, b) ≤ i(a, d)를 의미한다.

Axiom i3. 동시성

i(a, b) = i(b, a)

Axiom i4. 연관성

i(a, i(b, d) = i(i(a, b), d)

Axiom i5. 연속성

나는 연속적인 기능이다.

Axiom i6. 하위 잠재력

i(a, a) ≤ a

악시오 i7. 엄격한 단조로움

i (a₁, b₁) i (a₂, b) i (a, b₂) i (a₂, b) i (a, b) i (a₁₂, b) i (a, b) a, b₁

axiomes i1 ~ i4는 t-표준(일명 퍼지 교차점)을 정의한다. 표준 t-규격 min은 유일한 idempotent t-규격이다(즉, i (a₁, a₁) = 모든 ∈ [0,1]^[2]에 대한 a).

퍼지 유니온

두 퍼지 집합 A와 B의 조합은 일반적으로 폼의 단위 간격 함수에 대한 이항 연산에 의해 지정된다.

u:[0,1]×[0,1] → [0,1].

모든 x μ U: μ_{A ∪ B}(x) = μ_A[x], μ_B(x).

퍼지 유니언에 대한 공리

Axiom u1. 경계조건

u(a, 0) =u(0,a) = a

Axiom u2. 단조도

b ≤ d는 u(a, b) ≤ u(a, d)를 의미한다.

Axiom u3. 동시성

u(a, b) = u(b, a)

Axiom u4. 연관성

u(a, u(b, d) = u(a, b), d)

Axiom u5. 연속성

u는 연속함수다.

Axiom u6. 초특량

u(a, a) ≥ a

Axiom u7. 엄격한 단조로움

a₁ < a와₂ b₁ < b는₂ u(a₁, b₁) < u(a₂, b₂)를 암시한다.

공리 u1 ~ u4는 t-conorm(일명 s-norm 또는 퍼지 교차점)을 정의한다. 표준 t-conomm max는 유일한 idempotent t-conomm(예: u (a1, a1) = 모든 ∈[0,1]^[2]에 대한 a)이다.

집계 작업

퍼지 집합에 대한 집계 연산은 단일 퍼지 집합을 생산하기 위해 바람직한 방법으로 여러 퍼지 집합이 결합되는 연산이다.

n 퍼지 집합에 대한 집계 연산(2 on n)은 함수에 의해 정의된다.

h:[0,1]ⁿ → [0,1]

집계 작업 퍼지 집합에 대한 공리

Axiom h1. 경계조건

h(0, 0, ..., 0) = 0, h(1, 1, ..., 1) = 1

Axiom h2. 단조도

모든 i ∈ N에_n 대해_i a, b_1ni, b, b, b₂, ..., b와 같은 n-tuple의 모든 쌍에 대해, 만약 b_ii b가₁ 모든 i n N에_n 대해, h(a₁, a₂₂, a, ...a_n) ≤ h(b₁, b₂, b, ..., b_nn)에 대해, h는 모든 논거에서 단조적으로 증가하는 것이다.

Axiom h3. 연속성

h는 연속함수다.

참고 항목

• 퍼지 논리
• 퍼지 집합
• T-노멀
• 유형 2 퍼지 세트 및 시스템
• 드 모건 대수

추가 읽기

• Klir, George J.; Bo Yuan (1995). Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Prentice Hall. ISBN 978-0131011717.

참조

• L.A. 퍼지 집합 정보 및 통제, 8:338–353, 1965