중간 논리학

수학적 논리학에서 초직관적 논리는 직관적 논리를 확장하는 명제적 논리학이다. 고전적 논리는 가장 강력한 일관성이 있는 초직관적 논리로서, 따라서 일관성이 있는 초직관적 논리학을 중간 논리학(직관적 논리와 고전적 논리 사이의 중간 논리)이라고 한다.^[1]

정의

초직관적 논리는 다음 특성을_i 만족하는 계수 가능한 변수 집합의 명제 공식 L을 의미한다.

1. 직관논리의 모든 공리는 L에 속한다.

2. F와 G가 F와 F → G가 모두 L에 속하는 공식인 경우, G도 L에 속한다(모더스 폰에 따른 폐쇄).

3. F(p₁, p₂, ..., p_n)가 L의 공식이고 G₁, G, G₂, ..., G가_n 어떤 공식이라면 F(G₁, G₂, ..., G_n)는 L(대체로 폐쇄)에 속한다.

그런 논리는 더 나아가서는 중간이다.

4. L은 모든 공식의 집합이 아니다.

속성 및 예제

다양한 중간 로직들이 연속적으로 존재한다. 특정한 중간 로직은 종종 직관적 논리에 하나 이상의 공리를 첨가하거나 또는 의미론적 설명에 의해 구성된다. 중간 로직의 예는 다음과 같다.

• 직관 논리(IPC, Int, IL, H)
• 고전 논리(CPC, Cl, CL): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + (p → q) → p = IPC + ((p → q) → p) → p
• 약한 배제된 중간의 논리(KC, 얀코프의 논리, 드 모건 논리^[2]): IPC + ¬¬p ∨pp
• 괴델-덤메트 논리(LC, G): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
• 크라이셀-Putnam 논리(KP): IPC + ( (p → (q ∨ r) → (pp → q) ( (pp → r)
• Medvedev's logic of finite problems (LM, ML): defined semantically as the logic of all frames of the form ${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}(X)\setminus \{X\},\subseteq \rangle }$ for finite sets X ("Boolean hypercubes without top"), as of 2015^[update] not known to be recursively axiomatizable
• 실현 가능성 로직
• 스콧의 논리(SL): IPC + (((¬p → p) → (p∨p )p) → (¬¬p ∨p) → (¬¬p ∨p)
• Smetanich의 논리(SmL): IPC + (¬q → p) → ((p → q) → p) → p)
• logics of bounded cardinality (BC_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}}$
• logics of bounded width, also known as the logic of bounded anti-chains (BW_n, BA_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j\neq i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}}$
• 경계깊이의 로직 (BD_n): IPC + p_n ( (p_n → ... → (p_n−1n−12 ∨ → (p₂₁₁ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ... ... ... ... ... ... ... ... ...)))
• logics of bounded top width (BTW_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to \neg \neg p_{i}{\bigr )}}$
• 한정적 분기(중성자 온도, BBn)의 Logics:.나는 PC+⋀ 나는 →⋁ j0n(≠ 나는 p(나는⋁ j→ pj)정도 ≠ 나는 p j)→ ⋁ 나는 0np정도 나는{\displaystyle\textstyle \mathbf{IPC}+\bigwedge _{i=0}^{n}{\bigl(}{\bigl(}p_{나는}\to \bigvee_{j\neq 나는}p_{j}{\bigr)}\to \bigvee _{j\neq 나는}p_{j}{\bigr)}\to \bigvee _{i=0}^{n.$}}p_{i}}}$
• 괴델 n 값 로직 (G_n): LC + BC_n−1 = LC + BD_n−1

초인체 논리학 또는 중간 로직은 직감론적 논리가 하단으로, 일관성이 없는 논리(초인체 로직의 경우)나 고전적 논리학(중간 로직의 경우)이 상단으로 되어 있는 완전한 격자를 형성한다. 고전적 논리는 초인적 논리학의 격자 안에 있는 유일한 코팅이다; 중간 논리학의 격자 또한 독특한 코팅 즉, SML을 가지고 있다.

중간 로직을 연구하기 위한 도구는 Kripke 의미론과 같은 직관적 논리에 사용되는 도구와 유사하다. 예를 들어 괴델-덤메트 논리는 총질서에 있어 단순한 의미적 특성화를 가지고 있다.

의미론

Heyting 대수학 H를 주어, H에서 유효한 명제 공식의 집합은 중간 논리학이다. 반대로, 중간 논리에 따라 린덴바움-을 구축할 수 있다.타르스키 대수학, 그 다음은 헤이팅 대수학이다.

직관적인 Kripke 프레임 F는 부분적으로 순서가 정해진 집합이며, ${\displaystyle \mathrm{Kripke}}$ 모델 ${\displaystyle M}$은${\displaystyle }${${\displaystyle x}$with M , x frame p ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x\mid M,x\vdash p\}}}}}$가 F의 상위 부분집합일 정도로$$ 평가되는 Kripke 프레임이다. F에서 유효한 명제 공식의 집합은 중간 논리학이다. 중간 논리 L에 따라 M의 논리가 L(이 구조를 정식 모델이라고 한다)이 되도록 Kripke 모델 M을 구성할 수 있다. 이 속성을 가진 Kripke 프레임은 존재하지 않을 수 있지만, 일반 프레임은 항상 존재한다.

모달 로직과의 관계

A를 명제 공식으로 삼아라. A의 괴델-타르스키 번역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

• ${\displaystyle T(p_{n}=\Box p_{n}})$
• $[\displaystyle T(\neg A)=\Box \neg T(A)}$
• $T(A\land B)=T(A)\land T(B)}$
• $[\displaystyle T(A\vee B)=T(A)\vee T(B)}$
• $[\displaystyle T(A\to B)=\Box(T(A)\to T(B))]}$

M이 S4를 확장하는 모달 논리라면 ρM = {A T(A) ∈ M}은 초intuism 논리로, M은 ρM의 모달 동반자라고 한다. 특히:

• IPC = ρS4
• KC = ρS4.2
• LC = ρS4.3
• CPC = ρS5

모든 중간 논리 L에 대해 L = mM과 같은 많은 모달 로직 M이 있다.

참고 항목

• 로직 시스템 목록

참조

• 우메자와 도시오. 직관과 고전적 술어 논리 사이의 중간 논리학. 기호 논리학 저널, 24(2):141–153, 1959년 6월.
• 알렉산더 차그로프, 마이클 자카리아셰프 모달 로직. 옥스퍼드 대학 출판부, 1997.