선형 논리학

선형논리는 장-이브 지라드가 고전적, 직관적 논리의 정교함으로 제안하는 하부구조적 논리로서, 전자의 이중성과 후자의 많은 건설적 특성을 결합한다.^[1] 비록 논리 또한 그 자체만을 위해 연구해 왔다, 더 광범위하게, 선형 논리로부터 아이디어 프로그래밍 언어, 게임 의미,과, 양자 물리학(때문에 선형 논리 양자 정보 이론의 논리로 볼 수 있)[2]뿐만 아니라 linguistics,[3]resou을 강조하다. 특히 분야 등에 큰 영향을 끼쳤다.rce-경계성, 이중성 및 상호작용.

선형 논리는 많은 다른 발표, 설명, 직관에 도움이 된다. 증명 이론적으로, 그것은 (구조 규칙) 수축과 약화의 사용을 주의 깊게 제어하는 고전적인 연속 미적분학의 분석에서 유래한다. 운용상 이것은 논리적인 추리가 더 이상 끊임없이 증가하는 "진리"의 수집에 관한 것이 아니라, 항상 마음대로 복제하거나 버릴 수 없는 자원을 조작하는 방법이라는 것을 의미한다. 단순 변성모델의 관점에서 선형논리는 데카르트(폐쇄) 범주를 대칭 단노이드(폐쇄) 범주로 대체하여 직관논리의 해석을 정제하거나 부울알헤브라를 C*알제브라로 대체하여 고전논리의 해석을 정제하는 것으로 볼 수 있다.^{[citation needed]}

연결성, 이중성 및 극성

구문

고전적 선형 논리(CLL)의 언어는 BNF 표기법에 의해 귀납적으로 정의된다.

A	::=	p ∣ p⊥
	∣	A ⊗ A ∣ A ⊕ A
	∣	A & A ∣ A ⅋ A
	∣	1 ∣ 0 ∣ ⊤ ∣ ⊥
	∣	!A ∣ ?A

여기 그리고 논리 원자에 걸쳐 있다. 아래에 설명해야 할 이유로, 접속사 ⊗, ⅋, ⊥, 1, ⊥, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0은 첨가물이라고 하고, connectives !와 ?는 지수라고 부른다. 다음 용어를 추가로 사용할 수 있다.

기호	이름
⊗	승법 접속사	시대	텐서르
⊕	첨가제 분리	더하기
&	첨가 접속사	와 함께
⅋	승법 분리	액면 그대로
!	물론이야.	쾅 하고 울리다
?	그거 좋지

바이너리 connectives ⊗, ⊕, ⅋, ⅋은 연관성 및 대응성, 1은 ⊗의 단위, 0은 ⊕의 단위, ⊥은 ⅋의 단위, ⊤은 ⅋의 단위, ⊤은 &의 단위다.

CLL의 모든 명제는 다음과 같이 정의되는 이중 을 갖는다.

(p)⊥ = p⊥			(p⊥)⊥ = p
(A ⊗ B)⊥ = A⊥ ⅋ B⊥			(A ⅋ B)⊥ = A⊥ ⊗ B⊥
(A ⊕ B)⊥ = A⊥ & B⊥			(A & B)⊥ = A⊥ ⊕ B⊥
(1)⊥ = ⊥			(⊥)⊥ = 1
(0)⊥ = ⊤			(⊤)⊥ = 0
(!A)⊥ = ?(A⊥)			(?A)⊥ = !(A⊥)

커넥티브 분류

	덧셈을	뽕을 먹이다	생략하다
양치류	⊕ 0	⊗ 1	!
부정의	& ⊤	⅋ ⊥	?

(-)^⊥가 모든 명제에 대해 비자발적이라는 것을 관찰한다. A^⊥ 의 선형 부정이라고도 한다.

표의 열은 선형 논리의 결합체, 즉 극성이라고 하는 또 다른 분류 방법을 제안한다: 왼쪽 열( neg, ives, 1, 0, !)에서 부정된 결합체를 양(陽)이라고 하고, 오른쪽의 이중( dual, &, ⊥, ⊤, ⊤, ?)은 음(;, cf. table)이라고 한다.

선형 함축은 connectiv의 문법에는 포함되지 않지만, linear := ⅋에 의해 선형 부조화와 승법 분리를 이용하여 CLL에서 정의할 수 있다. connective ⊸은 모양 때문에 "lollipop"이라고 발음되기도 한다.

시퀀스 미적분학

선형 논리를 정의하는 한 가지 방법은 연속 미적분학이다. 우리는 γ과 Δ라는 글자를 사용하여 명제 목록, ..., 문맥이라고도 한다. 시퀀스는 γ $⊢{\displaystyle }$ {$$\$displaystyle \vdash }}$Δ라고 쓰여 있는 개찰구 좌우에 컨텍스트를 놓는다. 직관적으로, γ의 접속이 Δ의 분리를 수반한다고 주장한다(아래 설명과 같이 "복제" 접속과 분리를 의미함). 지라드는 단측 시퀀스(왼쪽 컨텍스트가 비어 있는 곳)만을 사용하여 고전적인 선형 논리를 기술하고 있으며, 우리는 그 보다 경제적인 프레젠테이션을 따른다. 이것은 개찰구의 왼쪽에 있는 어떤 구역도 항상 반대쪽으로 이동하고 이중화할 수 있기 때문에 가능하다.

우리는 이제 속편들의 증거를 만드는 방법을 설명하는 추론 규칙을 준다.^[4]

첫째로, 맥락 안에서 명제의 순서에 관심이 없다는 사실을 공식화하기 위해, 우리는 교환의 구조적 규칙을 다음과 같이 추가한다.

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$γ$$, A, A12, Δ

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$γ$$, A, A21, Δ

우리는 약화와 수축의 구조적 규칙을 추가하지 않는다는 점에 유의하십시오. 왜냐하면 우리는 순차적으로 제안의 부재와 존재하는 복사본의 수에 관심을 기울이기 때문이다.

다음은 초기 시퀀스와 컷을 추가한다.

$\displaystyle \vdash }$ A, A⊥

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A $\displaystyle \vdash }$ A⊥, Δ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$γ$$, Δ

컷 룰은 증명서 작성의 한 방법으로 볼 수 있으며, 초기 시퀀스는 구성의 단위 역할을 한다. 어떤 의미에서 이 규칙들은 중복된다: 우리가 아래의 증빙을 위한 추가 규칙을 도입함에 따라, 우리는 임의의 초기 서열은 원자 초기 서열에서 파생될 수 있고, 서열이 증명될 수 있을 때마다 베어지지 않는 증명이 주어질 수 있다는 속성을 유지할 것이다. 궁극적으로 이 표준 형식 속성(원자 초기 시퀀스의 완전성과 분석적 증명 개념을 유도하는 컷 엘리미네이션 정리로 나눌 수 있다)은 컴퓨터 과학에서 선형 논리의 적용 뒤에 놓여 있는데, 이는 그 논리가 증명 검색에 사용될 수 있고 자원을 인식하는 람다 미적분학으로서 사용될 수 있게 해주기 때문이다.

이제, 우리는 논리적인 규칙을 주어 결합자들을 설명한다. 일반적으로 순차 미적분학에서는 각 결합체에 대해 "우측 규칙"과 "좌측 규칙"을 모두 부여하며, 결합에 관련된 명제에 대한 두 가지 추론 방식을 근본적으로 설명한다(예: 검증과 변조). 일방적 프레젠테이션에서는 부정(connective)을 대신 사용한다: 결합(say ⅋)을 위한 오른쪽 규칙이 그것의 이중(중복)을 위한 왼쪽 규칙의 역할을 효과적으로 한다. 따라서, 우리는 결합자에 대한 규칙과 결합자에 대한 규칙의 이중화에 대해 일정한 "조화"를 기대해야 한다.

승수

승법 접속사(승법)와 분리(승법)에 대한 규칙:

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$Δ$$, B ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$γ$$, Δ, A ⊗ B

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A, B ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ⅋ B

해당 유닛의 경우:

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash$ $}$ 1

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, ⊥

고전적 해석(즉, LK에서는 허용 가능한 규칙)에 따른 일반 접속 및 분리에 대해 승법 접속 및 분리에 대한 규칙이 허용되는지 관찰한다.

첨가제

첨가제 접속사 (&)와 분리 (⊕)에 대한 규칙:

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, B ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A & B

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ⊕ B

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, B ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ⊕ B

해당 유닛의 경우:

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, ⊤

(0에 대한 규칙 없음)

첨가제 결합 및 절연에 대한 규칙은 고전적 해석에 따라 다시 허용된다는 점을 준수하십시오. 하지만 이제 우리는 접속사의 서로 다른 두 버전의 규칙들의multiplicative/additive 구별하기 위해.:(&) 결론(Γ)의 문맥 전체 native실행되는 반면에 첨가제인 경우에 결합은 곱셈의 결합(⊗)을 내가 내린 결론은,(Γ, Δ)의 컨텍스트를 건물 사이에, 나뉜다 기초 설명할 수 있다.o 양쪽 구내

지수

지수들은 약화와 수축에 대한 통제된 접근을 제공하는 데 사용된다. 구체적으로, 우리는 ?'d 명제를 위해 약화와 수축의 구조적 규칙을 추가한다.^[5]

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$ ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, ?A

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, ?A, ?A ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, ?A

그리고 다음과 같은 논리 규칙을 사용한다.

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ ?$$γ, A ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ ?$$γ, !A

${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, A ${\displaystyle ⊢}$ ${\displaystyle \vdash }$ γ$$, ?A

어떤 사람은 지수 규칙들이 정상적인 모달 논리 S4의 연속 미적분 공식화의 양식에 지배하는 추론 규칙과 유사하게 다른 결합체 규칙들과 다른 패턴을 따르고 있으며, 더 이상 이중과 ? 사이에 명확한 대칭이 존재하지 않는다는 것을 관찰할 수 있다. 이 상황은 CLL(예: LU 프레젠테이션)의 대체 프레젠테이션에서 교정된다.

주목할 만한 공식

위에서 설명한 De Morgan 이중성 외에도, 선형 논리의 중요한 동등성에는 다음이 포함된다.

분배성

A ⊗ (B ⊕ C) ≣ (A ⊗ B) ⊕ (A ⊗ C)

(A ⊕ B) ⊗ C ≣ (A ⊗ C) ⊕ (B ⊗ C)

A ⅋ (B & C) ≣ (A ⅋ B) & (A ⅋ C)

(A & B) ⅋ C ≣ (A ⅋ C) & (B ⅋ C)

⊸을 ⅋으로 정의함에 따라, 마지막 두 유통성 법칙도 다음을 제공한다.

A ⊸ (B & C) ≣ (A ⊸ B) & (A ⊸ C)

(A ⊕ B) ⊸ C ≣ (A ⊸ C) & (B ⊸ C)

(여기서 ≣은 A( ) ) B& ( ⊸) 입니다.)

지수 이형성

!(A & B) ≣ !A ⊗ !B

?(A ⊕ B) ≣ ?A ⅋ ?B

선형분포

이등형성은 아니지만 선형 논리에서 결정적인 역할을 하는 지도는 다음과 같다.

(A ⊗ (B ⅋ C)) ⊸ ((A ⊗ B) ⅋ C)

선형 분포는 선형 논리의 증명 이론에서 기본이다. 이 지도의 결과는 처음에 조사되었고 "약점 분포"라고 불렸다. 후속 작업에서는 선형 논리에 대한 근본적인 연결을 반영하기 위해 "선형 분포"로 이름을 바꾸었다.

기타 시사점

다음의 분배성 공식은 일반적으로 동등하지 않고 단지 함축적일 뿐이다.

!A ⊗ !B ⊸ !(A ⊗ B)

!A ⊕ !B ⊸ !(A ⊕ B)

?(A ⅋ B) ⊸ ?A ⅋ ?B

?(A & B) ⊸ ?A & ?B

(A & B) ⊗ C ⊸ (A ⊗ C) & (B ⊗ C)

(A & B) ⊕ C ⊸ (A ⊕ C) & (B ⊕ C)

(A ⅋ C) ⊕ (B ⅋ C) ⊸ (A ⊕ B) ⅋ C

(A & C) ⊕ (B & C) ⊸ (A ⊕ B) & C

고전적/직관적 논리를 선형 논리로 인코딩

직관과 고전적 함축은 모두 지수화를 삽입함으로써 선형 함축으로부터 회복될 수 있다: 직감적 함축은 ! A⊸ , 고전적 함축은 ! ?⊸A B? 또는 A! ⊸?!(B또는 다양한 가능한 대체 번역)로 부호화할 수 있다.^[7] 기하급수적인 것은 우리가 필요한 만큼 공식을 사용할 수 있게 해주는데, 이는 고전적 논리나 직관적 논리에서는 항상 가능하다.

형식적으로는 직관논리의 공식에서 선형논리의 공식으로 번역된 공식이 선형논리에서 증명될 수 있는 경우에만 원래의 공식이 직관논리에서 증명될 수 있음을 보장하는 방식으로 직관논리의 공식으로 번역하는 것이 존재한다. 괴델-젠젠 음성번역을 이용하면, 우리는 따라서 고전적인 1차 로직을 선형 1차 로직에 내장할 수 있다.

리소스 해석

라퐁(1993)은 먼저 직관적 선형 논리가 자원의 논리로 어떻게 설명될 수 있는지를 보여 주었기 때문에, 고전적 논리에서처럼 비논리적 술어와 관계를 이용하여 논리 그 자체 내의 자원에 대한 추론에 사용할 수 있는 형식주의에 대한 접근을 논리 언어에 제공했다. 토니 호어(1985)의 고전적인 자판기 예는 이러한 생각을 설명하는데 사용될 수 있다.

우리가 원자 명제로 캔디 바를 가지고 있고, 그리고 1달러를 가지고 있는 것을 대표한다고 가정합시다. 1달러가 캔디바를 한 개 사준다는 사실을 말하자면, 우리는 시사점을 쓸지도 모른다. 그러나 보통의 (클래식적이거나 직감적인) 논리에서는, 그리고 from로부터 결론을 내릴 수 있다. 그래서, 평범한 논리는 우리가 캔디바를 사서 우리의 달러를 유지할 수 있다고 믿게 만든다! 물론 그러한 인코딩은 전형적으로 프레임 문제로 어려움을 겪지만,^{[clarification needed]} 우리는 보다 정교한 인코딩을 사용함으로써 이러한 문제를 피할 수 있다. 그러나 약화와 수축에 대한 거부반응은 선형논리를 허용하여 이러한 종류의 허황된 추론을 '쾌활' 법칙을 가지고도 피할 수 있게 한다. ⇒ 보다는, 우리는 자판기의 속성을 선형 함축으로 표현한다 ⊸ 그리고 이 사실로부터, 우리는 결론을 내릴 수 있다, 그러나 ⊗은 아니다. 일반적으로, 우리는 자원을 자원으로 변환하는 것의 타당성을 표현하기 위해 선형 논리 명제 ⊸을 사용할 수 있다.

자동판매기의 예를 사용하여 실행하면서 다른 승법 및 첨가제의 "자원 해석"을 고려하십시오. (지속적인 논리 진리의 일반적인 개념과 이러한 자원 해석을 결합하는 수단을 지수들이 제공한다.)

곱하기 접속사(A multipl)는 소비자가 지시하는 대로 사용할 자원의 동시 발생을 의미한다. 예를 들어 껌과 청량음료 한 병을 산다면 requesting을 요청하는 것이다. 상수 1은 자원이 없음을 의미하므로 ⊗의 단위로서의 기능을 한다.

첨가제 접속사(A & )는 자원의 대체 발생을 나타내며, 소비자가 통제하는 선택이다. 만약 자판기에 칩 한 봉지, 캔디바, 그리고 음료수 한 캔이 각각 1달러씩 있다면, 그 가격에 당신은 이 제품들 중 하나를 정확히 살 수 있다. 그래서 우리는 ⊸ candy( & )을 쓴다. 우리는 ⊸(candy ()라고 쓰지 않는다. 이는 3개 제품을 모두 함께 구입하는 데 1달러면 충분하다는 것을 의미한다. 단, ⊸$1 (&candy )로부터 ⊸ ( candy()를 정확하게 추론할 수 있는데, 여기서 := ⊗ ⊗. 첨가 접속의 단위 ⊤은 불필요한 자원의 휴지통으로 볼 수 있다. 예를 들어, 우리는 3달러로 좀 더 구체적으로 말하지 않고도 캔디바와 다른 것들을 얻을 수 있다는 것을 표현하기 위해 to( ()candy을 쓸 수 있다.

적층분리(A ( additive)는 자원의 대체 발생을 나타내며, 기계에서 제어하는 선택이다. 예를 들어 자동판매기가 도박을 허용한다고 가정하자: 1달러를 넣으면 기계가 캔디바, 칩 한 봉지, 또는 청량음료를 공급할 수 있다. 우리는 이 상황을 ⊸ candy( ( ). )으로 표현할 수 있다. 상수 0은 만들 수 없는 제품을 나타내며, 따라서 ⊕의 단위 역할을 한다(생산될 수도 있는 기계 또는 0은 결코 0을 생산하는 데 성공하지 못하기 때문에 항상 생산하는 기계와 같다). 그래서 위와 달리 이것으로부터 ⊸(candy ()을 추론할 수 없다.

multipl 또는 ⊸ 로서 다시 선형의 함축으로 인코딩할 수 있지만, 자원 해석의 관점에서 승법적 분절(A )法)은 더 얼버무리기가 어렵다.

기타 증명 시스템

프루프

장-이브 지라르에 의해 소개된 교정망은 관료주의를 피하기 위해 만들어졌는데, 그것이 논리적인 관점에서는 두 파생을 다르게 만드는 모든 것이다, 그러나 "도덕적인" 관점에서는 그렇지 않다.

예를 들어, 이 두 증거는 "도덕적으로" 동일하다.

$\displaystyle \vdash }$ A, B, C, D $\displaystyle \vdash }$ A ⅋ B, C, D $\displaystyle \vdash }$ A ⅋ B, C ⅋ D

$\displaystyle \vdash }$ A, B, C, D $\displaystyle \vdash }$ A, B, C ⅋ D $\displaystyle \vdash }$ A ⅋ B, C ⅋ D

교정망의 목표는 그것들을 그래픽으로 표현함으로써 그것들을 동일하게 만드는 것이다.

의미론

대수적 의미론

참여의 결정성/복잡성

전체 CLL의 가입 관계는 불분명하다.^[8] CLL 파편을 고려할 때 의사결정 문제는 복잡성이 다양하다.

• 곱셈 선형 논리(MLL): 곱셈 연결부만. MLL 포함은 NP-완전하며, 심지어 순수하게 내포적인 파편에서 Horn 절이나 ^[9]원자 없는 공식으로 제한된다.^[10]
• MALL(승수 가산 선형 논리): 승수제와 첨가제(즉, 지수 없는 것)만. MALL 가입은 PSpace-완전하다.^[8]
• MELL(승수-배수-배수 선형 논리): 승수 및 지수만. 페트리 네트에 대한 도달 가능성 문제로부터의 감소에 의해,^[11] 결정성 자체는 오랜 기간 열린 문제의 상태를 가지고 있었지만, MEL 수반은 적어도 EXPSPACE-hard가 되어야 한다. 2015년 검증가능성 증명이 TCS 저널에 실렸으나 이후 오류가 있는 것으로 나타났다.^[12][13]
• 1995년, 아핀 선형 논리(약해지는 선형 논리, 단편보다는 확장이 있는 선형 논리)가 해독 가능한 것으로 나타났다.^[14]

변형

선형 논리의 많은 변화는 구조 규칙을 더 잘 적용함으로써 발생한다.

• 수축은 금지하지만 글로벌 약화를 허용하는 어핀 논리(decificable extension)
• 약화는 금하지만 글로벌 위축은 허용하는 엄격한 논리나 관련 논리.
• 약화와 위축을 막는 것 외에 교환의 법칙을 제거하는 비확정 논리 또는 순서 논리. 순서 논리학에서 선형 함축은 좌뇌와 우뇌로 더욱 나뉜다.

서로 다른 직감적인 선형 논리의 변형이 고려되었다. IL(Intuismistic Linear Logic)에서와 같이 단일 컨버전스 시퀀셜 미적분 표시에 기초했을 때, connectives ,, and, ?가 부재하며, 선형 함축은 원시 결합체로 취급된다. FULL(완전한 직관적 선형논리)에서 연결체 ⅋, ⊥, ?, ?가 존재하며, 선형적 함축은 원시적 결합체이며, 직관적 논리에서 일어나는 일과 유사하게 모든 연결체(선형 부정 제외)는 독립적이다. 또한 선형 논리의 1차적 및 고차적 확장도 있는데, 이 선형 논리의 형식적 발전은 어느 정도 표준적인 것이다(1차 논리 및 고차 논리 참조).

참고 항목

• 선형형 시스템, 하부구조형 시스템
• 통합 논리(LU)
• 프루프
• 교호작용 기하학
• 게임 의미론
• 직감 논리학
• 계산가능성 논리학
• 루딕스
• 추 스페이스
• 고유성형
• 선형 논리 프로그래밍

참조

추가 읽기

• 지라드, 장 이브스 선형 논리학, 이론 컴퓨터 과학, Vol 50, no 1, 페이지 1-102, 1987.
• 지라드, 장 이브스, 라퐁, 이브스, 테일러, 폴. 증명 및 유형. 1989년 케임브리지 프레스
• 1985년 C. A. R. 호레. 통신 순차적 프로세스. 프렌티스 홀 인터내셔널 ISBN 0-13-153271-5
• 1993년 라퐁, 이브스 선형 논리 소개. TEMPUS Summer School의 강의 노트 체코 브르노 컴퓨터 과학의 대수학 및 범주형 방법에 대한 참고 사항.
• Troelstra, A.S. 선형논리에 대한 강의. CSLI(Center for Study of Language and Information) 강의 노트 29번. 1992년 스탠퍼드
• A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg(1996년). 기본 증명 이론. 케임브리지 대학 출판부의 이론 컴퓨터 과학의 케임브리지 트랙츠 시리즈, ISBN 0-521-77911-1.
• 디 코스모, 로베르토, 다노스 빈센트 선형 논리 프라이머.
• Patrick Lincoln의 Linear Logic(포스트스크립트) 소개
• 토르벤 브루너의 선형논리 소개
• 필립 와들러의 선형논리의 맛
• 로베르토 디 코스모와 데일 밀러의 선형 논리 스탠포드 철학 백과사전 (Fall 2006 Edition), Edward N. Zalta (ed.
• Dale Miller의 선형 논리 프로그래밍 개요. 컴퓨터 과학의 선형 논리에서 에르하르트, 지라드, 뤼트, 스콧이 편집했다. 케임브리지 대학 출판부. 런던 수학 협회 강의 노트, 316권, 2004.
• 선형논리위키

외부 링크

• 위키미디어 공용의 선형 논리와 관련된 미디어
• 온라인에서 사용할 수 있는 선형 로직 프로베러(llprover)는 다음에서 확인하십시오. 다무라 나오유키 / CS 학장 / 고베 대학 / 일본