룰렛(곡선)

곡선의 미분 기하학에서 룰렛은 사이클로이드, 에피사이클로이드, 하이포시클로이드, 트로코이드, 상피로이드, 하이포트로코이드, 비자발성을 일반화하는 곡선의 일종이다.

정의

비공식적 정의

대략적으로, 룰렛은 일정한 두 번째의 주어진 곡선을 따라 그 곡선이 미끄러지지 않고 굴러갈 때 주어진 곡선에 부착된 점(발전기 또는 극이라고 함)으로 묘사되는 곡선을 말한다. 보다 정확히 말하면, 동일한 공간을 점유하고 있는 고정 평면에 부착된 곡선을 따라 곡선이 미끄러지지 않고 굴러가도록 움직이는 평면에 부착된 곡선을 볼 때, 이동 평면에 부착된 지점은 룰렛이라 불리는 고정 평면에서 곡선을 설명한다.

특수 사례 및 관련 개념

롤링 곡선이 선이고 발전기가 선상의 점인 경우 룰렛을 고정곡선의 무의식이라고 한다. 롤링 곡선이 원이고 고정 곡선이 선이면 룰렛은 트로코이드다. 이 경우 포인트가 원에 있다면 룰렛은 사이클로이드다.

관련된 개념은 글리세트로, 주어진 곡선을 따라 두 개 이상 미끄러지면서 주어진 곡선에 부착된 점으로 묘사된다.

형식 정의

정식으로 말하면 유클리드 평면에서 곡선은 서로 다른 곡선이어야 한다. 고정 곡선은 불변으로 유지된다. 롤링 곡선은 항상 곡선을 따라 이동할 때 같은 속도로 이동하는 접촉 지점에 접하게 되는 연속적인 응집 변환을 받는다(이 구속조건을 표현하는 또 다른 방법은 두 곡선의 접촉점이 즉각적인 중심이라는 것이다).조합 변환의 회전). 결과 룰렛은 동일한 조합 변환에 따른 발전기의 위치에 의해 형성된다.

Modeling the original curves as curves in the complex plane, let ${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ be the two natural parameterizations of the rolling (${\displaystyle r}$) and fixed (${\displaystyle f}$) curves, such that ${\displaystyle r(0)=f(0)}$, ${\displaystyle r^{\prime }(0)=}$${\displaystyle {}^{}\mathrm{f}}$$$${\displaystyle \prime }$ ( 0${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle r$$'(0)=f'(0)}$및 ${\displaystyle r{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle t}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle f{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle r'(t)$= $f' \neq 0$$}$ 모든 $t$에 대해$$$.$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$이(가) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$에서 롤링될$$ 때 생성기 $bb$ C {\$displaystyle p\in$\mathb ${C} }}$의 룰렛은 다음 매핑에 의해 제공된다$$.

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t){f'{f'(t) \over r'(t)}$

일반화

하나의 점이 롤링 곡선에 부착되는 대신 다른 주어진 곡선이 이동 평면을 따라 이동되는 경우, 합치된 곡선의 패밀리가 생성된다. 이 가족의 봉투는 룰렛이라고도 할 수 있다.

더 높은 공간에 있는 루렛트는 확실히 상상할 수 있지만, 단지 접선 이상의 정렬이 필요하다.

예

고정 곡선이 Catwine이고 롤링 곡선이 선인 경우, 다음이 있다.

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

$[\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t)=\cosh(t).}$

라인의 매개변수화를 선택함으로써

${\displaystyle f'(t) ={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}= r'(t).}$

위 공식을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle f(t)+(p-r(t){f'(t) \over r'(t)}=t+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t) \over \cosh(t) \cosh(t)}$

p = -i 식에 상수 상상의 부분(이름 -i)이 있고 룰렛이 수평선인 경우. 이것의 흥미로운 적용은 네모난 바퀴가 일련의 대칭 호에서 튕기지 않고 굴러갈 수 있다는 것이다.

룰렛 목록

참고 항목

• 롤링
• 기어
• 중첩원리
• 스피로그래프
• 투시 부부
• 로제타(또는 비트)

메모들

참조

• W. H. Besant(1890) 코넬 대학교 역사 수학 모노그래프스의 루아렛과 글리세트에 관한 노트, 원래 Diighton, Bell & Co.에서 출판되었다.
• Weisstein, Eric W. "Roulette". MathWorld.

추가 읽기

• 룰렛 2dcurves.com
• 기지, 룰란테 등 루레츠 단 MOUBE 계획서외 (프랑스어로)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbeweungen und deren Anwendungen. (독일어로)