페달 곡선

수학에서, 주어진 곡선의 페달 곡선은 이 곡선의 접선 선에 고정된 점의 직교 투영에서 비롯된다.보다 정확히 말하면, 평면 곡선 C와 주어진 고정 페달 포인트 P의 경우, 선 PX가 점 X를 통과하는 곡선에 접선 T에 수직이 되도록 C의 페달 곡선은 점 X의 중심이다.반대로, 곡선 C의 임의 지점 R에서 T를 해당 지점 R의 접선 라인으로 한다. 그러면 접선 T에는 페달 지점 P와 수직인 라인을 형성하는 고유한 점 X가 있다(고정 지점 P가 접선 T에 있을 경우, X와 P 점이 일치). – 페달 곡선은 그러한 X 지점의 집합이다.변수 점 R이 곡선 C 위에 걸쳐 있기 때문에 고정점 P에서 접선 T에 수직인 부분의 발이라고 한다.

페달 곡선을 보완하면 R에서 C에 정각으로 가는 선에 Y라는 고유한 점이 있어 PXRY는 (후진될 가능성이 있는) 직사각형이다.Y 점의 중심은 반선형 곡선이라고 불린다.

곡선의 직교법은 페달을 2의 인수로 확대하여 유사성의 중심이 P가 되도록 한다.이것은 접선 T를 통한 P의 반사 위치다.

페달 곡선은 C₁, C₂, C 등의₃ 일련의 곡선 중 첫 번째인데, 여기서 C는₁ C의 페달, C는₂ C의₁ 페달 등이다.이 방식에서 C는₁ C의 첫 번째 양성 페달, C는₂ C의 두 번째 양성 페달 등으로 알려져 있다.반대로 C는 C의₁ 첫 번째 음극 페달, C의₂ 두 번째 음극 페달이다.^[1]

방정식

데카르트 방정식에서

P를 원점으로 삼아라.F(x, y)=0 등식으로 주어진 곡선의 경우, R=(x₀₀, y)에서 접선 선의 방정식이 형식에 쓰여진 경우

$\displaystyle \cos \x+\sin \cHB y=p}$

그러면 벡터(cos α, sin α)는 세그먼트 PX와 평행하며, 접선선에서 원점까지의 거리인 PX의 길이는 p이다.그래서 X는 극좌표(p, α)로 표시되며, (r, α)로 대체(p, α)하면 페달 곡선에 대한 극 방정식이 생성된다.^[2]

예를 들어 ^[3]타원의 경우

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}}+{\frac {y^{2}}:{b^{2}}=1}$

R=(x₀₀, y)의 접선 선은

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}=1}$

그리고 위에 주어진 형식으로 이것을 쓰는 것은

${\displaystyle {\frac {x_}{0}{a^{2}}:={\frac {\cos \cos \{p}},\, {\frac {y_{0}}}{b^}}}}}={\frac {\sin \p}}}}.}$

타원에 대한 방정식은₀ x와₀ y를 주는 것을 제거하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\b^{2}\sin ^{2}\p^{2},\,}$

그리고 (r, θ)로 변환하는 것은

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

페달을 밟는 극성 방정식으로 말이야이것은 다음과 같이 쉽게 데카르트 방정식으로 변환된다.

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

극 방정식에서

P의 경우 원점과 C는 r = f(()로 극좌표로 주어진다.R=(r, θ)를 곡선상의 점으로 하고 X=(p, α)를 페달 곡선의 해당 점으로 한다.ψ은 접선선과 반지름 벡터 사이의 각도를 나타내며, 때로는 극 접선각으로 알려져 있다.그것은 에 의해 주어진다.

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta}}\tan \tan \cHB .}$

그러면

$\displaystyle p=r\sin \cHB \cHB$

그리고

${\displaystyle \cHB =\theta +\pi -{\frac {\pi }{2}.}$

이러한 방정식은 p와 α에서 방정식을 생성하는데 사용될 수 있으며, 이 방정식은 r과 α로 변환될 때 페달 곡선에 대한 극성 방정식을 제공한다.^[4]

예를 들어,^[5] 곡선을 r = cos θ에 의해 주어진 원이 되게 한다.그러면

$\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \tan \tan \time }$

그렇게

${\displaystyle \tan \cHB =-\cHB = \theta ,\\pi }{\2}}+\cHB =2\theta .}$

또한

${\displaystyle p=r\sin \cos \=r\cos \cos \theta =a\cos ^{2}{\cess \cos }{2}}}$

그래서 페달의 극 방정식은

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2.}}$

페달 방정식에서

곡선의 페달 방정식과 그 페달은 밀접한 관계가 있다.P를 페달 포인트와 원점으로 삼는 경우, 지점 R에서 곡선과 반지름 벡터 사이의 각도 ψ이 지점 X에서 페달 곡선에 대한 해당 각도와 동일하다는 것을 보여줄 수 있다.만약 p가 곡선의 접선(즉, PX)에서 P에서 페달을 향해 접선(접선)까지 그려진 수직의 길이이고, q가 P에서 페달에 접선(접선)까지 끌어온 해당 수직의 길이라면, 그 다음 유사한 삼각형으로 그려진다.

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}}.}$

직후에 따라 곡선의 페달 방정식이 f(p,r)=0이면 페달 곡선의 페달 방정식이^[6]

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}:{p}}=0}$

이로부터 곡선의 페달 방정식을 알면 모든 양과 음의 페달을 쉽게 계산할 수 있다.

모수 방정식에서

$v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$- ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\vec{v}}=P-R$}을(를) R to P의 벡터가 되게$$ 하고 쓰십시오.

${\displaystyle \stackrel{}{}{\stackrel{}{}}_{}\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$= v${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle {\parallel }_{}}$+ v${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle {\perp }_{}}$ ${\$

곡선과 관련하여$$ $v{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$의 접선성 및 정규성분.그러면 $v{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→$∥{\$는 X의 위치를 계산할 수 있는 R에서 X까지의 벡터다$$.

특히 c가 곡선의 파라메트리징이라면

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c(t)\cdot(P-c(t) \over c'(t)^{2}}c'(t)}$

페달 곡선(c'가 0이거나 정의되지 않은 지점인 경우)을 파라메타화한다.

모수적으로 정의된 곡선의 경우, 페달 포인트(0;0)가 있는 페달 곡선은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}.}$

대칭 곡선은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot(P-c(t) \over c'(t) ^{2}}c'(t)}$

동일한 페달 포인트에서, 대칭곡선은 주어진 곡선의 회피의 페달곡선이다.

기하학적 특성

한 다리는 P 지점에 유지되고 다른 다리는 곡선에 접하도록 직각 이동을 고려한다.그러면 이 각도의 정점은 X이고 페달 곡선을 추적한다.각도가 움직이면 P에서의 동작 방향은 PX와 평행하고 R에서의 동작 방향은 접선 T = RX와 평행이다.따라서 즉석 회전 중심은 P에서 PX에 직각이고 R에서 RX에 직각인 선의 교차점이며, 이 점은 Y이다.X에서 페달에 닿는 접선이 XY에 수직인 경우.

직경 PR로 원을 그린 다음 직사각형 PXRY와 XY는 또 다른 직경이다.원과 페달은 모두 XY에 수직이기 때문에 X에서 접선된다.따라서 페달은 R이 곡선에 놓여 있는 지름 PR을 가진 원의 외피다.

선 YR은 곡선에 정규이고 그러한 표준의 외피는 그것의 절대이다.따라서 YR은 회전에 접하고 Y 지점은 P에서 이 회선에 직각인 발이며, 즉 Y는 회전의 페달에 있다.그것은 곡선의 반대쪽이 그것의 회피의 페달이라는 것을 따른다.

C를 P를 향해 C를 2의 인수로 축소하여 얻은 곡선이 되도록 한다.그리고 R에 해당하는 R point 지점은 직사각형 PXRY의 중심이며, R and에서 C′에 접하는 부분은 이 직사각형을 PY와 XR에 평행하게 이등분한다.그런 다음 P에서 시작하여 R'에서 C′에 의해 반사되는 한 줄기 빛이 Y를 통과한다.반사된 광선은 연장되었을 때 C의 페달에 수직인 XY 선이다.페달에 수직인 선들의 봉투는 반사광선 또는 C of의 카타코스티크가 된다.이것은 곡선의 대정맥이 그 직교법의 방종이라는 것을 증명한다.

앞에서 언급한 바와 같이, 직경 PR의 원은 페달에 접한다.이 원의 중심은 C′ 곡선을 따라가는 R′이다.

D′는 C′에 합치되는 곡선이 되게 하고 D rou는 룰렛의 정의에서처럼 C slipping에 미끄러지지 않고 굴러가게 하여 D′는 서로 접하는 선에 대하여 항상 C′의 반영이 되도록 한다.그런 다음 곡선이 R′에서 접촉할 때 이동 평면의 P에 해당하는 지점은 X이며, 따라서 룰렛은 페달 곡선이다.동등하게, 곡선의 직교법은 거울 영상에 있는 곡선의 룰렛이다.

예

C가 원일 때 위의 논의는 리마콘의 다음 정의가 동등하다는 것을 보여준다.

• 그것은 원의 페달이다.
• 그것은 지름이 고정된 지점에 하나의 끝점이 있고 원을 따르는 다른 끝점이 있는 원의 외피다.
• 그것은 중심이 원을 따라가는 고정된 지점을 통과하는 원의 봉투다.
• 같은 반지름을 가진 원을 굴리면서 형성된 룰렛이다.

우리는 또한 원의 성질이 리마콘의 방종이라는 것을 보여주었다.

특정 곡선의 페달

특정 곡선의 페달은 다음과 같다.^[7]

곡선	방정식	페달 포인트	페달 곡선
원		원주점	흉부외과
원		임의의 지점	리마손
파라볼라		초점	정점에 있는 접선 선
파라볼라		꼭지점	디오클레스의 시소이드
델토이드		중심	트라이폴륨
중앙 원뿔		초점	보조원
중앙 원뿔	${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}}:\pm {\frac{y^{2}}:{b^{2}}=1}$	중심	${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$± ${\displaystyle b{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {\sin }^{}{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}\theta }$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$히포페데)
직사각형 하이퍼볼라		중심	베르누이 렘니스카테
로그 나선형		장대	로그 나선형
사인 나선형	${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos n\theta }$	장대	${\displaystyle {}^{}{}^{}{\frac{}{}}^{}}$+ ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$= ${\displaystyle {\frac{n}{}}^{}}$+ ${\displaystyle {\frac{1}{}}^{}}$ ${\displaystyle \cos {\frac{}{}}^{}}$(${\displaystyle \frac{cos)}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{}}$ + 1 cos(cos) n + 1 $($n + 1 cos) n + 1 cos($displaystyle$ r$^{\tfrac{n+1$}{n$}{n+$1}}}}}=$a^{n$+$1}}\cos${\$tfrac{n+1}\ta}($다른 사인곡선)

참고 항목

• 원곡선 목록

참조

메모들

원천

추가 읽기

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 페달 곡선과 관련된 미디어가 있다.

• Weisstein, Eric W. "Pedal Curve". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Contrapedal Curve". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Orthotomic". MathWorld.