시스소이드

기하학에서 cissoid는 주어진 두 곡선 C₁, C와₂ 점 O(극)에서 생성된 곡선이다.L은 O를 통과하고 P에서₁₂ C와₁ C를₂ 교차하는 변수 선이 되도록 한다.P는 L에 포인트가 되어 OP₁₂ = PP가 되도록 한다.(실제로 그러한 포인트가 두 개 있지만 P는 P에서₁ P가₂ O에서 같은 방향으로 오도록 선택한다.)그런 다음, 그러한 점 P의 중심은 O에 상대적인 곡선₁ C, C의₂ 시스소이드로 정의된다.

약간 다르지만 본질적으로 동등한 정의를 다른 작가들이 사용한다.예를 들어, P는 OP = OP₁ + OP로₂ 정의될 수 있다.이는 C가₁ O를 통한 반사로 대체되는 경우 다른 정의와 동일하다.또는 P는 P와₁ P의₂ 중간점으로 정의될 수 있다. 이것은 1/2 인수로 크기 조정된 이전 곡선에 의해 생성된 곡선을 산출한다.

"cissoid"라는 단어는 그리스어에서 유래되었다: ισσεδδδδδδ lit lit lit lit, light. ivy, ivy, δ, -οειδ, δδ, '의 유사성을 나타냄'에서 'ivy'자형.

방정식

If C₁ and C₂ are given in polar coordinates by ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ and ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ respectively, then the equation ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$ describes the cissoid of C₁ and C₂ relative to the origin.그러나 극좌표에서 점을 여러 가지 방법으로 나타낼 수 있기 때문에 시스소이드의 다른 분지에서도 방정식이 다를 수 있다.구체적으로는 C도₁ 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

그래서 시스소이드는 사실 방정식에 의해 주어진 곡선의 조합이다.

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\ta -\pi ), }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$.

f와₁ f의₂ 기간에 따라 개별 단위로 결정할 수 있는데, 이 중 어떤 방정식이 중복으로 인해 제거될 수 있는가.

예를 들어, C와₁ C₂ 둘 다 타원이 되도록 한다.

${\displaystyle r}$= 1 ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$ $\}\}.$

시스소이드의 첫 번째 가지에 의해 주어진다.

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}\frac{\theta }{}}$ - ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$- ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r={\frac {1}{1\cos \theta }-{\frac {1}{2-\cos \theta$ $\},$

그게 기원이야타원 또한 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle r}$=${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$

그래서 시스소이드의 두 번째 분기는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}{{1}{2+\cos \theta }}$

타원형 곡선이다.

모수₁ 방정식에 의해 각 C와 C가₂ 주어지는 경우

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=message}$

그리고

${\displaystyle x}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$( p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{y}}$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=message$

그 다음에 기원에 상대적인 시스오이드는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle x}$= ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$( p${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle p}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{y}}$= p = ${\displaystyle p}$x {\$displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1$}(p),\ y$=y=messages$ .

구체적인 사례

C가₁ 중심 O를 가진 원일 때 시소이드는 C로₂ 구성된다.

C와₁ C가₂ 평행선일 때 시소이드는 주어진 선에 평행한 세 번째 선이다.

하이퍼볼라스

C와₁ C를₂ 두 개의 평행하지 않은 선이 되게 하고 O를 원점이 되게 한다.C와₁ C의₂ 극 방정식을 그대로 두어라.

${\displaystyle r={\frac {a_{1}:{\cos(\theta -\properties _{1}}}}}$

그리고

${\displaystyle r}$= ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\cos }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{\theta }{}}$ -${\displaystyle \frac{{\alpha \mathrm{}}_{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$) ${\$ -$\message _{2$

By rotation through angle ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha 2)/2}$, we can assume that ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$. Then the cissoid of C₁ and C₂ relative to the origin is given by

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}: {\cos(\theta +\property )}-{\frac {a_{1}{\cos(\theta -\property )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\property )-a_{1}cos(\theta +\property )}{\cos(\theta -\property )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \$$\sin ^{2}\theta$ $\}\}.$

조합 상수는 다음을 제공한다.

${\displaystyle r={\frac {b\c\cos \c\sin \theta }{2}\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}}}}$

데카르트 좌표에는

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

이것은 기원을 통과하는 하이퍼볼라다.그래서 두 개의 비병렬 선의 시스소이드는 극을 포함하는 하이퍼볼라다.이와 유사한 파생은 반대로 어떤 하이퍼볼라가 그것의 어떤 점에 상대적인 두 개의 비병렬 선의 시소이드라는 것을 보여준다.

자흐라드니크의 시스소이드

자흐라드니크의 시스소이드(카렐 자흐라드니크의 이름)는 원뿔 부분의 시스소이드(cissoid)로 정의되며 원뿔의 어떤 점에 상대적인 선으로 정의된다.이것은 몇 가지 잘 알려진 예를 포함하고 있는 합리적인 입방 곡선의 넓은 계열이다.구체적으로:

• 매클라우린의 트라이섹트릭스(Trisectrix)가 준 선물

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}}$

원의 시스소이드$({\displaystyle x}$+ a${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}}=a^{2}}:$ 선$$ $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 원점에 ${\displaystyle \frac{\mathrm{상대적}}{}}$인 ${\displaystyle 2\frac{}{}}$ ${\$ x$={-{a \a$ \over2$}}:}$

• 오른쪽 스트롭호이드

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

원의 시스소이드$({\displaystyle x}$+ a${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}}=a^{2}}:$ 선$$ $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 원점에 ${\displaystyle \mathrm{상대적}}$인 ${\displaystyle$ x$=-a}$

• 디오클레스의 시스소이드

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

원의 시스소이드$({\displaystyle x}$+ a${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}}=a^{2}}:$ 선$$ $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{원점}}$에 상대적인$$ ${\displaystyle$ x$=-2a}$사실 이것은 가족이 명명된 곡선으로, 일부 저자들은 이것을 단순히 시스소이드라고 부른다.

• 원의 시스소이드$({\displaystyle x}$+ a${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$}}=a^{2}}:$ $선$ x${\displaystyle }$= ${\displaystyle k}$ = a$${\$displaystyle$ x$=ka$ 여기서 k는 매개변수인 de Sluze의 콘코이드(Conchoid)라고 한다.(이 곡선은 실제로 콘코이드(conchoides)가 아니다.)이 집안은 이전의 예를 포함한다.
• 데카르트의 모포

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

원점에 상대적인$$ 타원 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$=${\displaystyle a}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$+ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ 및$$ 선 x +${\displaystyle y}$=${\displaysty x+y=-a}$의 cissoid이다.이를 보려면 행을 쓸 수 있다는 점에 유의하십시오.

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p},\ y=message}$

그리고 타원은 쓸 수 있다.

${\displaystyle x}$=${\displaystyle a\frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{1}{}}$+ p${\displaystyle \frac{}{}}$) 1 -${\displaystyle \frac{}{}}$p${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{p\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$, ${\displaystyle \text{y}}$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=y$=cs$\}.$

그래서 시스소이드는 에 의해 주어진다.

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}}},\ y=px}$

모낭의 파라메트릭 형태야

참고 항목

• 콘코이드
• 스트롭호이드

참조

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 53–56. ISBN 0-486-60288-5.
• C. A. 넬슨 "합리적 평면 큐빅에 대한 노트" 불. 아머. 수학. Soc. 32권, 1권(1926), 71-76권.

외부 링크

• "Cissoid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cissoid". MathWorld.
• 2D 곡선