역곡선

반전 기하학에서 주어진 곡선 C의 역 곡선은 C에 역연산을 적용한 결과다.특히 중심 O와 반경 k를 가진 고정된 원과 관련하여 점 Q의 역행은 P가 레이 OQ와 OP/OQ = k에² 놓여 있는 지점 P이다.그러면 Q가 C 위로 흐를 때 C 곡선의 역은 P의 중심점이 된다.이 구조에서 O 지점은 역전의 중심, 원은 역전의 원, k는 역전의 반지름이라고 한다.

두 번 적용된 반전(verversion)은 아이덴티티 변환이므로, 같은 원에 대한 역곡선의 역곡선이 원곡선이다.반전 원 위의 점들은 반전 원들에 의해 고정되기 때문에 그 역은 그 자체다.

방정식

단위 원과 관련된 점(x, y)의 역은 (X, Y)이다.

${\displaystyle X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}},\qquad Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}},}$

또는 동등하게

${\displaystyle x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\qquad y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}.}$

따라서 단위 원과 관련하여 f(x, y) = 0으로 결정된 곡선의 역은

${\displaystyle f\left({\frac {X}{X^{2}+)Y^{2}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}:}\오른쪽)=0.}$

원과 관련하여 n도의 대수적 곡선을 뒤집으면 최대 2n의 대수적 곡선이 생성된다는 것은 이것으로부터 명백하다.

마찬가지로, 곡선의 역은 방정식에 의해 모수적으로 정의되었다.

$[\displaystyle x=x(t),\qquad y=y(t)}$

단위 원과 관련하여 다음과 같이 파라메트릭적으로 주어진다.

${\displaystyle {\begin}X=X(t)&={\frac {x(t)^{2}+y(t)^{2}},\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}.\end{정렬}}}$

이는 합리적 곡선의 순환 역도 합리적이라는 것을 암시한다.

보다 일반적으로 중심(a, b) 및 반지름 k를 가진 원과 관련하여 f(x, y) = 0으로 결정된 곡선의 역은 다음과 같다.

${\displaystyle f\ft(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{{2}+(Y-b)^{2}},b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{{2}+(Y-b)^{2}}@0=0.}$

모수적으로 정의된 원곡선의 역률:

$[\displaystyle x=x(t),\qquad y=y(t)}$

동일한 원과 관련하여 다음과 같은 파라메트릭으로 주어진다.

${\displaystyle {\begin{aligned}X=X(t)&=a+{\frac {k^{2}{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}},\\Y=Y(t)&=b+{\frac {k^{2}{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}}.\end{정렬}}}$

극좌표에서 방정식은 반전 원형이 단위 원일 때 더 단순하다.단위 원과 관련된 점(r, ))의 역은 (R, ))이다.

${\displaystyle R={\frac {1}{r},\qquad \theta =\theta .}$

그래서 그 곡선의 역 f(r, θ))0f(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-pa에 의해 결정된다.Rser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/R, Θ)=0과 곡선의 역 r)g(θ)은 r)1(θ).

도

위에서 언급한 바와 같이, n 도 곡선의 원과 관련된 역의 값은 최대 2n이다.원곡선이 반전점을 통과하거나 원형이 아닌 한 도수는 정확히 2n이며, 이는 복합 투영면에서 곡선으로 간주할 때 원형점(1, ±i, 0)을 포함하고 있다는 것을 의미한다.일반적으로 임의 곡선에 대한 반전에서는 비례적으로 더 큰 정도의 대수적 곡선을 생성할 수 있다.

구체적으로는 C가 p-circular of ° n이고, 반전 중심이 °C의 순서 q의 특이점이라면, 역 곡선은 °2n - 2p - q의 (n - p - q) 원곡선이 되며, 반전 중심은 역곡선의 순서 n - 2p의 특이점이다.여기서 q = 0은 곡선에 반전 중심이 포함되지 않은 경우, q = 1은 반전 중심이 그 위에 비반환점인 경우, 마찬가지로 원점(1, ±i, 0)은 C에서 순서 p의 특이점이다.k 값은 이러한 관계에서 제거할 수 있으며, 여기서 p는 다를 수 있지만 k는 고정된 양의 정수인 p+k의 p-원곡선 집합은 반전하 불변이라는 것을 보여준다.

예

베르누이의 레미니스케이트에 위의 변환을 적용

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)}$

우리에게 주다

${\displaystyle a^{2}\왼쪽(u^{2}-v^{2}\오른쪽)=1,}$

하이퍼볼라의 방정식; 뒤집기는 생식 변환이고 하이퍼볼라는 이성적인 곡선이기 때문에, 이것은 나니스케이트도 이성적인 곡선임을 보여주는데, 이것은 속 0의 곡선을 말한다.

변환을 페르마트 곡선 xⁿ + yⁿ = 1에 적용하면 n이 홀수인 경우

${\displaystyle \left(u^{2}+v^{2}\오른쪽)^{n}=u^{n}+v^{n}.}$

페르마 곡선의 어떤 이성적인 지점은 이 곡선에 상응하는 이성적인 지점이 있어 페르마의 마지막 정리의 등가 제형을 제공한다.

특정 사례

단순성을 위해 다음과 같은 경우 반전 원은 단위 원일 것이다.다른 반전 원들에 대한 결과는 원곡선의 번역과 확대에 의해 찾을 수 있다.

줄들

원점을 통과하는 선의 경우 극 방정식은 θ₀ = θ이고 여기서 θ은₀ 고정이다.이것은 반전하에서도 변함이 없다.

원점을 통과하지 않는 선에 대한 극 방정식은

$\displaystyle r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)=a}$

그리고 역곡선의 방정식은

$\displaystyle r=a\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)$

원은 원점을 통과하는 원이다.역전을 다시 적용하면 원형이 원점을 통과하는 역이 선임을 알 수 있다.

서클

극좌표에서 원점을 통과하지 않는 원(다른 경우는 포함)에 대한 일반적인 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle r^{2}-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+r_{0}^{2}-a^{2}=0,\qquad (a>0,\neq r_{0}}}}}}}}$

여기서 a는 반지름이고 (r₀, θ₀)는 중앙의 극좌표다.역곡선의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle 1-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+\left(r_{0}^{2}-a^{2}\right)r^{2}=0,}$

또는

${\displaystyle r^{2}-{0}{2r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\오른쪽)+{\frac {1}{r_{0}-a^{2}}=0}=0}=0.}$

이것은 반지름을 가진 원의 방정식이다.

${\displaystyle A={\frac {a}{\왼쪽 r_{0}^{2}-a^{2}\오른쪽 }}}}$

극좌표가 있는 중심부

${\displaystyle \left(R_{0},\theta _{0}\right)=\left({\frac {r_{0}}}^{0}^{2}-a^{2}},\teta _{0}\right)=\\reft({0}).}$

R이₀ 음수일 수 있다는 점에 유의하십시오.

원래 원이 단위 원과 교차하는 경우, 두 원의 중심과 교차점은 면 1, a, r₀ 이것은 직각 삼각형이다. 즉 반지름은 정확히 언제 직각이다.

${\displaystyle r_{0}^{2}=a^{2}+1.}$

그러나 위의 방정식에서 보면, 원래 원은 정확히 역원일 때의 원과 동일하다.

${\displaystyle r_{0}^{2}-a^{2}=1.}$

따라서 원의 역행은 단위의 원과 직각으로 교차하는 경우에만 동일한 원이 된다.

이 항목과 이전 섹션을 요약하고 일반화하려면:

1. 선이나 원의 역은 선이나 원이다.
2. 원래 곡선이 선이면 역곡선이 역행의 중심을 통과한다.원래 곡선이 반전 중심을 통과하면 반전 곡선은 선이 된다.
3. 반전 곡선은 곡선이 직각에서 반전 원과 교차할 때 정확히 원본과 동일할 것이다.

정점에 반전 중심이 있는 포물선

포물선의 방정식은 유사성까지, 정점이 원점에 있도록 번역하고 축이 수평이 되도록 회전하는 것이다, x = y².극좌표에서 이것은

${\displaystyle r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}.}$

그러면 역 곡선은 방정식을 갖는다.

${\displaystyle r={\frac {\sin ^{2}\theta}{\cos \coses \theta}}}}\coses \theta }}}\tan \theta }$

디오클레스의 시스소이드지

역방향 중심이 포커스에 있는 원뿔 단면

원점에 하나의 초점이 있는 원뿔 단면의 극 방정식은 유사성까지이다.

${\displaystyle r={\frac {1}{1+e\cos \theta },}$

여기서 e는 괴벽이다.이 곡선의 역은 다음과 같다.

${\displaystyle r=1+e\cos \theta ,}$

파스칼의 리마손 방정식이지e = 0일 때 이것은 반전 원이다.0 < e < 1>일 때 원래의 곡선은 타원이고 역은 원점에 Acnode가 있는 단순 닫힌 곡선이다.e = 1일 때 원래 곡선은 포물선이고 역은 원점에 정점이 있는 흉부외과다.e > 1일 때 원래의 곡선은 하이퍼볼라이고 역은 원점에 크루노드가 있는 두 개의 루프를 형성한다.

정점에서 반전 중심이 있는 타원 및 하이퍼볼라

타원형 또는 하이퍼볼라의 일반적인 방정식은

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{a^{2}}:pm {\frac{y^{2}}:{b^{2}}=1.}$

원점이 정점 중 하나로 변환하면

${\displaystyle {\frac{(x-a)^{2}}:{a^{2}}:pm {\frac{y^{2}}:{b^{2}}=1}$

그리고 재배열하는 것.

${\displaystyle {\frac{x^{2}}:{2a}\pm {\frac {ay^{2}}:{2b^{2}}=x}$

상수 변경,

${\displaystyle cx^{2}+dy^{2}=x.}$

위의 포물선은 이제 c = 0과 d = 1을 입력하여 이 체계에 적합하다는 점에 유의하십시오.역의 방정식은

${\displaystyle {{\frac{cx^{2}}:{\좌측(x^{2}+y^{2}\우측)^{2}}:00}{{\frac(x^{2}+y^{2}\우측)^{2}}:}={\frac}{x^{x}{2}+y^{2}+y^{2}}}}{{2}}}{{{{우측2}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{우측2}}}}}}}}}}}}}}}}$

또는

${\displaystyle x\left(x^{2}+y^{2}\right)=cx^{2}+dy^{2}.}$

이 방정식은 드 슬루제의 콘코이드라고 불리는 곡선의 한 집단을 설명한다.이 패밀리는 위에 열거한 디오클레스의 시소이드 외에 마클로린(d = -c/3)의 트리섹트릭스(d = -c/3)와 우측 스트로포이드(d = -c)를 포함한다.

반전 중심이 중심에 있는 타원 및 하이퍼볼라

타원형 또는 하이퍼볼라의 방정식 반전

${\displaystyle cx^{2}+dy^{2}=1}$

주다

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=cx^{2}+dy^{2}}}$

히포페데가 바로 그.d = -c가 베르누이의 레미니스케이트다.

임의의 반전 중심이 있는 원추형

위의 도식을 적용하면 원뿔(원 제외)의 역은 반전 중심이 곡선에 있으면 원형 입방체, 그렇지 않으면 2분자 사분위수다.원뿔은 이성적이기 때문에 역곡선도 이성적이다.반대로, 어떤 합리적인 원형 큐빅이나 이성적인 2분자 정사각형은 원뿔의 역이다.사실, 그러한 곡선은 반드시 진짜 특이점을 가지고 있어야 하며, 이 점을 역행의 중심으로 삼으면, 역행 곡선은 정도 공식에 의한 원뿔이 될 것이다.^[1][2]

무알래기 곡선

무알렉시즘 곡선은 그 자체로 반전되는 곡선이다.그 예로는 원, 심근경색, 카시니의 타원형, 스트롭호이드, 마클로린의 트리섹트릭스가 있다.

참고 항목

• 반전 기하학
• 곡선 및 표면 반전(독일어)

참조

• Stubbs, J. W. (1843). "On the application of a new Method to the Geometry of Curves and Curve Surfaces". Philosophical Magazine. Series 3. 23: 338–347.
• Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 43–46, 121. ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. "Inverse Curve". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Anallagmatic Curve". MathWorld.
• 특수 평면 곡선의 시각적 사전에서 "반전"
• Formes Mathématique Rematquables의 "Inverse dune Courbe par Relocity a un Point"

외부 링크

• MacTutor의 유명한 곡선 색인에서 정의.이 사이트에는 또한 지수에 있는 모든 곡선의 역 곡선을 탐색하기 위한 역 곡선과 자바 애플릿의 예가 있다.