비istochastic 행렬

수학에서 비이스트성 매트릭스(unistochastic-stotchastic이라고도 함)는 이중 확률적 매트릭스인데, 이 매트릭스는 일부 단일 매트릭스 항목의 절대값의 제곱이다.

n 크기의 제곱 행렬 B는 모든 항목이 음수가 아닌 실수이고 각 행과 열의 합이 1이면 이중 확률적이다.만약 다음과 같은 단일 행렬 U가 존재한다면 그것은 비istochastic이다.

${\displaystyle B_{ij}=U_{ij} ^{2}{\text{{}}{{}i,j=1,\dots,n.\}$

이 정의는 직교 행렬에 대한 정의와 유사하며, 이는 이중 확률 행렬이며, 일부 직교 행렬의 항목 제곱은 직교 행렬의 정의와 유사하다.모든 직교 행렬은 반드시 단일 행렬이므로 모든 직교 행렬도 비istochastic 행렬이다.그러나 그 반대는 사실이 아니다.첫째, 2x2의 확률적 매트릭스는 모두 비istochastic과 정형화된 것이지만, 더 큰 n의 경우에는 그렇지 않다.예를 들어 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$을(를) 선택하고 다음$$ 이중 확률적 행렬을 고려하십시오.

${\displaystyle B={\frac {1}{1}:{2}}:\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1\\1&0&1\end{bmatrix}.}$

이 행렬은 B의 두 열(또는 행) 항목의 제곱근과 같은 모듈리를 가진 벡터 2개는 적절한 위상 선택에 의해 직교할 수 없기 때문에 비istochastic이 아니다.> ${\textstyle n>2}$의 경우 직교성 매트릭스 집합은 비istochastic 매트릭스 집합의 적절한 하위 집합이다.

• 비이스트성 매트릭스 세트는 모든 순열 매트릭스를 포함하며, 그것의 볼록한 선체는 모든 이중 확률 매트릭스의 버크호프 폴리토프다.
• n ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}${\$displaystyle n\geq 3}$의 경우 이 세트는 볼록하지 않음
• n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ $[\displaystyle n=3}$에 대해 원시 모듈리의 삼각형 불평등 집합은$$ 비이성성에 충분하고 필요한 조건이다.
• n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ $[\displaystyle n=3}$에 대해 비istochastic 매트릭스$$ 집합은 별 모양이며 모든 이istochastic 매트릭스 B는 Jarlskog 불변량^[2](Jarlskog 불변량)의 비음수 값에 의해 암시된다.
• n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$의 경우 이중 확률 매트릭스의 Birkhoff 폴리토프에 관한 비이스트성 매트릭스 집합의 상대적$$ 용적은 8 ${\displaystyle {\pi \mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle 105\mathrm{}\approx }$ ${\displaystyle 75.2}$% ${\displaystyle 8\pi ^{2}/105\$ 약 $75$\이다$.$$2\%}$
• n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n=4}$에 대한 명시적 비이상성 조건은 아직 알려져 있지 않지만 해거업(Haagerup)의 알고리즘을 기반으로 비이상성을 검증하는 수치적 방법이 존재한다.
• The Schur-Horn theorem is equivalent to the following "weak convexity" property of the set ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$ of unistochastic ${\displaystyle n\times n}$ matrices: for any vector ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ the set ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}v$${}$은(는) $벡터{\displaystyle }$ v ${\displaystyle v}($$벡터{\displaystyle }$v {\$displaystyle v}$에 의해 생성된 순열 폴리토프)$$$$의 모든 순열로 얻은 벡터 집합의 볼록한 선체다$$.
• $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times$ n$}$ 비istochastic$$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {{U\mathrm{}}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}{}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$- 1${\displaystyle {{}^{}}^{}}$) 2 ${\${R$}^{R$}{($n-1)^{2}}}}}}$의 내부는 비어$$ 있지 않다.The unistochastic matrix corresponding to the unitary ${\displaystyle n\times n}$ matrix with the entries ${\displaystyle U_{ij}=\delta _{ij}+{\frac {\theta -1}{n}}}$, where ${\displaystyle \theta =1}$ and ${\displaystyle \theta \neq \pm 1}$, is an interior${\displaystyle {Un}_{}}$ ${\$의 지점$.$

참조

• Bengtsson, Ingemar; Ericsson, Åsa; Kuś, Marek; Tadej, Wojciech; Życzkowski, Karol (2005), "Birkhoff's Polytope and Unistochastic Matrices, N = 3 and N = 4", Communications in Mathematical Physics, 259 (2): 307–324, arXiv:math/0402325, Bibcode:2005CMaPh.259..307B, doi:10.1007/s00220-005-1392-8.
• Bengtsson, Ingemar (2004-03-11). "The importance of being unistochastic". arXiv:quant-ph/0403088.
• Karabegov, Alexander (2008-06-14). "A mapping from the unitary to doubly stochastic matrices and symbols on a finite set". arXiv:0806.2357.