서브리만 다양체

Sub-Riemannian manifold

수학에서, 하위 리만 다양체는 리만 다양체의 특정 유형의 일반화이다.대략적으로 말하면, 하위 리만 다지관에서 거리를 측정하기 위해서는 소위 수평 부분 공간에 접하는 곡선만 따라 이동할 수 있습니다.

서브리만 다양체(그리고 포티오리, 리만 다양체)는 카르노-카라테오도리의 측정법이라고 불리는 자연 내적 측정법을 가지고 있다.그러한 메트릭 공간의 하우스도르프 치수는 항상 정수이며 위상 차원보다 크다(실제로 리만 다양체가 아닌 한).

서브리만 다양체는 표면에서의 차량 움직임, 로봇 팔의 움직임, 위성의 궤도 역학 등 고전 역학에서 제약된 시스템의 연구에서 종종 발생한다.베리상과 같은 기하학적 양은 리만 기하학의 언어로 이해될 수 있다.양자역학에서 중요하이젠베르크 그룹은 자연스레 리만 이하의 구조를 가지고 있다.

정의들

M의 분포란 MM의 접선 번들의 서브번들을 의미합니다.

H(M {M)\ T에서 H { H 벡터 를 수평이라고 합니다.M M T 에 대해γT일 경우 수평이라고 .

H( )\ H ( ) 에서의 분포는, 임의의 M ( \ x \ M )에 대해서, A (x), [, (), [의 벡터의 선형 조합으로서 나타낼 수 있는 경우, 완전 불적분이라고 불립니다.( )\ A ( [ , [ , ( ) \ [ , [ C , D ] ]] ( ) \ T _ { ) 。서 모든 A , , , C , C

서브리만 매니폴드는 트리플입니다. M(\M 미분 가능한 매니폴드,(\ H 완전 비적분 "수평" g(\g)는 H(\displaystyle H에서 형식의 매끄러운 섹션입니다.

모든 하위 리만 다양체다음과 같이 정의된 카르노-카라테오도리의 메트릭이라고 불리는 자연 내적 메트릭을 운반한다.

여기서 infimum은 수평 곡선을 :[ , ] {\ : , ] { \ ( 0 )=,y { \ display (1= y 입니다.

평면에서의 차량 위치는 위치를 나타내는 두 개의 x xy와 차량의 방향을 나타내는 α\ 세 가지 파라미터에 의해 결정됩니다.따라서 차량의 위치는 매니폴드의 한 점에 의해 설명될 수 있습니다.

한 위치에서 다른 위치까지 이동하기 위해 운전해야 하는 최소 거리는 얼마인지 물어볼 수 있다.이것은 다지관에 카르노-카라테오도리 측정 기준을 정의합니다.

하위 리만 메트릭의 밀접하게 관련된 예는 하이젠베르크 그룹에 구성할 수 있다.대응하는 Lie 대수의 두 β 취하면 다음과 같이 된다.

전체 대수에 걸쳐 있습니다.α스타일 \β( 스타일 좌측 시프트에 걸쳐 있는 분포H( 스타일H)는 완전히 통합할 수 없습니다.그런 다음 H H에서 매끄러운 양의 2차 형식을 선택하면 그룹에 대한 하위 리만 메트릭이 제공됩니다.

특성.

모든 하위 리만 다양체에 대해, 다양체에 대한 메트릭으로 구성된 하위 리만 해밀턴이라고 불리는 해밀턴이 존재합니다.반대로, 모든 그러한 2차 해밀턴이 하위 리만 다양체를 유도한다.하위 리만 해밀턴 방정식에 대응하는 해밀턴-야코비 방정식의 존재는 초-라셰프스키 정리에 의해 주어진다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  • Bellaïche, André; Risler, Jean-Jacques, eds. (1996), Sub-Riemannian geometry, Progress in Mathematics, vol. 144, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-5476-3, MR 1421821
  • Gromov, Mikhael (1996), "Carnot-Carathéodory spaces seen from within", in Bellaïche, André; Risler., Jean-Jacques (eds.), Sub-Riemannian geometry (PDF), Progr. Math., vol. 144, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 79–323, ISBN 3-7643-5476-3, MR 1421823, archived from the original (PDF) on July 9, 2015
  • Le Donne, Enrico, Lecture notes on sub-Riemannian geometry (PDF)
  • Montgomery, Richard (2002), A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesics and Applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 91, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1391-9