자명제

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수학과 논리학에서, 자명제는 논리적으로 이론들을 도출하기 위해 일부 또는 모든 공리를 함께 사용할 수 있는 공리의 집합이다. 이론은 일반적으로 자명적인 시스템과 그것의 파생된 모든 이론들을 포함하는 일관되고, 상대적으로 자급자족적인 지식의 조직이다. 완전히 서술된 자명제는 특수한 종류의 형식 체계다. 형식 이론은 논리적인 함축에 따라 닫히는 문장 집합을 설명하는 자명적 시스템(일반적으로 모델 이론 내에서 공식화됨)이다.^[1] 형식적인 증명이란 형식적인 시스템 내에서 수학적 증거를 완전히 재구성한 것이다.

특성.

자명제는 모순이 없으면 일관성이 있다고 한다. 즉, 시스템의 공리에서 진술과 그 부정을 모두 도출하는 것은 불가능하다. 모순의 존재는 어떤 진술도 입증될 수 있기 때문에 일관성은 대부분의 자명적인 시스템에 대한 핵심 요건이다(폭발의 원리).

공리 체계에서 공리는 시스템의 다른 공리로부터 증명되거나 반증될 수 없는 경우 독립이라고 한다. 그 기본 공리 각각이 독립적이라면 시스템을 독립적이라 한다. 일관성과 달리 독립성은 시스템 내 공리의 수를 최소화하기 위해 일반적으로 추구되지만 기능하는 공리 시스템을 위해 필요한 요구 사항은 아니다.

모든 진술에 대해 그 자체 또는 그 부정이 시스템의 공리(동일하게, 모든 진술은 진실 또는 거짓으로 증명될 수 있다)에서 파생될 수 있는 경우, 자명 시스템은 완전하다고 불린다.^[2]

상대적 일관성

일관성을 넘어 상대적 일관성도 가치 있는 공리체계의 특징이다. 이것은 첫 번째 공리계의 정의되지 않은 용어들이 두 번째 공리계의 이론들이 되도록 1초부터 정의를 제공하는 시나리오를 설명한다.

실수제 이론에 관한 절대 기하학의 상대적 일관성이 좋은 예다. 선과 점은 절대 기하학에서는 정의되지 않은 용어(원초적 개념이라고도 함)이지만, 실수의 이론에서는 양쪽 공리계와 일치하는 방식으로 의미를 부여한다.^{[citation needed]}

모델

자명체계에 대한 모델은 잘 정의된 집합으로, 시스템에서 정의한 관계와 올바른 방식으로 시스템에 제시된 정의되지 않은 용어에 의미를 부여한다. 구체적인 모델의 존재는 시스템의^{[disputed – discuss]} 일관성을 증명한다. 다른 공리적인 시스템에 바탕을 둔 추상적인 모델과는 반대로, 할당된 의미가 실제 세계의^{[clarification needed]} 사물이나 관계라면 모델을 콘크리트라고 부른다.

모델은 또한 시스템에서 공리의 독립성을 보여주는 데 사용될 수 있다. 특정 공리 없이 서브시스템에 대해 유효한 모델을 구성함으로써, 생략된 공리의 정확성이 서브시스템에서 반드시 따르는 것이 아니라면, 생략된 공리는 독립적이라는 것을 보여준다.

두 가지 모델은 그들의 관계를 보존하는 방식으로 그들의 요소들 사이에서 일대일 대응성이 발견될 수 있다면 이형성이 있다고 한다.^[3] 모든 모형이 다른 모형에 대해 이형성이 있는 자명한 시스템을 범주형(때로는 범주형)이라고 한다. 범주성(범주성)의 속성은 시스템의 완전성을 보장하지만, 그 반대는 사실이 아니다. 두 모델이 시스템의 의미론으로는 표현할 수 없는 특성이 다를 수 있기 때문에 완전성은 시스템의 분류성(범주성)을 보장하지 않는다.

예

예를 들어, 다음과 같은 추가적인 의미 논리에 근거하여 무한히 많은 공리(이러한 공리들은 공리 스키마로 쉽게 공식화될 수 있음)를 계산적으로 추가한 1차 논리에 근거하여 다음과 같은 공리 체계를 관찰한다.

${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle \mathrm{\exists }}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$:${\displaystyle \mathrm{\neg }}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle \exists x_{1$}:\{ x_${2}:\lnot(x_{1}=x_{2})}($공식적으로 두 가지 다른 항목이 있다.$$

${\displaystyle \exists x_{1}:\exists x_{2}:\exists x_{3}:\lnot (x_{1}=x_{2})\land \lnot (x_{1}=x_{3})\land \lnot (x_{2}=x_{3})}$ (informally, there exist three different items).

$(\displaystyle...)}$

비공식적으로, 이 무한대의 공리 집합은 무한히 많은 다른 항목들이 있다고 말한다. 그러나 무한 집합의 개념은 세트와 같은 카디널리티는 말할 것도 없고 시스템 내에서 정의할 수 없다.

이 시스템에는 최소한 두 가지 다른 모델이 있다. 하나는 자연수(다른 무한정 집합에 대한 이형성)이고, 다른 하나는 실수(연속체의 카디널리티를 갖는 다른 집합에 대한 이형성)이다. 사실 무한대의 카디널리티마다 하나씩, 무한대의 모델을 가지고 있다. 그러나 이러한 모델을 구분하는 속성은 카디널리티, 즉 시스템 내에서 정의할 수 없는 속성이다. 그러므로 그 시스템은 분류되지 않는다. 그러나 그것은 완전하다는 것을 보여줄 수 있다.

자명법

사전에 도입된 용어들에 의해 각각의 새로운 용어들이 공식적으로 제거될 수 있는 방식으로 정의와 명제를 진술하는 것은 무한한 퇴행을 피하기 위해 원시적인 개념(axioms)을 필요로 한다. 이런 수학을 하는 방법을 자명법이라고 한다.^[4]

자명한 방법에 대한 일반적인 태도는 논리학이다. 알프레드 노스 화이트헤드와 베르트랑드 러셀은 그들의 책인 프린시비아 매티매틱사에서 모든 수학 이론이 어떤 공리 모음으로 축소될 수 있다는 것을 보여주려고 시도했다. 보다 일반적으로, 특정 공리 모음으로 명제 본체를 축소하는 것은 수학자의 연구 프로그램의 기초가 된다. 이것은 20세기 수학에서 특히 호몰로지 대수학을 중심으로 한 과목에서 매우 두드러졌다.

이론에 사용된 특정한 공리의 탐구는 수학자가 함께 일하고 싶어하는 적절한 수준의 추상화를 명확히 하는데 도움을 줄 수 있다. 예를 들어, 수학자들은 반지가 에미 노에더의 원래 제형과 다른, 서로 조화될 필요가 없다고 선택했다. 수학자들은 펠릭스 하우스도르프가 원래 공식화한 분리 공리가 없는 위상학적 공간을 보다 일반적으로 고려하기로 결정했다.

세트 이론에 적용된 자명한 방법의 결과인 저멜로-프라엔켈 세트 이론은 세트 이론 문제의 "적절한" 공식화를 허용했고, 천진난만한 세트 이론의 역설을 피하는데 도움을 주었다. 그러한 문제 중 하나는 연속 가설이었다. 역사적으로 논란의 여지가 있는 선택 공리가 포함된 제르멜로-프렌켈 집합 이론은 일반적으로 ZFC의 축약어로, 여기서 "C"는 "선택"을 의미한다. 많은 저자들이 ZF를 사용하여 선택의 공리를 배제한 채 제르멜로-Fraenkel 집합 이론의 공리를 참조한다.^[5] 오늘날 ZFC는 자명 집합 이론의 표준 형태로서 수학의 가장 일반적인 기초가 된다.

역사

수학적 방법들은 고대 이집트, 바빌론, 인도, 중국에서 어느 정도 정교하게 발전했는데, 분명 공리적인 방법을 사용하지 않은 것이다.

알렉산드리아의 유클리드(유클리드)는 유클리드 기하학과 수 이론에 대한 현존하는 가장 초기 자명적 제시를 저술했다. 19세기에 비유클리드 기하학, 실제 분석의 기초, 칸토어의 세트 이론, 프레지의 기초에 관한 연구, 힐베르트의 연구 도구로서 자명법을 '새로운' 사용하는 등 많은 자명체계가 개발되었다. 예를 들어, 집단 이론은 그 세기가 끝나갈 무렵에 처음으로 자명적인 기초 위에 올려졌다. 공리가 명확해지면(예를 들어, 역 요소가 요구되어야 함) 해당 연구의 변환 그룹 기원을 참조하지 않고 주제가 자율적으로 진행될 수 있다.

문제들

명제의 모든 일관된 주체가 서술 가능한 공리 모음으로 포착될 수 있는 것은 아니다. 재귀 이론에서, 컴퓨터 프로그램이 언어의 주어진 명제가 정리인지 여부를 인식할 수 있다면 공리의 집합은 재귀라고 불린다. 괴델의 첫 번째 불완전성 정리는 우리에게 재귀적 공리화가 없는 명제의 일정한 주체가 있다는 것을 알려준다. 전형적으로 컴퓨터는 이론 도출에 대한 공리와 논리적 규칙을 인식할 수 있고, 컴퓨터는 증거가 유효한지 여부를 인식할 수 있지만, 증명이나 디포프가 생성될 수 있도록 "기다려"야만 진술에 대한 증거가 존재하는지를 판단할 수 있다. 그 결과 어떤 명제가 정리인지 알 수 없게 되고 자명한 방법이 무너지게 된다. 그러한 명제의 본체의 예로는 자연수의 이론이 있는데, 이는 페아노 공리(아래 설명)에 의해 부분적으로만 공리화된다.

실제로 모든 증거가 공리로 거슬러 올라가는 것은 아니다. 때로는 어떤 공리집단이 어떤 공리집단이 증거에 호소하는지조차 명확하지 않은 경우도 있다. 예를 들어, 숫자-이론적 진술은 산술 언어(즉, 페아노 공리의 언어)에서 표현할 수 있고 위상이나 복잡한 분석에 호소하는 증거가 주어질 수 있다. 오로지 페이노 공리로부터 파생되는 또 다른 증거가 발견될 수 있을지는 당장 분명하지 않을 수도 있다.

조금이라도 더 혹은 덜 임의로 선택된 공리체계는 어떤 수학 이론의 기초가 되지만, 그러한 임의의 공리체계는 반드시 모순에서 자유롭지 않을 것이며, 그렇다고 해도 그 어떤 것에도 빛을 발할 것 같지는 않다. 수학 철학자들은 때때로 수학자들이 공리를 "임의적으로" 선택한다고 주장하지만, 연역논리의 관점으로만 볼 때 자의적으로 보일 수 있지만, 그 외형은 연역논리가 봉사하는 목적에 대한 제한에 기인하는 것일 수 있다.

예: 자연수의 페아노 공리화

자연수 0, 1, 2, 3, 4의 수학적 체계는 1889년 수학자 주세페 페아노가 처음 고안한 자명체계에 바탕을 두고 있다. 그는 단일 단일 함수 기호 S("sucercessor"의 줄임말)의 언어로 공리를 선택했는데, 자연수 집합은 다음과 같다.

• 자연수 0이 있다.
• 모든 자연수 a에는 사가 가리키는 후계자가 있다.
• 후계자가 0인 자연수는 없다.
• 구별되는 자연수는 뚜렷한 후계자를 가지고 있다: 만약 b b가 있다면, 그 다음 사 sb Sb.
• 만약 어떤 재산이 0에 의해 소유되고 또한 그것이 소유하는 모든 자연수의 후계자에 의해 소유된다면, 그것은 모든 자연수("유도 공리")에 의해 소유된다.

공리화

수학에서 공리화는 지식의 본체를 취하여 그 공리를 향해 거꾸로 작용하는 과정이다. 그것은 다수의 원시 용어와 관련된 진술 체계(즉, 공리)의 공식이다. 즉, 이러한 진술에서 일관된 명제를 연역적으로 도출할 수 있기 때문이다. 그 후에, 어떤 명제의 증거는 원칙적으로 이러한 공리로 거슬러 올라갈 수 있어야 한다.

참고 항목

Wikiquote는 다음과 관련된 인용구를 가지고 있다: Axiomatic 시스템

• 로직 시스템 목록
• 공리 스키마
• 형식주의
• 괴델의 불완전성 정리
• 힐버트식 공제 제도
• 논리주의
• 제르멜로-프란켈 집합 이론은 집합 이론에 대한 자명한 체계로서 오늘날 가장 보편적인 수학의 기초가 된다.

참조

추가 읽기

• "Axiomatic method", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein, Axomatic System, From MathWorld—A Wolfram Web Resource. 수학 세계.wolfram.com & Answers.com