C-세미그룹0

수학에서, 강하게 연속되는₀ 1-모수-모수-세미그룹으로도 알려진 C-세미그룹은 지수함수의 일반화다.지수함수가 스칼라 선형 상수 계수 보통 미분 방정식의 해답을 제공하는 것처럼, 강력 연속적인 세미그룹은 바나흐 공간에서 선형 상수 계수 보통 미분 방정식의 해답을 제공한다.바나흐 공간의 그러한 미분 방정식은 예를 들어 지연 미분 방정식과 부분 미분 방정식에서 발생한다.

형식적으로, 강하게 연속되는 세미그룹이란 강력한 운용자 토폴로지에서 연속되는 일부 Banach 공간 X에 있는 세미그룹(R₊,+)을 나타낸 것이다.따라서 엄밀히 말하면, 강하게 지속되는 세미그룹은 세미그룹이 아니라 매우 특정한 세미그룹을 지속적으로 나타내는 것이다.

형식 정의

Banach 공간 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 에 있는 $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ 한 연속 세미 그룹은 지도 $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ : R $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ + $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ → $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ ( X $T:\mathbb {R} _{+}\to L(X)$ ) $T:\mathb {R} _{+}\to L(X)$ 이다 $X$ $T:{\mathbb {R}}_{+}\to L(X)$ .

${\displaystyle$ $I}$ , ( $X$ $X$ 의 ID 연산자 $X$ )
$\forall t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T$
$\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ : $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ T $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ ( t $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ ) $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ → $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ { → 0 $\forall x_{0}\in X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\to 0$ 【\ $displaystyle \forall x_{0}\in X:\ T(t)x_{0}-x_{0}\to$ 0 $\to$ 0}, t $}$ $t\downarrow 0$ ${\displaystystyty t\downarrow$

처음 두 공리는 대수학이며, $T$ ${\displaystyle$ T $}$ 이(가 $T$ ${(\mathbb {R} _{+},+)}$ 세미그룹 ${(\mathbb {R} _{+},+)}$ + ${(\mathbb {R} _{+},+)}$ , ${(\mathbb {R} _{+},+)}$ + ) ${(\mathbb {R} _{+},+)}$ {\ $displaystyle {(\mathb {R} _{+}+})}}}}$ 의 표현이며 ${(\mathbb {R} _{+},+)}$ 마지막 공리는 위상학이며, $지도$ T{\ $displaystystytyty T}$ 이 $T$ 강력한 연산자 위상에서 연속이라고 명시한다.

최소 생성기

강력 연속 세미그룹 T의 최소 생성기 A는 다음과 같이 정의된다.

A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {1}{1}\,(T(t)-I)\,x

한도가 존재할 때마다A, D(A)의 영역은 이 한계가 존재하는 x∈X의 집합이며, D(A)는 선형 서브공간이고 A는 이 도메인에서 선형이다.^[1]연산자 A는 반드시 경계는 아니지만 폐쇄되어 있으며, 도메인은 X로 밀도가 높다.^[2]

발전기 A가 있는 강하게 연속되는 세미그룹 T는 종종 기호 $e^{At}$ A $e^{At}$ ${\$ e $^{At}($ 또는 동등하게 $\exp(At)$ $\exp(At)$ ( $\exp(At)$ $){\displaysty \exp(At)})$ 로 표시된다. $\exp(At)$ 이 표기법은 매트릭스 지수 및 기능 미적분학을 통해 정의된 연산자의 함수(예: 스펙트럼 정리를 통해)에 대한 표기법과 호환된다.

균일연속세미그룹

균일하게 연속되는 세미그룹은 다음과 같은 강력한 연속적인 세미그룹 T이다.

\lim_{t\to 0^{+}\T(t)-I\ =0

이 경우 T의 최소 발전기 A가 경계로 되어 있고 우리는

{\mathcal{D}(A)=X

그리고

T(t)=e^{At}=\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac{A^{k}}{k!}}}}{k}.

반대로, 모든 경계 연산자는

A\colon X\to X} 표시

균일하게 연속되는 semigroup의 최소 생성기는 다음과 같다.

{\

=e^{At}}}

.

따라서 선형 연산자 A는 A가 경계 선형 연산자인 경우에만 균일하게 연속되는 세미그룹에 대한 최소 생성기다.^[3]X가 유한차원 Banach 공간이라면, 강하게 연속되는 어떤 세미그룹도 균일하게 연속적인 세미그룹이다.균일하게 연속되는 세미그룹을 제외한 강력 연속적인 세미그룹에 대해서는 최소 생성기 A가 경계되지 않는다.이 경우 $e^{At}$ $e^{At}$ $e^{At}$ ${\$ 는 수렴할 필요가 없다 $e^{At}$ .

추상적 카우치 문제

추상적인 Cauchy 문제를 고려하십시오.

u'(t)=Au(t),~~u(0)=x,

여기서 A는 Banach 공간 X와 x∈X에서 닫힌 연산자다.이 문제의 해결에는 두 가지 개념이 있다.

연속적으로 다른 함수 u:[0,198]→X는 모든 t > 0에 대해 u(t) d D(A)를 만족하고 초기값 문제를 만족하는 경우 Cauchy 문제의 고전적 해결책이라고 불린다.
연속함수 u:[0,198] → X는 다음과 같은 경우에 코우치 문제의 순한 해결책이라고 불린다.

{\dsstyle \int_{0}^{t}u\,ds\in D(A){\text{ 및 }A\int_{0}^{t}u\,ds=u(t)-x.}

어떤 고전적인 해결책도 순한 해결책이다.가벼운 해결책은 그것이 지속적으로 다를 경우에만 고전적인 해결책이다.^[4]

다음의 정리는 추상적인 카우치 문제와 강하게 연속적인 세미그룹을 연결한다.

정리^[5] 렛 A는 바나흐 공간 X의 폐쇄 연산자가 된다.다음과 같은 주장은 동일하다.

모든 xx에 대해 추상적인 코치 문제에 대한 독특한 순한 해결책이 존재한다.
연산자 A는 강하게 연속되는 sem그룹을 생성한다.
A의 분해능 집합은 비어 있지 않으며, 모든 x d D(A)에 대해 Cauchy 문제의 고유한 고전적 해결책이 존재한다.

이러한 주장이 유지될 때, Cauchy 문제의 해결책은 A에 의해 생성되는 강하게 연속적인 sem그룹을 T와 함께 u(t) = T(t)x에 의해 주어진다.

세대 정리

Cauchy 문제와 관련하여, 일반적으로 선형 연산자 A가 주어지는데 문제는 이것이 강하게 연속되는 semigroup의 발생기인가 하는 것이다.이 문제에 답하는 이론들을 세대 이론이라고 부른다.강하게 연속적인 세미그룹을 생성하는 사업자의 완전한 특성화는 힐-요시다 정리에 의해 주어진다.그러나 보다 실제적인 중요성은 루머-필립스 정리에 의해 주어진 조건을 검증하기가 훨씬 더 쉽다.

세미그룹의 특수계급

균일 연속 세미그룹

강하게 연속되는 세미그룹 T는 맵 t → T(t)가 [0, ))에서 L(X)까지 연속되는 경우 균일하게 연속적인 세미그룹 T라고 한다.

균일하게 연속되는 세미그룹의 생성자는 경계 연산자다.

분석적 sem그룹

수축 세미그룹

차별화 가능한 세미그룹

강하게 연속되는 세미그룹 T는 $T (t 0) X \subset D (A)$ ( $동등$ 하게₀: $T$ $($ $t)$ $X 0$ ⊂ $D (A)$ 모든 $t$ > $0$ 에 대해 T $(t) X$ ⊂ $D (A)$ 와 T( $t$ $)$ 가 즉시 다를 수 $있는$ $t$ > 0이 존재한다면 결국 구별할 수 있다고 불린다.

모든 분석적 semgroup은 즉시 다를 수 있다.

Cauchy 문제에 대한 동등한 특성화는 다음과 같다:A에 의해 생성되는 강력 연속적인 세미그룹은 모든 x $for$ X에 대해 추상적인 Cauchy 문제의 해결책 $u$ 가₁(t $,$ ∞)에서 서로 다른 ( $t 1$ , exists)과 같은 t ≥ $0$ 이 존재하는 경우에만 결국 달라질 수 있다.만약 t가₁ 0으로 선택될 수 있다면 세미그룹은 즉시 달라질 수 있다.

콤팩트 세미그룹

강하게 연속되는 세미그룹 T는 T(t₀)가 콤팩트한 연산자(T(t)가 모든 t(t₀)에 대해 콤팩트한 연산자라면 동등하게^[6])인₀ t > 0이 존재한다면 결국 콤팩트(compactive)라고 불린다.T(t)가 모든 t > 0에 대한 콤팩트 연산자일 경우 세미그룹을 즉시 콤팩트라고 부른다.

Norm 연속 세미그룹

강하게 연속되는 세미그룹을 지도 t → T(t)가 (t₀, ∞)에서 L(X)까지 연속적으로 존재하는₀ t exists 0이 존재하면 결국 norm continuous라고 부른다.만약₀ t가 0이 되도록 선택할 수 있다면 sem그룹을 즉시 norm continuous라고 부른다.

즉시 정규 연속 세미그룹의 경우 지도 t → T(t)는 t = 0으로 연속되지 않을 수 있다(이 경우 세미그룹이 균일하게 연속된다).

분석적인 세미그룹, (결국) 서로 다른 세미그룹 및 (결국) 컴팩트 세미그룹들은 모두 결국 표준 연속이다.^[7]

안정성

지수안정성

Sem그룹 T의 성장 바운드는 상수다.

\omega_{0}=\inf _{t}{\frac {1}{t}\log \ T(t)\ .

이 숫자는 또한 모든 실수 Ω의 최소값이기 때문에 다음과 같은 값을 가진 상수 M(≥ 1)이 존재한다.

\displaystyle \T(t)\\leq Me^{\omega t}}

모든 t ≥ 0에 대하여.

다음은 이에 해당한다.^[8]

모든 t ≥ 0에 $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ M, $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ >0이 존재하며, ‖ T ( t $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ ) $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ - $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ t $\|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},$ , ${\displaystyle$ \ $T(t)\ \leq$ M ${\rm{e}^{-\omega$ t $},}}}$
성장 바운드는 음수: Ω₀ < 0,
semigroup은 균일 연산자 토폴로지에서 0으로 수렴된다: $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$ t $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$ → $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$ $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$ ( t ) $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$ = $\lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0$ {\ $displaystyle \lim \{t\$ t\ $to \infty }\ T(t)\ =0$
$\|T(t_{0})\|<1$ T ( $\|T(t_{0})\|<1$ $\|T(t_{0})\|<1$ ) $\|T(t_{0})\|<1$ < $\|T(t_{0})\|<1$ ${\displaystyle$ \ $T(t_{0})\{1}$ 과 같은 t₀ > 0이 존재한다 $\|T(t_{0})\|<1$
T₁(t)의₁ 스펙트럼 반경이 1보다 엄격히 작은 t > 0이 존재한다.
모든 x∈X에 대해 p ∈[ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ , ∞]가 존재하는데, $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ p ∈[1, ∞]은 $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ such 0 $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ \ ( $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ ) x $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ ‖ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ < $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$ ${\displaystyle \int \{0}^{0}^}\\t(t)x\ ^{p}\,t<\inft$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty$
모든 p ∈[1, ∞] 및 모든 x ∈ X: $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ ∞ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ ‖ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ ( $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ ) x $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ < $\int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .$ ${\displaystyle \int \{0}^{$ 0}^{\ $inft }\ T(t)x\ ^{p}\,t<\inft.}.}}.$

이러한 등가 조건을 만족하는 세미그룹을 기하급수적으로 안정적이거나 한결같이 안정적이라고 한다(위 문장의 처음 3개 중 어느 것도 문헌의 특정 부분에 있어서 정의로 받아들여진다).L^p 조건이 지수 안정성과 동등하다는 것을 Datko-Pazy 정리라고 한다.

경우 X는 힐베르트 공간이 지수 안정에 발전기의 용해력이 있는 연산자의 조건에 해당합니다 다른 질환:[9]모두 긍정적 실제적인 부분과 λ이 분해하는 연산자 한결같이 우측 절반 비행기에 의해의 용해하는 집합, 즉(λI −)−1은 하디 공간 H∞에 속하(에 속하는 것입니다. c $H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))$ ; $H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))$ ( $H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))$ ) ${\displaystyle$ H $^{\nft }(\mathb {C} _{+};L(X$ 이것을 기어하트-프러스 정리라고 한다.

연산자 A의 스펙트럼 경계는 상수다.

{\displaystyle

=\supp\{\rm {Re}\,\lambda :\lambda \in \sigma(A

A의 스펙트럼이 비어 있는 경우 s(A) = -complete라는 규약과 함께.

세미그룹의 성장 경계와 그 발전기의 스펙트럼 경계는 ^[10]다음과 같다:s(A)tΩ₀(T).s^[11](A) < Ω₀(T)을 예로 들 수 있다.s(A) = Ω₀(T)이면 T는 스펙트럼 결정 성장 조건을 만족한다고 한다.결국 정규-연속적인 세미그룹은 스펙트럼 결정 성장 조건을 만족한다.^[12]이는 이들 세미그룹에 대해 지수 안정성에 대한 또 다른 동등한 특성을 제공한다.

결국 정규-연속적인 세미그룹은 s(A) < 0일 경우에만 기하급수적으로 안정적이다.

궁극적으로 소형화, 종국에는 차별화, 분석 및 균일하게 연속되는 세미그룹은 결국 규범 연속적이어서 스펙트럼 결정 성장 조건이 특히 그러한 세미그룹에 유지된다는 점에 유의한다.

강한 안정성

모든 x sem X: im t → ∈ $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$ ( $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$ ) x $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$ $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$ \to $\infty }\ T(t)x\$ = $0}$ 에 대해 강하게 연속적인 sem그룹 T는 강하게 안정적이거나 점증적으로 안정적이라고 불린다 $\lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0$

지수적 안정성은 강한 안정성을 내포하고 있지만, X가 무한 차원이라면(X 유한 차원에서는 참이다) 일반적으로 그 반대는 사실이 아니다.

강한 안정을 위한 다음과 같은 충분한 조건을 아렌트-배티-류비히-퐁 정리라고 한다.^[13]^[14]라고 가정하다.

T 경계: $\|T(t)\|\leq M$ ≥ $\|T(t)\|\leq M$ ( $\|T(t)\|\leq M$ t $\|T(t)\|\leq M$ ) $\|T(t)\|\leq M$ $\|T(t)\|\leq M$ ${\displaystyle$ \ $T(t)\ \leq M}$ 과 같은 M ≥ 1이 존재한다 $\|T(t)\|\leq M$
A에는 가상 축에 잔류 스펙트럼이 없다.
상상의 축에 위치한 A의 스펙트럼은 셀 수 있다.

그러면 T는 강하게 안정되어 있다.

X가 반사적이라면 조건이 단순화된다. T가 경계되고, A가 상상의 축에 있는 고유값이 없고, 상상의 축에 위치한 A의 스펙트럼을 계산할 수 있다면, T는 강하게 안정적이다.

참고 항목

메모들

^ 이별통(2004) 페이지 23
^ 이별통(2004) 페이지 24
^ Pazy, A. (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag, p. 2, ISBN 0-387-90845-5
^ 아렌트 외발의안 3.1.2
^ 아렌트 외정리 3.1.12
^ 엥겔과 나겔 레마 II.4.22
^ 엥겔과 나겔(다이아그램 II.4.26)
^ 엥겔과 나겔 섹션 V.1.b
^ 엥겔과 나겔 정리 V.11
^ 엥겔과 나겔 제안 IV2.2
^ 엥겔과 나겔 섹션 IV.2.7, 루오 외예 3.6
^ 엥겔과 나겔 코롤라리 4.3.11
^ Arendt, Wolfgang; Batty, Charles (1988), "Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (2): 837–852, doi:10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3
^ Lyubich, Yu; Phong, Vu Quoc (1988), "Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces", Studia Mathematica, 88 (1): 37–42, doi:10.4064/sm-88-1-37-42

참조

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R F 커튼, H J Zwart:무한 차원 선형 시스템 이론의 도입.스프링거 버랙, 1995년
E.B. 데이비스:1-모수 세미그룹(L.M.S. monographs), Academic Press, 1980, ISBN 0-12-206280-9.
Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), One-parameter semigroups for linear evolution equations, Springer
Arendt, Wolfgang; Batty, Charles; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2001), Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhauser
Staffans, Olof (2005), Well-posed linear systems, Cambridge University Press
Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications, Springer
Partington, Jonathan R. (2004), Linear operators and linear systems, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2

[1] 이별통(2004) 페이지 23

[2] 이별통(2004) 페이지 24

[3] Pazy, A. (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag, p. 2, ISBN 0-387-90845-5

[4] 아렌트 외발의안 3.1.2

[5] 아렌트 외정리 3.1.12

[6] 엥겔과 나겔 레마 II.4.22

[7] 엥겔과 나겔(다이아그램 II.4.26)

[8] 엥겔과 나겔 섹션 V.1.b

[9] 엥겔과 나겔 정리 V.11

[10] 엥겔과 나겔 제안 IV2.2

[11] 엥겔과 나겔 섹션 IV.2.7, 루오 외예 3.6

[12] 엥겔과 나겔 코롤라리 4.3.11

[Arendt_and_Batty-13] Arendt, Wolfgang; Batty, Charles (1988), "Tauberian theorems and stability of one-parameter semigroups", Transactions of the American Mathematical Society, 306 (2): 837–852, doi:10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3

[Lyubich_and_Phong-14] Lyubich, Yu; Phong, Vu Quoc (1988), "Asymptotic stability of linear differential equations in Banach spaces", Studia Mathematica, 88 (1): 37–42, doi:10.4064/sm-88-1-37-42

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