그린의 관계

수학에서 그린의 관계는 세미그룹의 요소들을 그들이 만들어 내는 주요 이상적 측면에서 특징짓는 다섯 가지 등가관계다.이 관계들은 1951년 신문에 소개된 제임스 알렉산더 그린의 이름을 따서 명명되었다.저명한 세미그룹 이론가인 John Mcintosh Howie는 이 작품에 대해 "새로운 세미그룹을 접하는 것에 대해 거의 모든 것을 강조하는데, 거의 첫 번째 질문은 '녹색 관계는 어떤가?'이다."라고 말했다. (Howie 2002)그 관계는 세미그룹에서 불능의 성격을 이해하는 데 유용하다; 그것들은 그룹에도 유효하지만, 이 경우에는 우리에게 아무 쓸모없는 것을 말해주지 않는다. 왜냐하면 그룹은 항상 불능을 가지고 있기 때문이다.

Sem그룹 S와 직접 협력하는 대신에, 단조로운 S에¹ 대해 그린의 관계를 정의하는 것이 편리하다(S는¹ "필요하다면 신분과 결합한 S"이며, 만약 S가 이미 단조로운 것이 아니라면, 새로운 요소가 결합되어 정체성으로 정의된다).이것은 일부 세미그룹 요소에 의해 생성된 주요 이상이 실제로 그 요소를 포함하고 있음을 보장한다.S의 요소 a에 대해 관련 이상은 다음과 같다.

• 주계약자는 ${\displaystyle {}^{}}$에 의해 생성되는 이상적인 상태를 남겼다: S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ a${\displaystyle }$=${\displaystyle }${${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$∈ s ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ S$^{1}a=\{sa\mid s\in$ S$^{1$}\in S^{1$\}\backslash \}.$이것은${\displaystyle }${${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup }$ {} $displaystyle \{sa\mid$ s$\}\in$ S$\}\cup \{a$ S ${\displaystyle a}${\$displaysty Sa\cup \cup \}$과 같다$.$
• $a$에 의해 생성되는 주요 권리 이상적: ${\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$= { ${\displaystyle ss}$ s${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ S 1${\displaystyle {}^{}}$}$${\$displaystyle a^{1}=\{as\mid$s\$in$S^{1$\}\backslash \}\},$ ${\displaystyle \mathrm{또는}}$ ${\displaystyle \mathrm{동등}}$하게 S${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle aS\cup$ \cup \{$a$
• a에 의해 생성된 주요 양면 이상적: S $1{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {a\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{1}aS^{1},$또는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$ ∪ S ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \{\}}$ a ${\displaystyle SaaS\cup As\cup Sa\$cup\$cup$\cup$\{a$

L, R, J 관계

S의 요소 a와 b에 대해 그린의 관계 L, R, J는 다음과 같이 정의된다.

• a¹ S a = S b인 경우에만¹ L b.
• a¹ S = B S인¹ 경우에만 R b.
• a¹ S a S¹ = S b¹ S인¹ 경우에만 J b.

즉, a와 b는 동일한 왼쪽 이상을 생성하는 경우 L 관련이고, 동일한 오른쪽 이상을 생성하는 경우 R 관련이며, 동일한 양면 이상을 생성하는 경우 J 관련이다.이들은 S에 대한 동등성 관계이므로 각각 S의 분할을 동등성 등급으로 산출한다.a의 L-클래스는 L_a(그리고 다른 관계와 유사하게)로 표시된다.L-클래스와 R-클래스는 S의¹ 왼쪽과 오른쪽 Cayley 그래프의 강하게 연결된 구성요소로 동등하게 이해할 수 있다.^[1]또한 L, R, J 관계는 세 가지 사전 주문서 ≤,_{L R}≤_J을 정의하는데, 여기서 a에 의해 생성된 이상이 b에 포함되는 경우, 즉 s의 a와 b의 두 요소에 대해 ≤_J b를 보유한다. 즉, S¹ a S¹ ⊆ S b¹¹ S, ≤_L과 ≤_R이 유사하게 정의된다.^[2]

그린은 이러한 관계에$$ 소문자 블랙글자 $l{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ $r{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$displaystyle$${r},$ f$$ ${\mathfak {f}$을(를) 사용했으며, L B(R과 J와 마찬가지로)에 대해서는${\displaystyle }for{\displaystyle }$ $({\mathfak {l})$를 썼다.오늘날 수학자들은 $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과 같은 스크립트 문자를 대신 사용하는$$ 경향이 있으며, 그린의 모듈식 산술 스타일 표기법을 여기서 사용하는 인픽스 스타일로 대체한다.보통 글자는 등가 등급에 사용된다.

L과 R의 관계는 서로에 대해 좌우가중으로 이중으로 되어있다; 어떤 것에 관한 이론들은 다른 것에 대한 유사한 진술로 번역될 수 있다.예를 들어, L은 오른쪽 호환이 된다: 만약 L b와 c가 S의 다른 요소라면, AC L bc.Dally R은 좌측 호환이 가능하다: 만약 R b, 그리고 CA R cb.

만약 S가 역순이라면 L, R, J가 일치한다.

H와 D의 관계

나머지 관계는 L과 R에서 파생된다.교차점은 H:

a L b와 R b일 경우에만 H b.

이것은 또한 S에 대한 동등성 관계다.H등급은_a L과_a R의_a 교차점이다.보다 일반적으로 어떤 L클래스와 어떤 R클래스와의 교차점은 H클래스나 빈 세트다.

Green's Theorem states that for any ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-class H of a semigroup S either (i) ${\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset }$ or (ii) ${\displaystyle H^{2}=H}$ and H is a subgroup of S.중요한 관점은 e가 공증분인 동등성 등급 H가_e S의 부분군(정체성은 e이고 모든 원소는 inverses를 가지고 있음)이며, 실제로 e를 포함하는 S의 가장 큰 부분군이라는 것이다.No $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -class는$$ 둘 이상의 IDempotent를 포함할 수 없으므로, $H{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) IDempotent 분리되어 있다$$.모노이드 M에서는 전통적으로₁ H등급의 단위를 단위집단이라고 부른다.^[3](이러한 맥락에서 단위가 정체성을 의미하지 않도록 주의하십시오. 즉, 일반적으로₁ H에는 비 정체성 요소가 있다."단위" 용어는 링 이론에서 유래한다.)예를 들어, n개의 원소 T에_n 있는 변환 모노이드에서 단위 그룹은 대칭 그룹_n S이다.

Finally, D is defined: a D b if and only if there exists a c in S such that a L c and c R b. In the language of lattices, D is the join of L and R. (The join for equivalence relations is normally more difficult to define, but is simplified in this case by the fact that a L c and c R b for some c if and only if a R d and d L b for some d.)

D는 L과 R을 모두 포함하는 가장 작은 등가 관계이므로, D b는 J b를 의미하므로 J는 D를 포함한다는 것을 알 수 있다.유한한 세미그룹에서 D와 J는 이성적인 모노이드에서도 동일하다.^{[4][5][clarification needed]}게다가 그들은 또한 어떤 에피그룹에서도 일치한다.^[6]

또한 위의 정의에서 직접 도출한 동등성 등급의 관점에서 D의 공식화가 있다.^[7]

a R과_a L의_b 교차점이 비어 있지 않은 경우에만 D b.

결과적으로, 세미그룹의 D클래스는 L클래스, R클래스 또는 H클래스 연합으로 볼 수 있다.클리포드와 프레스턴(1961)은 이 상황을 "계란 상자"^[8]의 관점에서 생각할 것을 제안한다.

달걀의 각 행은 R-클래스를 나타내고, 각 열은 L-클래스를 나타낸다. 달걀 자체는 H-클래스다.한 집단의 경우, 그린의 5가지 관계가 모두 일치하기 때문에 하나의 알만 있을 뿐이며, 모든 집단 요소를 동등하게 만들기 때문이다.예를 들어, 자전거 세미그룹에서 발견되는 반대의 경우는 각 요소가 자체 H급에 있는 경우다.이 세미그룹을 위한 에그박스는 무한히 많은 달걀을 포함하고 있지만, D클래스가 한 개뿐이기 때문에 모든 달걀은 같은 상자에 들어 있다.(모든 요소가 D와 관련된 세미그룹을 bisimple이라고 한다.)

D클래스 내에서 모든 H클래스가 같은 크기임을 알 수 있다.예를 들어, 변환 세미그룹₄ T에는 4개의 D-class가 포함되며, 그 안에 H-class에는 각각 1, 2, 6 및 24개의 요소가 있다.

최근 세미그룹 조합의 발전은 특정한 속성을 가진 세미그룹을 열거하는데 도움을 주기 위해 그린의 관계를 이용했다.전형적인 결과(사토, 야마, 토키자와 1994)는 순서 8의 비등분 세미그룹이 정확히 1,843,120,128개라는 것을 보여주는데, 221,805개는 일치한다. 이들의 작업은 가능한 D등급에 대한 체계적인 탐사에 바탕을 두고 있다.(대조적으로 순서 8의 그룹은 5개 그룹뿐입니다.)

예

전체 변환 세미그룹 T는₃ 세트 {1, 2, 3}부터 자체까지의 모든 기능으로 구성되며, 이 중 27개가 있다.1을 a로, 2를 b로, 3을 c로 보내는 함수에 (a b c)를 쓴다.T에는₃ (1 2 3)라는 ID 맵이 포함되어 있으므로, ID를 붙일 필요가 없다.

T의₃ 에그박스 다이어그램에는 D클래스가 3개 있다.유한한 세미그룹에 대해서도 이러한 관계가 일치하기 때문에 그들은 또한 J급이다.

(1 1 1) (2 2 2) (3 3 3)
	(1 2 2), (2 1 1) (1 3 3), (3 1 1) (2 3 3), (3 2 2) (2 1 2), (1 2 1) (3 1 3), (1 3 1) (3 2 3), (2 3 2) (2 2 1), (1 1 2) (3 3 1), (1 1 3) (3 3 2), (2 2 3)
		(1 2 3), (2 3 1), (3 1 2), (1 3 2), (3 2 1), (2 1 3)

T에서₃ 두 기능은 동일한 이미지를 가진 경우에만 L과 관련이 있다.그러한 함수는 위의 표의 같은 열에 나타난다.마찬가지로 f와 g 함수는 다음과 같은 경우에만 R과 관련이 있다.

f(x) = f(y) ⇔ g(x) = g(y)

{1, 2, 3}의 x 및 y에 대해, 이러한 함수는 동일한 테이블 행에 있다.따라서 두 함수는 영상 크기가 동일한 경우에만 D와 관련이 있다.

볼드체로 된 원소는 특이점이다.이 중 하나를 포함하는 H 등급은 (최대) 부분군이다.특히 세 번째 D등급은 대칭군 S에₃ 대해 이형성이다.또한 순서 2의 6개 부분군과 순서 1의 3개 부분군(이 부분군의 부분군뿐만 아니라)이 있다.T의₃ 6개 원소는 어떤 부분군에도 없다.

일반화

대수 이론을 일반화하는 데는 본질적으로 두 가지 방법이 있다.하나는 그것의 정의를 바꿔서 그것이 더 많거나 다른 사물을 덮도록 하는 것이고, 다른 하나는, 더 미묘한 방법은 이론의 바람직한 결과를 찾고 그 결론에 도달하는 대안적인 방법을 고려하는 것이다.

첫 번째 루트에 이어, 세미링(Greillet 1970)과 링(Petro 2002)에 대해 그린의 관계와 유사한 버전이 정의되었다.세미그룹에서의 관계와 관련된 일부, 전부는 아니지만, 이들 사례로 넘어간다.세미그룹 세계에 머무르면서 그린의 관계는 하위그룹에 관한 이상일 뿐인 상대적 이상을 다루기 위해 확장될 수 있다(Wallace 1963).

두 번째 종류의 일반화를 위해 연구자들은 L-클래스와 R-클래스 사이의 반대 특성에 집중했다.x R y일 경우, R 등급 보존형인_x L과_y L 사이의 차이를 항상 찾을 수 있다. (즉, L 등급의 두 요소가 동일한 R 등급에 있으면, 바이어싱된 그들의 이미지는 여전히 동일한 R 등급에 있을 것이다.)x L y에 대한 이중 문장은 또한 유효하다.이러한 반대는 적절한 동등성 등급으로 제한되는 오른쪽 및 왼쪽 번역이다.여기서 발생하는 질문은, 어떻게 하면 그러한 반대가 있을 수 있는가 하는 것이다.

λ과 ρ이 일부 semigroup S의 부분 변환의 sem그룹이라고 가정하자.특정 조건에서 x ρ = y ρ, x ρ₁ = y ρ, y ρ₂ = x를 가진 경우, 그 제한은 다음과 같이 나타날 수 있다.

ρ₁ : x x → λ y

ρ₂ : λ y → λ x

상호 역비판이다. (의견적으로 λ은 오른쪽, ρ은 왼쪽)그러면 L과 R 관계는 다음과 같이 정의될 수 있다.

x L y λ x = λ y인 경우에만

x y = y ρ인 경우에만 x R y

그리고 D와 H는 평소처럼 따라다닌다.J의 일반화는 원하는 속성에서 아무런 역할을 하지 않기 때문에 이 시스템의 일부가 아니다.

우리는 (λ, ρ)을 그린의 짝이라고 부른다.원래의 관계를 산출하는 부분 변환 세미그룹에는 몇 가지 선택이 있다.한 예로 ,을 S에¹ 있는 모든 왼쪽 번역의 semgroup으로 하고 S에 제한된 오른쪽 번역의 semgroup으로 하고 take을 제한된 오른쪽 번역의 해당 semgroup을 들 수 있다.

이러한 정의는 클라크와 카루트(1980년)에 기인한다.그들은 1970년대 중반에 제안된 다양한 다른 일반화된 정의뿐만 아니라 월리스의 연구 결과를 요약한다.전체 공리는 진술하기에 상당히 길다. 비공식적으로, 가장 중요한 요건은 Ⅱ와 Ⅱ 둘 다 신분 변환을 포함해야 하며 Ⅱ의 요소는 Ⅱ의 요소와 함께 통근해야 한다는 것이다.

참고 항목

• 슈첸베르거 그룹

참조

• C. E. Clark와 J. H. Carruth(1980) Green의 이론, Sem그룹 포럼 20(2); 95–127.
• A. H. 클리퍼드와 G. B. 프레스턴(1961) 셈그룹의 대수학 이론 제1권 제1권 (1967) 제2권 미국수학학회 그린의 관계를 제1권 제2장에 소개한다.
• J. A. Green (1951년 7월) "세미그룹 구조에 대하여," 수학 연보 (제2 시리즈) 54(1) : 163–172.
• Grillet, Mireille P. (1970). "Green's relations in a semiring". Port. Math. 29: 181–195. Zbl 0227.16029.
• John M. Howie (1976) Sem그룹 이론의 소개, Academic Press ISBN 0-12-356950-8.업데이트된 버전은 1995년 옥스포드 대학 출판부의 Semigroup 이론의 Funderstance of Semigroups 이론으로 이용할 수 있다.ISBN 0-19-851194-9
• John M. Howie(2002) "Semigroups, 과거, 현재 그리고 미래", 태국 Chularolonkorn University, 국제 대수학 회의 및 응용에 관한 절차
• Lawson, Mark V. (2004). Finite automata. Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-255-7. Zbl 1086.68074.
• 페트라크 페트로(2002) 그린의 관계와 링에서의 최소 준 이상, Communications in Algebra 30(10): 4677–4686.
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