바이오더드 세트

이 글의 어조나 문체는 위키백과에서 사용되는 백과사전적 어조를 반영하지 못할 수도 있다. 제안사항은 위키피디아의 더 나은 기사 작성 안내서를 참조하십시오.(2012년 11월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

생물순서 집합("boset")은 세미그룹에 있는 아이디엠포텐트 집합의 구조에 대한 설명에서 발생하는 수학적 객체다.개념과 용어는 1970년대 초 K S S 남보리패드에 의해 개발되었다.^[1][2][3]생물 순서의 정의 속성은 집합에 정의된 두 개의 준순서와 그에 따라 생물 순서의 이름으로 표현된다.패트릭 조던은 시드니 대학에서 석사학위를 받은 학생으로, 2002년에 보셋이라는 용어를 바이오더드 세트의 약어로 소개했다.^[4]

Mohan S에 따르면.Putcha, "바이오더된 세트를 정의하는 공리는 상당히 복잡하다.하지만 세미그룹의 일반적인 성격을 고려하면 이런 유한한 공리화가 가능하다는 것 자체가 오히려 놀랍다고 말했다.^[5]남보리패드가 설정한 바이오더링의 원래 정의가 간행된 이후, 그 정의의 몇 가지 변형이 제안되었다.David Easdown은 정의를 단순화하고 공리를 그가 발명한 특별한 화살표 표기법으로 공식화했다.^[6]

세미그룹에 있는 IDempotents 집합은 바이오오더된 집합이고, 모든 Semigroups의 IDempotent 집합이다.^[3][7]규칙적인 바이오주문 집합은 부가적인 속성을 가진 바이오주문 집합이다.일반 세미그룹에 있는 IDempotents 집합은 정규 바이오주문 집합이며, 모든 정규 세트는 일부 정규 세미그룹의 IDempotent 집합이다.^[3]

정의

남보리패드가^[3] 제시한 바이오세트의 형식적 정의는 어느 정도 예단을 요한다.

예선

X와 Y가 설정되고 and⊆ X × Y가 되면 ρ ( y ) = { x ∈ X : x ρ y }이(가) 되도록 한다.

E는 대칭으로 표시된 부분적인 이진 연산이 정의되는 집합이다.D가_E E에 대한 부분 바이너리 연산의 영역인 경우_E D는 E에 대한 관계이고 (e,f)는 E에 제품 ef가 존재하는 경우에만 D에_E 있다.다음과 같은 관계를 E에서 정의할 수 있다.

${\displaystyle \omega ^{r}=\{(e,f)\,:\,fe=e\}}$

${\displaystyle \omega ^{l}=\{(e,f)\,:\,ef=e\}$

${\displaystyle R=\omega ^{r}\,\cap \,(\omega ^{r})^{-1}$

${\displaystyle L=\omega ^{l}\,\cap \,(\omega ^{l})^{-1}$

${\displaystyle \omega =\omega ^{r}\,\cap \,\omega ^{l}}}$

T가 E의 부분적 이진 연산 및 위와 같은 관계를 포함하는 E에 관한 진술이라면 T*가 가리키는 T의 좌우 이중성을 정의할 수 있다.D가_E 대칭이면 T*가 있을 때마다 의미가 있다.

형식 정의

다음과 같은 공리와 그 이중들이 E에서 임의 원소인 e, f, g 등에 대해 갖는다면 세트 E는 바이오더링 세트라고 불린다.

(B1) Ω과^r Ω은^l E 및 D_E = (Ω^r Ω Ω ) ∪ (Ω^r Ω Ω ⁻¹Ω^l )에 대한 반사적 및 전이적 관계다.

(B21) f가 Ω^r( e )이면 f R fe Ω e.

(B22) g Ω^l f이고 f와 g가 Ω^r(e )이면 ge Ω^l fe이다.

(B31) g Ω^r f 및 f Ω^r e인 경우 gf = ( ge )f.

(B32) g Ω^l f이고 f와 g가 Ω^r(e )이면 (fg )e = (fe )(ge )

M ( e, f ) = Ω^l ( e ) Ω^r ( f ) (이 순서에서 e와 f의 M-set)에서 $\prec {\displaystyle }$ ${\displaystyle \prec }$ by$$ by을 정의한다.

${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle h\omega }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \Omega }$ e h${\displaystyle }$, g ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega {}^{}}$ l ${\displaystyle h{}^{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\prec h\quad \long leftrightarrow \quad$ \$quad$\quad \$quad$ eg$\,\\\, eh\,gf\,\\\\\\,\eh$

그러면 세트.

${\displaystyle S(e,f)=\{h\in M(e,f):g\prec h{\text{모든 }g(e,f)\}}$

그 순서대로 e와 f의 샌드위치 세트로 불린다.

(B4) f와 g가 Ω^r(e )이면 S(f, g )e = S(f, ge )

M-변수 집합 및 일반변수 집합

우리는 E에서 모든 e와 f에 대해 M ( e, f ) ≠ if if이면 E가 M-biored 집합이라고 말한다.또한 E에서 모든 e와 f에 대해 S ( e, f ) ≠ if이면 E는 규칙적인 바이오세트로 불린다.

2012년 로마 S.지고는 M-바이오더 세트가 E-inversive semigroups에서 발생한다는 간단한 증거를 제시했다.^{[8][clarification needed]}

하위 객체 및 형태론

바이오더된 하위 집합

만약 F가 E로부터 물려받은 부분적인 이진 연산에 따른 바이오더 집합인 경우, 바이오오더 집합 E의 부분 집합 F는 E의 부분 집합(하위 집합)이다.

E에서 임의의 e에 대해 Ω^r ( e ), Ω^l ( e ) 및 Ω ( e )의 집합은 E의 바이오더된 하위 집합이다.^[3]

이형성

지도화 φ : E → F 두 생물순서 집합 E와 F 사이의 F는 D의_E 모든 (e, f ) (f ) ) = (ef )가 있다면, 바이모르프(bimorphism)라고도 한다.

예시

벡터 공간 예제

V를 벡터 공간이 되게 하고

E = { ( A, B ) V = A ⊕ B }

여기서 V = A ⊕ B는 A와 B가 V의 하위공간이고 V는 A와 B의 내부직접합이라는 것을 의미한다.부분 바이너리 연산 on on E에 의해 정의됨

(A, B ) ⋆ (C, D ) = ( A + ( B + C), ( B + C ) ∩ D )

E를 바이오더 세트로 만든다.E의 준주문들은 다음과 같이 특징지어진다.

(A, B ) Ω^r (C, D ) ⇔ A ⊇ C

(A, B ) Ω^l (C, D ) ⇔ B ⊆ D

세미그룹 바이오더레이션 집합

Semgroups의 idempotents의 세트 E는 다음과 같이 E에 부분적인 이진 연산이 정의되면 바이오더 집합이 된다: ef = ef= f 또는 f = e 또는 f = e 또는 f = f가 S에서 유지되는 경우에만 ef가 정의된다. S가 정규 sem그룹인 경우 E는 규칙적인 바이오더 집합이다.

구체적인 예로서, S를 그 자체로 X = { 1, 2, 3 }의 모든 매핑의 sem그룹으로 하자.기호(abc)가 1 → a, 2 → b, 3 → c의 지도를 나타내도록 한다.S에서 idempotents의 설정 E는 다음과 같은 요소를 포함한다.

(계속), (계속), (333) (계속 지도)

(122), (133), (121), (323), (113), (223)

(123) (지도)

다음 표(도표 순서대로 매핑 구성)는 E의 부분적인 이진 연산을 설명한다.셀의 X는 해당 곱셈이 정의되지 않았음을 나타낸다.

∗	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)
(111)	(111)	(222)	(333)	(111)	(111)	(111)	(333)	(111)	(222)	(111)
(222)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(222)	(222)	(111)	(222)	(222)
(333)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(111)	(333)	(333)	(333)	(333)
(122)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(122)	X	X	X	(122)
(133)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	X	X	(133)	X	(133)
(121)	(111)	(222)	(333)	(121)	X	(121)	(323)	X	X	(121)
(323)	(111)	(222)	(333)	X	X	(121)	(323)	X	(323)	(323)
(113)	(111)	(222)	(333)	X	(113)	X	X	(113)	(223)	(113)
(223)	(111)	(222)	(333)	X	X	X	(223)	(113)	(223)	(223)
(123)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)

참조