두 개의 요소가 있는 세미그룹

수학에서 두 가지 요소를 가진 세미그룹은 기초 집합의 카디널리티가 두 개인 세미그룹이다.정확히 다음 두 가지 요소를 가진 다섯 개의 비이형성 세미그룹이 있다.

• 오₂, 2번 순서의 null sem그룹,
• LO와₂ RO는₂ 각각 순서 2의 왼쪽 제로 세미그룹과 순서 2의 오른쪽 제로 세미그룹이다.
• ({0,1}, ∧) (여기서 " ""는 논리 결합형 "and" 또는 동등하게 두 개의 원소를 가진 유일한 반밀라티스와 순서가 0인 유일한 비 Null 세미그룹, 또한 하나의 모노이드, 그리고 궁극적으로 2-element Boolean 대수,
• (Z₂, +)₂ (여기서₂ Z = {0,1} 및 "+"₂는 "추가 모듈로 2") 또는 동등하게 ({0,1}, )) (여기서 " ""은 논리적 결합형 "xor") 또는 곱셈으로 {-1,1} 집합: 순서 2의 유일한 그룹.

세미그룹 LO와₂ RO는₂ 반이형성이다.O₂, ({0,1}, ))와 (Z₂,₂ +)는 역순이고, LO와₂ RO는₂ 역순이다.LO₂, RO₂ 및 ({0,1, ∧)는 대역이며 역세미그룹이기도 하다.

두 가지 요소를 가진 세미그룹 결정

A = { 1, 2 } 세트를 두 개의 요소를 포함하는 기본 세트로 선택하면 A에서 16개의 이진 연산을 정의할 수 있다.이러한 작업은 아래 표에 나와 있다.표에서 폼의 행렬

x	y
z	t

A에서 다음 Cayley 테이블이 있는 2진수 연산을 나타낸다.

	1	2
1	x	y
2	z	t

{ 1, 2 }의 이진 작업 목록

1 1 1 1	1 1 1 2	1 1 2 1	1 1 2 2
Null semigroup O2	≡ Semigroup({0,1},${\displaystyle }${ ${\displaystyle \wedge }$)	2·(1·2) = 2, (2·1)·2 = 1	왼쪽 제로 세미그룹 LO2
1 2 1 1	1 2 1 2	1 2 2 1	1 2 2 2
2·(1·2) = 1, (2·1)·2 = 2	우측 제로 세미그룹 RO2	≡ 그룹 (Z2, +)2	≡ Semigroup({0,1},${\displaystyle }${ ${\displaystyle \wedge }$)
2 1 1 1	2 1 1 2	2 1 2 1	2 1 2 2
1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1	≡ 그룹 (Z2, +)2	1·(1·1) = 1, (1·1)·1 = 2	1·(2·1) = 1, (1·2)·1 = 2
2 2 1 1	2 2 1 2	2 2 2 1	2 2 2 2
1·(1·1) = 2, (1·1)·1 = 1	1·(2·1) = 2, (1·2)·1 = 1	1·(1·2) = 2, (1·1)·2 = 1	Null semigroup O2

다음 표에서:

• sem그룹({0,1}, $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge$ $\})$은 0원소 0과 단위요소 1을 포함하는 2원소 semigroup을 의미한다.녹색 배경의 행렬에 의해 정의된 두 개의 이진 연산은 연관성이 있으며 A와 쌍을 이루면 세미그룹에 이형성({0,1},$\displaystyle \wedge })$이 생성된다.이 세미그룹에서는 모든 요소가 특이해서 밴드다.더욱이, 그것은 상호 작용(아벨라니아어)이고 따라서 반일격이다.유도된 순서는 선형적인 순서여서 사실상 격자( is子)이며, 또한 분배적이고 보완적인 격자( lat字)이기도 하다. 즉, 실제로는 2element Boolean 대수학이다.
• 파란색 배경의 행렬에 의해 정의된 두 개의 이진 연산은 연관성이 있으며, A와 쌍을 이루면 두 개의 요소가 있는 null semigroup O에₂ 이형집단이 생성된다.
• 주황색 배경의 매트릭스에 의해 정의된 이진 연산은 연관성이 있으며 A와 쌍을 이루는 것은 세미그룹을 생성한다.이것은 왼쪽 제로 세미그룹 LO이다₂.그것은 상식이 아니다.
• 보라색 배경의 매트릭스에 의해 정의된 이진 연산은 연관성이 있으며 A와 쌍을 이루는 것은 세미그룹을 생성한다.이것은 오른쪽 제로 세미그룹 RO이다₂.그것은 또한 상호작용이 아니다.
• 빨간색 배경의 행렬에 의해 정의된 두 개의 이진 연산은 연관성이 있으며 A와 쌍을 이루면 그룹에 이형집단이 생성된다(Z₂, +).₂
• 흰색 배경의 행렬에 의해 정의된 나머지 8개의 이진 연산은 연관성이 없으므로 A와 쌍을 이룰 때 세미그룹을 생성하지 않는다.

2개 소세미그룹({0,1}, ∧)

세미그룹({0,1},${\displaystyle }$∧ ${\displaystyle \wedge$ $\})$의 Cayley 테이블은 다음과 같다.

$\displaystyle \reason }$	0	1
0	0	0
1	0	1

이것은 그룹이 아닌 세미그룹의 가장 단순한 비경쟁적인 예다.이 세미그룹은 정체성 요소인 1을 가지고 있어, 그것을 모노이드로 만든다.그것은 또한 대응적이다.원소 0에 역이 없기 때문에 집단이 아니며, 방정식 1·0 = 0·0에서 0을 취소할 수 없기 때문에 취소 세미그룹도 아니다.

이 세미그룹은 다양한 맥락에서 발생한다.예를 들어, 1을 진리 값 "참"으로, 0을 진리 값 "거짓"으로, 연산을 논리 결합형 "그리고"로 선택한다면, 우리는 논리적으로 이 세미그룹을 얻는다.그것은 곱셈으로 단면체 {0,1}에 이형이다.그것은 또한 세미그룹에 이형적이다.

${\displaystyle S=\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},{\begin{pmatrix}1&0\nd{pmatrix}\right\}}}}}}$

행렬의 ^[1]곱셈으로

2-element sem그룹(Z₂,+)₂

세미그룹(Z₂,+)₂에 대한 Cayley 테이블은 다음과 같다.

+2	0	1
0	0	1
1	1	0

이 그룹은 주기 그룹 Z와₂ 대칭 그룹 S에₂ 이형적이다.

순서 3의 세미그룹

A를 세 가지 요소 집합 {1, 2, 3}이(가) 되도록 하십시오.총 3⁹ = 19683개의 이진 연산 중 A. 113개의 다른 이진 연산을 정의할 수 있다. 24개의 비이등형 세미그룹 또는 18개의 비등형 세미그룹(등가성 이등형 또는 반이등형)을 결정한다.^[2] 3개의 요소를 가진 그룹을 제외하고, 이들 각각은 위의 2개 요소 그룹 중 1개(또는 그 이상)를 서브그룹으로 가지고 있다.^[3]예를 들어, 곱하기 아래의 {-1,0,1} 집합은 순서 3의 세미그룹이며, {0,1} 및 {-1,1}을(를) 하위그룹으로 포함한다.

유한한 고차수집합

알고리즘과 컴퓨터 프로그램은 주어진 순서의 비이등형 유한한 세미그룹을 결정하기 위해 개발되었다.이것들은 작은 질서의 비이등형 세미그룹을 결정하기 위해 적용되었다.^[3][4][5]n개의 음이 아닌 정수에 대해 n개의 원소를 가진 비이형 세미그룹 수는 OEIS: A027851의 온라인 정수 시퀀스 백과사전 아래에 나열되어 있다.OEIS: A001423은 비등분 세미그룹 수를 나열하고, OEIS: A023814는 총 n개ⁿ² 중에서 연관 이진 연산 수를 나열하여 세미그룹을 결정한다.

참고 항목

• 빈 sem그룹
• 사소한 세미그룹(원소 하나가 있는 세미그룹)
• 세 개의 요소를 가진 세미그룹
• 세미그룹의 특수계급

참조