취소용 세미그룹

Cancellative semigroup

수학에서 취소형 세미그룹(취소 세미그룹이라고도 함)은 취소특성을 가진 세미그룹이다.[1]직관적으로 말하면, 취소 속성은 a·b = a·c 형식의 동일성으로부터, 여기서 ·는 2진법 운영인 경우, a 요소를 취소하고 b = c를 추론할 수 있다고 주장한다.이 경우 취소되는 요소가 a·b 및 a·c의 왼쪽 요소로 나타나므로, 왼쪽 취소 속성의 경우다.올바른 취소 특성은 유사하게 정의될 수 있다.취소 세미그룹의 원형적 예는 덧셈 또는 곱셈에서 양의 정수다.취소 가능한 세미그룹은 세미그룹이 그룹에 포함될 수 있는 필수 조건 중 하나이기 때문에 세미그룹에 매우 가까운 것으로 간주된다.게다가, 모든 유한 취소 세미그룹들은 그룹이다.취소 세미그룹 연구와 관련된 주요 문제점 중 하나는 취소 세미그룹을 그룹에 포함시키기 위한 필요조건과 충분한 조건을 결정하는 것이다.

취소형 세미그룹 연구의 기원은 세미그룹에 대한 최초의 실질적인 논문인 Suschkewitsch 1928에서 찾을 수 있다.[2]

형식 정의

S를 세미그룹으로 하자.ab = ac가 S의 모든 b와 c에 대해 b = c를 내포하는 경우, a in S 요소는 취소(또는 취소할 수 있는 상태로 남거나, 왼쪽 취소 속성을 가진다)로 남는다.S의 모든 요소를 취소제로 남겨두면 S는 좌취소 세미그룹이라고 한다.

S를 세미그룹으로 하자.ba = ca가 S의 모든 b와 c에 대해 b = c를 내포한다면, 요소 a in S는 오른쪽 취소(또는 오른쪽 취소 가능 또는 오른쪽 취소 속성을 가진다)이다.만약 S의 모든 요소가 올바른 취소라면, S는 권리 취소 세미그룹이라고 불린다.

S를 세미그룹으로 하자.만약 S의 모든 요소가 왼쪽 취소와 오른쪽 취소 둘 다라면 S는 취소 세미그룹이라고 불린다.[3]

대체 정의

그것은 속성은 해당하는 떠나곱셈에 의해 라 면에서cancellative 요소의 특성 속성 수정:S→ S와 맞는 곱하기 Ra:S→ S지도 La(b))에어로빅과 Ra(b)에 의해 정의된 영혼:추락한 S의cancellative 만일 라injective은 요소면서 오른쪽cancellative 남은 요소 가능하다.donlya R이 주입식인 경우.

예

  1. 모든 그룹은 취소하는 세미그룹이다.
  2. 추가되는 양의 정수 집합은 취소하는 세미그룹이다.
  3. 추가되는 음이 아닌 정수의 집합은 취소되는 단색이다.
  4. 곱하기 아래의 양의 정수 집합은 취소되는 단색이다.
  5. 왼쪽 제로 세미그룹은 오른쪽 취소지만 사소한 것이 아니라면 취소하지 않는다.
  6. 오른쪽 제로 세미 그룹은 사소한 것이 아니라면 오른쪽 취소는 되지만 오른쪽 취소는 아니다.
  7. 둘 이상의 요소를 가진 null semgroup은 왼쪽 취소도 오른쪽 취소도 아니다.그러한 세미그룹에는 왼쪽의 취소나 오른쪽의 취소인 요소가 없다.
  8. S는 행렬 곱하기 아래의 순서의 실제 제곱 행렬의 세미그룹으로 하자.a를 S에 있는 어떤 요소가 되게 하라.만약 a가 비정상적인 경우, a는 왼쪽 취소와 오른쪽 취소 둘 다이다.만약 a가 단수라면 a는 왼쪽의 취소도 오른쪽의 취소도 아니다.

유한취소세미그룹

유한 취소형 세미그룹이 집단이라는 것은 집단 이론의 기초적인 결과다.S는 유한 취소형 세미그룹으로 하자.취소율과 함께 취합한 정밀도는 모든 a in S에 대해 Sa = aS = S를 의미한다.따라서 요소 a in S에 주어진, a에 따라서 요소 e가a S에 있다. aea = a. 취소율은 이제 이 e가a a와 독립적이고 xea = exa = x가 S의 모든 x에 대해 독립적이라는 것을 더욱 암시한다.따라서 e는a 앞으로 e로 나타낼 수 있는 S의 정체성 요소다.Sa = S 속성을 사용하면 이제 S에 ba = e. ab = e를 나타내기 위해 취소율을 호출할 수 있으며, 따라서 S에 있는 모든 원소가 S에 역을 갖는다는 것을 확인할 수 있다.따라서 S는 반드시 집단이어야 한다.

게다가, 모든 취소되는 에피그룹도 그룹이다.[4]

그룹 내 임베디빌리티

조합형 세미그룹은 취소되는 경우에만 그룹에 포함될 수 있다(즉, 그룹의 하위 세미그룹에 이형성이 있다.이를 위한 절차는 필드에 일체형 도메인을 내장하는 절차(Clifford & Preston 1961, 페이지 34)와 유사하며, 이를 Grotendieck 그룹 구축이라고 하며, 세미그룹이 취소될 경우 임베딩인 아벨리아 그룹과의 범용 매핑이다.

그룹 내 비협조적인 세미그룹의 임베디빌리티에 있어, 취소성은 분명히 필요한 조건이다.그러나, 그것은 충분하지 않다: 그룹에 포함될 수 없는 (비규약적, 무한적) 취소적인 세미그룹이 있다.[5]충분한 (그러나 필요하지는 않은) 조건을 얻기 위해, 유한 취소형 세미그룹 S가 그룹이라는 결과의 증거는 모든 a in S에 대해 Sa = S라는 사실에 비판적으로 의존했다고 볼 수 있다.논문(Dubreil 1941)은 이러한 생각을 일반화하여 우회적으로 되돌릴 수 있는 세미그룹의 개념을 도입하였다.Semgroup S는 S의 두 가지 주요 이상, 즉 S의 모든 a와 b에 대해 Sa sb Sb ≠ ø가 교차하는 경우 우측 반전 가능하다고 한다.그룹 내 세미그룹의 임베디빌리티에 대한 충분한 조건은 이제 다음과 같이 명시할 수 있다. (오어의 정리)모든 우측 되돌릴 수 있는 취소형 세미그룹을 그룹에 포함시킬 수 있다. (Clifford & Preston 1961, 페이지 35).

그룹 내 semigroup의 임베디빌리티에 필요한 충분한 조건의 첫 번째 세트가 (Malcev 1939)에 제시되었다.[6]이론적으로 중요하기는 하지만, 조건들은 수적으로 무한하며, (Malcev 1940)에 나타난 바와 같이 유한 부분집합만으로 충분하지는 않을 것이다.[7](Lambek 1951년)에는 필요조건과 충분한 조건의 서로 다른(그러나 또한 무한정) 세트가 주어졌는데, 여기서 세미그룹이 취소되고 소위 "다중 조건"을 만족하는 경우에만 그룹에 포함될 수 있다는 것을 보여주었다.말체프와 람베크의 두 내장형 이론은 나중에 (부시 1963)에서 비교되었다.

참고 항목

메모들

  1. ^ (Clifford & Preston 1967, 페이지 3)
  2. ^ G. B. Preston (1990). "Personal reminiscences of the early history of semigroups". Archived from the original on 2009-01-09. Retrieved 2009-05-12.
  3. ^ "Cancellative semigroup". PlanetMath.
  4. ^ Peter M. Higgins (1992). Techniques of semigroup theory. Oxford University Press. p. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
  5. ^ A. 말체프, 수학자 안날렌 1937, 제113권, 제1, 제686-691호
  6. ^ Paul M. Cohn (1981), Universal Algebra, Springer, pp. 268–269, ISBN 90-277-1254-9
  7. ^ John Rhodes (April 1970), "Book Review of 'The Algebraic Theory of Semigroups Vol I & II' by A H Clifford & G B Preston", Bulletin of the AMS, American Mathematical Society. [1] (2009년 5월 11일 접속)

참조