세 개의 요소를 가진 세미그룹

Semigroup with three elements

추상대수학에서 세 개의 원소를 가진 세미그룹(semigroup)은 세 개의 원소와 그 원소에 정의된 연관 연산으로 구성된 개체다.기본적인 예로는 곱셈의 연산과 함께 0, 1, -1의 세 정수를 들 수 있다.정수의 곱셈은 연관성이 있으며, 이 세 정수 중 두 개의 곱셈은 다시 이 세 정수 중 하나이다.

세 가지 요소에 대한 연관 연산을 정의하는 불평등 방법은 18가지가 있다. 모두 합쳐서 39 = 19683개의 서로 다른 이진 연산이 있지만, 이들 중 113개만이 연관 연산이며, 이들 중 상당수는 이형 또는 반이형 연산이어서 기본적으로 18개의 가능성만 존재한다.[1][2]

그 중 하나는 세 개의 원소를 가진 순환집단인 C이다3.다른 그룹들은 모두 두 가지 요소를 가진 세미그룹을 서브그룹으로 가지고 있다.위의 예제에서 곱하기 아래의 {-1,0,1} 세트에는 하위 그룹(후자는 하위 그룹, C2)으로 {0,1} 및 {-1,1}이(가) 모두 포함되어 있다.

이 중 6개는 밴드로, 즉 세 가지 원소가 모두 공증력이기 때문에 그 자체로 어떤 원소의 산물이든 다시 그 자체라는 뜻이다.이들 밴드 중 두 밴드는 서로 일치하므로 반일률(그 중 하나는 완전히 주문된 3ele set이고, 다른 하나는 격자가 아닌 3ele semilatic)이다.나머지 4개는 반이형성 쌍으로 나온다.

이러한 비확정 대역 중 하나는 ID 요소를 결합하여 LO2, 즉 두 개의 요소(또는 한 달에 한 번씩 오른쪽 제로 세미그룹인 RO2)를 갖는 왼쪽 제로 세미그룹에 결합하는 데서 비롯된다.전자공학에서 사용되는 플립플롭 회로를 가리켜 플립플롭 모노이드(flip-flop monoid)라고도 부르기도 하는데, 이 세 가지 요소는 "set", "reset", "아무 것도 하지 말라"로 설명할 수 있다.이 세미그룹은 유한한 세미그룹의 Krohn-Rodes 분해에서 발생한다.[3]이 분해에서 돌이킬 수 없는 요소는 유한 단순 그룹과 이 3개 요소 세미그룹, 그리고 그 하위 그룹들이다.

두 개의 주기적인 세미그룹이 있는데, 하나는 방정식4 x = x로3 기술된 것으로, 두 개의 요소를 가진 Null 세미그룹인 O를2 서브그룹으로 한다.다른 하나는 x4 = x로2 설명되며, 두 개의 원소를 가진 그룹인2 C를 하나의 부분군으로 가지고 있다.(x4 = x 등식은 이미 언급된 세 개의 원소를 가진 그룹인 C를3 설명한다.)

다른 7개의 비순환적 비대역적 세미그룹들이 있는데, 여기에는 3개의 요소를 가진 null sem그룹인 {-1, 0, 1}, O의3 초기 예가 포함된다.또한 두 개의 다른 비-이형성 비-밴드 세미그룹도 있다.

3개 요소(이소모르프까지)를 가진 세모그룹 리스트세미그룹 운영을 위한 Cayley 테이블과 함께

1.순환군(C3)

x y z
x x y z
y y z x
z z x y

2. 모노제닉 세미그룹(지수 2, 기간 2)

x y z
x y z y
y z y z
z y z y

서브그룹2: {y,z} ≈ C

3. Aperiodic monogenive semigroup (index 3)

x y z
x y z z
y z z z
z z z z

하위2 그룹: {y,z} ≈ O

4. 정류단원({-1,0,1}, 곱하기)

x y z
x z y x
y y y y
z x y z

하위 그룹: {x,z} ≈ C2. {y,z} ≈ C2. {≈ C.

5. 정류단모노이드

x y z
x z x x
y x y z
z x z z

하위 그룹: {x,z} ≈ C2. {y,z} ≈ C2. {≈ C.

6.상호적 의미군

x y z
x z x x
y x z z
z x z z

하위 그룹: {x,z} ≈ C2. {y,z2} ≈ O

7. Null sem그룹(O3)

x y z
x z z z
y z z z
z z z z

하위2 그룹: {x,z} ≈ {y,z} ≈ O

8. 교감 주기적 의미군

x y z
x z z z
y z y z
z z z z

하위 그룹: {x,z} ≈ O2. {y,z} ≈ CH2

9. 교감 주기적 의미군

x y z
x z y z
y y y y
z z y z

하위 그룹: {x,z} ≈ O2. {y,z} ≈ CH2

10. 교감 주기적 단면체

x y z
x z x z
y x y z
z z z z

하위 그룹: {x,z} ≈ O2. {y,z} ≈ CH2

11A. 주기적 의미군

x y z
x z z z
y y y y
z z z z

하위 그룹: {x,z} ≈ O2, {y,z} ≈ LO2

11B. 정반대

x y z
x z y z
y z y z
z z y z

12A. 주기적 의미군

x y z
x z z z
y x y z
z z z z

하위 그룹: {x,z} ≈ O2, {y,z} ≈ CH2

12B. 정반대

x y z
x z x z
y z y z
z z z z

13. 세미라티체(체인)

x y z
x x y z
y y y z
z z z z

하위 그룹: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ CH2

14. 세미라티체

x y z
x x z z
y z y z
z z z z

하위 그룹: {x,z} ≈ {y,z} CH2

15A. IDEMPent Sem그룹

x y z
x x x x
y y y y
z x x z

하위 그룹: {x,y} ≈ LO2, {x,z} ≈ CH2

15B. 정반대

x y z
x x y x
y x y x
z x y z

16A. idempotent sem그룹

x y z
x x x z
y y y z
z z z z

하위 그룹: {x,y} ≈ LO2, {x,z} ≈ {y,z} CH2

16B. 정반대

x y z
x x y z
y x y z
z z z z

17A. 왼쪽 제로 세미그룹(LO3)

x y z
x x x x
y y y y
z z z z

하위 그룹: {x,y} ≈ {x,z} ≈ {y,z} ≈ LO2

17B. 반대 방향(RO3)

x y z
x x y z
y x y z
z x y z

18A. idempotent semigroup(왼쪽 플립 플립 플롭 모노이드)

x y z
x x x x
y y y y
z x y z

하위 그룹: {x,y} ≈ LO2, {x,z} ≈ {y,z} CH2

18B. 반대 방향(우측 플립플롭 모노이드)

x y z
x x y x
y x y y
z x y z

두 요소 하위 그룹 색인:C2: 순환 그룹, O: null2 sem그룹, CH2: semilattice (체인), LO2/RO: 좌2/우 제로 sem그룹.

참고 항목

참조

  1. ^ Andreas Distler, 2015-04-02년 Wayback Machine, PhD 논문, University of St. 앤드루스
  2. ^ Friðrik Diego; Kristín Halla Jónsdóttir (July 2008). "Associative Operations on a Three-Element Set" (PDF). The Montana Mathematics Enthusiast. 5 (2 & 3): 257–268. Retrieved 6 February 2014.
  3. ^ "이 무해한 3요소 세미그룹은 다음에 나올 일에 중요한 역할을 한다." – John L. Rodes의 오토마타 이론과 대수학의 응용.