정규 세미그룹

수학에서 정규 세미그룹은 모든 요소가 정규인 세미그룹 S이다. 즉, 각 요소 a in S에는 axa = a와 같은 요소 x가 존재한다.^[1] 정규 세미그룹은 세미그룹에서 가장 많이 연구된 계층 중 하나이며, 그 구조는 특히 그린의 관계를 통해 연구하기 쉽다.^[2]

역사

J. A. Green은 그의 영향력 있는 1951년 논문 "Semgroups 구조에 대하여"에서 정규 세미그룹을 소개했는데, 이것은 Green의 관계가 소개된 논문이기도 했다.세미그룹에서 규칙성의 개념은 이미 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 고려된 반지의 유사한 조건으로부터 채택되었다.^[3]그린이 그의 유명한 관계를 규정하도록 이끈 것은 정규 세미그룹에 대한 그린의 연구였다.그린 1951년의 각주에 따르면, 정규성의 개념을 세미그룹에 적용하자는 제안은 데이비드 리스(David Rees)에 의해 처음 이루어졌다.

1950년대 가브리엘 티에린(폴 더브릴의 제자)의 논문에서 역사적으로 '반복적인 세미그룹(프랑스어: 데미그루프 inversif)'이라는 용어가 동의어로 사용되었으며,^[4][5] 지금도 가끔 사용되고 있다.^[6]

기본은

정규 세미그룹 S를 정의하는 데는 두 가지 동등한 방법이 있다.

(1) 각 a in S에 대해 s에는 x가 있으며, 이를 의사역전이라고 하며, ^[7]axa = a;

(2) 모든 원소 a는 aba = a 및 bab = b라는 의미에서 적어도 하나의 역 b를 가진다.

이러한 정의의 동등성을 보려면 먼저 S가 (2)로 정의된다고 가정한다.그 후 b는 (1)에서 필요한 x의 역할을 한다.반대로 S가 (1)로 정의되면 a(xax)a = axa(xa) = a 및 (xax)a(xax) = a 및 (xax)a(xax) = xa(xax) = xa(xax) = x(ax)x = x(ax)xx = xxx의 역이다.^[8]

임의의 semigroup S에서 요소 a의 invers 집합(위의 의미)은 V(a)로 표시된다.^[9]따라서 위의 정의(2)를 표현하는 또 다른 방법은 정규 세미그룹에서 V(a)는 모든 a in S에 대해 비어 있지 않다고 말하는 것이다.V(a)에 b가 있는 원소 a의 생산물은 항상 idempotent: abb = ab, ^[10]aba = a이므로.

정규 세미그룹의 예

• 모든 그룹은 정규 세미그룹이다.
• 비록 이것이 일반 밴드가 의미하는 것은 아니지만, 모든 밴드(아이템포텐트 세미그룹)는 이 글의 의미에서 규칙적이다.
• 자전거 타는 세미그룹은 규칙적이다.
• 모든 완전한 변환 세미그룹들은 규칙적이다.
• Rees 매트릭스 세미그룹은 규칙적이다.
• 일반 세미그룹의 동형상 이미지는 규칙적이다.^[11]

고유한 인버스와 고유한 유사 인버전

idempotents가 (idempotent와 함께) 통근하는 정규 semigroup은 역 semigroup이거나 동등하게 모든 요소는 고유한 역 semigroup을 가진다.이를 보기 위해 S는 idempotents가 통근하는 정규 세미그룹이 되도록 하자.그러면 S의 모든 원소에는 적어도 하나의 역이 있다.a in S에 b와 c 두 개의 invers가 있다고 가정하자.

aba = a, bab = b, aca = a, cac = c.또한 ab, ba, ac, ca는 위와 같은 특유한 물질이다.

그러면

b = bab = b(aca)b = bac(a)b = bac(aca)b = bac(ac)(ab) = bac(ab)(ac) = bac(ca)(ac) = ba(ba) = = ca(aba) = = cabac = cc = cac = c = c.

그래서, idempotents ab&ac과 ba&ca의 쌍을 통근함으로써, a의 역은 독특한 것으로 나타난다.반대로, 어떤 역세미그룹도 특유한텐트가 통근하는 정규세미그룹임을 알 수 있다.^[12]

독특한 의사역설이 존재한다는 것은 독특한 역행의 존재를 암시하지만 그 반대는 사실이 아니다.예를 들어 대칭 역세미그룹에서 빈 변환 ø는 어떤 변환 f에 대해서도 øFø = øFø를 가지기 때문에 고유한 유사 변환 ø를 가지지 않는다.그러나 오직 하나의 f만이 f = Føf, 즉 f = øf라는 추가 제약조건을 만족하기 때문에 ø의 역행은 독특하다.이 말은 0을 가진 어떤 세미그룹에서도 더 일반적으로 통용된다.나아가 모든 원소가 고유한 의사역전을 갖는 경우, 세미그룹은 그룹이며, 원소의 고유한 의사역전은 그룹 역행과 일치한다.^[13]

그린의 관계

Semgroup S의 주요 이상은 ID가 결합된 S, 즉 S의¹ 관점에서 정의된다는 점을 상기하십시오. 이는 요소 a가 생성되는 주요 오른쪽, 왼쪽 및 양면 이상에 속함을 보장하기 위함입니다.그러나 일반 세미그룹 S에서 요소 a = axa는 정체성에 의존하지 않고 자동으로 이러한 이상에 속한다.따라서 Green의 관계는 다음과 같이 일반 세미그룹에 대해 다시 정의될 수 있다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L\mathcal{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\,{\mathcal {L}\,b}$만, Sa = Sb;

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\,{\mathcal {R}\,b}($aS = bS인 경우$$)

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle J\mathcal{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\,{\mathcal {J}\,b}($SaaS = Sbs일 경우)^[14]

일반 세미그룹 S에서 모든 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과$($와) $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$클래스에는$$ 최소 한 개의 IDempotent가 포함되어 있다.a가 S의 어떤 요소이고 a'가 a의 어떤 역인 경우, a는 a'a 관련$$ L ${\$ {$L}$이고, $r{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -a' 관련이다.^[15]

정리.S를 일반 세미그룹으로 하고, a와 b를 S의 요소로 하고, V(x)는 S에서 x의 invers 집합을 나타내도록 한다.그러면

• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L\mathcal{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle$ a$\,{\mathcal{L}\,b}$만약 V(b)에 'a'가 있고 'b'가 있으면 a'a = b'b;
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\,{\mathcal {R}\,b}$만약 V(b)에 a'가 있고, 'b'가 있다면,
• ${\displaystyle }$a H ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\,{\mathcal {H}\,b}$만약 V(b)에 a'가 있고, 'a' = b'b'가 있으면 a'a = b'b'^[16]가 된다.

S가 역세미그룹인 경우, $각{\displaystyle \mathcal{}}$ L$${\$displaystyle${\$mathcal {L}$$-와{\displaystyle \mathcal{}}$ R$${\$displaystyle${\$mathcal {R}$ -class의$$ IDempotent는 고유하다.^[12]

정규 세미그룹의 특수 클래스

일반 세미그룹의 일부 특수계급은 다음과 같다.^[17]

• 국소 역세미그룹: eSe가 역세미그룹인 경우 일반세미그룹 S는 국소적으로 각 IDempotent e에 대해 역세미그룹이다.
• 정통적인 세미그룹: 일반 세미그룹 S는 그것의 부분집합된 아이디엠포텐트가 서브그룹을 형성한다면 정통적이다.
• Generalized inverse semigroups: 정규 semgroups S는 그 IDempotents가 정규 대역을 형성하는 경우, 즉, 모든 IDempotents x, y, z에 대해 xyzx = xzyx를 일반화된 역 semigroups라고 부른다.

일반화된 역세미그룹 등급은 국소 역세미그룹 등급과 정통세미그룹 등급의 교차점이다.^[18]

모든 역세미 그룹은 정통적이고 국소적으로 역세미하다.그 반대 진술은 타당하지 않다.

일반화

• 결국 정규 세미그룹
• E-dense (일명 E-inversive) 세미그룹

참고 항목

• 바이오더드 세트
• 세미그룹의 특수계급
• 남보오리패드순서

참조

원천

• Clifford, Alfred Hoblitzelle; Preston, Gordon Bamford (2010) [1967]. The algebraic theory of semigroups. Vol. 2. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Howie, John Mackintosh (1995). Fundamentals of Semigroup Theory (1st ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6.
• M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories, De Gruyter Exposions in Mathical vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• J. A. Green (1951). "On the structure of semigroups". Annals of Mathematics. Second Series. 54 (1): 163–172. doi:10.2307/1969317. hdl:10338.dmlcz/100067. JSTOR 1969317.
• J. M. Howie, Semigroups, 과거, 현재 및 미래, 국제 대수학 및 그것들의 적용에 관한 국제 회의의 Procedures of International Conference of Algebra and its Applications, 2002, 6–20.
• J. von Neumann (1936). "On regular rings". Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 22 (12): 707–713. Bibcode:1936PNAS...22..707V. doi:10.1073/pnas.22.12.707. PMC 1076849. PMID 16577757.