역세미그룹

그룹 이론에서 역세미그룹(역전세미그룹^[1]) S는 x = xyx와 y = yxy, 즉 모든 원소가 고유한 역세를 갖는 일반세미그룹이라는 점에서 S의 모든 원소 x가 S에 고유한 역y를 갖는 세미그룹이다.역세미그룹은 다양한 맥락에서 나타난다. 예를 들어, 그것들은 부분 대칭 연구에 사용될 수 있다.^[2]

(이 글에서 뒤따르는 규약은 f(x)가 아닌 x f와 같은 논거의 오른쪽에 함수를 쓰고, 왼쪽에서 오른쪽으로 함수를 구성하는 것, 즉 sem그룹 이론에서 흔히 관찰되는 규약이 될 것이다.)

오리진스

역세미그룹은 1952년 소련에서 빅토르 블라디미로비치 바그너에^[3] 의해 독립적으로 도입되었고, 1954년 영국의 고든 프레스턴에 의해 도입되었다.^[4][5]두 저자는 모두 집합의 부분적 편향에 대한 연구를 통해 역세미그룹에 도달했다: 집합 X의 부분 변환 α는 A에서 B까지의 함수인데, 여기서 A와 B는 X의 부분 집합이다.α와 β를 집합 X의 부분 변환으로 하고, α와 β는 "감각"을 형성하는 가장 큰 영역에서 (좌에서 우로) 구성될 수 있다.

${\displaystyle \domname {dom} \cap \cap \cap \domname {dom} \cap \cap \cap \cap \{-1},}$

여기서 α는⁻¹ α 아래의 프리이미지를 나타낸다. 부분적 변환은 이미 유사집단의 맥락에서 연구되었다.^[6]그러나 부분적 변혁의 구성이 이항 관계 구성의 특수한 경우라는 것을 가장 먼저 관찰한 사람은 바그너였다.^[7]또한 그는 두 가지 부분적 변환의 구성 영역이 빈 집합일 수 있다는 것을 인식하여 이를 감안하여 빈 변환을 도입하였다.이 빈 변환이 추가되면서 집합의 부분 변환의 구성은 어디서나 정의되는 연관 이진 연산이 된다.이 구성에서 집합 X의 모든 부분적인 일대일 변환의 집합$$ $I{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ X ${\$는 이미지에서 도메인까지 정의된 기능 역반전(동등, 역관계)^[8]을 가지고 X에 대칭 역반전(또는 모노이드)이라고 하는 역반사형 세미그룹을 형성한다.대칭집단이 원형집단인 것과 같은 방식으로 '아체티팔' 역세미그룹이다.예를 들어, 모든 그룹이 대칭 그룹에 포함될 수 있듯이, 모든 역세미그룹도 대칭 역세미그룹에 포함될 수 있다(아래 § 호모폴리즘 및 역세미그룹 표현 참조).

기본은

역세미그룹 S의 원소 x의 역행은 대개⁻¹ x로 표기된다. 역세미그룹 내 인버스는 그룹 내 인버스와 동일한 속성(예: (ab)⁻¹ = ba⁻¹⁻¹)를 많이 가지고 있다.역모노이드에서 xx와⁻¹ xx는⁻¹ 반드시 그 정체성과 동일하지는 않지만 둘 다 idempotent이다.^[9]xx⁻¹ = 1 = xx인⁻¹ 역모노이드 S는 모든 x in S(전능하지 않은 역모노이드)에 대해 물론 그룹이다.

역세미그룹 S에는 여러 가지 등가특성이 있다.^[10]

• S의 모든 원소에는 위의 의미로 독특한 역이 있다.
• S의 모든 요소에는 적어도 하나의 역(S는 정규의 semgroup)과 idempatents가 통근한다(즉, S의 idempottent는 반일율(semilattice)을 형성한다).
• 모든 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -class$$ 및 $모든{\displaystyle \mathcal{}}$ R ${\$$mathcal$${R}$ -class는$$ 정확히 하나의 IDempotent를 포함하며, $여기$서 L ${\$ 및$$ $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${R}은 그린과 관련이 있다.

L ${\$의 idempotent는 ss이고⁻¹, $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 idempotent는 ss이다⁻¹.따라서 역세미그룹에서 그린의 관계에 대한 간단한 특성이 있다.^[11]

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}\,b\long 왼쪽 오른쪽 화살표 a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}\,b\long 왼쪽 오른쪽 화살표 aa^{-1}=b^{-1}}$

달리 명시되지 않는 한, E(S)는 역 semigroup S의 idempatents의 semilatities를 나타낼 것이다.

역세미그룹의 예

• 집합 X의 부분적인 편차는 구성 하에서 역세미그룹을 형성한다.
• 모든 그룹은 역세미그룹이다.
• 자전거 세미그룹은 (a,b)⁻¹ = (b,a)로 역행한다.
• 모든 반달은 반반이다.
• Brandt semigroups는 반비례한다.
• Moonn semigroups는 반비례한다.

곱셈표 예제.그것은 연관성이 있으며 모든 원소는 아바 = a, bab = b에 따라 그 자체로 역행성을 가진다.그것은 정체성이 없고 상호 작용하지 않는다.

역세미그룹

&	a	b	c	d	e
a	a	a	a	a	a
b	a	b	c	a	a
c	a	a	a	b	c
d	a	d	e	a	a
e	a	a	a	d	e

자연적 부분순서

역세미그룹 S는 자연적인 부분 순서 관계 ≤(때로는 Ω으로 표시됨)를 가지며, 이는 다음과 같이 정의된다.^[12]

$a\leq b\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 a=eb,}$

S에 있는 idempotent e에 대해 동등하게,

$(\displaystyle a\leq b\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 a=bf,}$

S의 일부(일반적으로, 다른) idempotent f에 대해.사실 e는 aa로⁻¹, f는 aa로⁻¹ 받아들일 수 있다.^[13]

자연적인 부분 순서는 곱셈과 역행 둘 다,^[14] 즉,

$a\leq b, c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

그리고

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

집단에서, 이 부분적인 질서는 단지 동일성으로 감소하는데, 그 이유는 정체성이 유일한 idempotent이기 때문이다.대칭 역세미그룹에서 부분순서는 α의 영역인 β와 xα = xβ의 영역에 포함된 경우에만 매핑의 제한으로 감소한다.^[15]

역세미그룹의 자연적 부분 순서는 다음과 같이 그린의 관계와 상호작용을 한다: s t ${\displaystyle t}$와 s $displaystyle \,{\mathcal{$L}\,} $t$, s = t. 마찬가지로 s ${\displaystyle R\mathcal{}}$ $displaystyle \,{\mathcal{$$}\},}$ t.^[16]

E(S)에서 자연적인 부분 순서는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle e\leq f\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 e=ef,}$

따라서, idempottent는 제품 운용 시 반일율을 형성하기 때문에, E(S) 상의 제품은 to에 대해 최소 상한을 부여한다.

E(S)가 유한하여 체인을 형성하는 경우(즉, E(S)는 ≤에 의해 완전히 명령됨), S는 집단의 결합이다.^[17]E(S)가 무한 체인이라면 S와 E(S)에 대한 추가 가설 하에서 유사한 결과를 얻을 수 있다.^[18]

역세미그룹의 동형화 및 표현

역세미그룹의 동형성(또는 형태론)은 다른 다른 세미그룹과 정확히 같은 방식으로 정의된다. 역세미그룹 S와 T의 경우, 함수 θ은 S의 모든 s,t에 대해 (sθ) = (st) (이면 형태론이다.역세미그룹의 형태론의 정의는 조건(sθ)⁻¹ = sθ를⁻¹ 포함함으로써 증강될 수 있지만, 이 속성은 위의 정의에서 따르기 때문에, 다음과 같은 정리를 통해 그렇게 할 필요가 없다.

정리.역세미그룹의 동형상 이미지는 역세미그룹이다; 원소의 역류는 항상 그 원소 이미지의 역에 매핑된다.^[19]

역세미그룹에 대해 입증된 가장 초기 결과 중 하나는 와그너-프레스턴 정리(Wagner-Preston Organization)로, Cayley's Organization for groups:

바그너-프레스턴 정리.S가 역세미그룹인 경우, 함수 φ에서 $I{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$까지 ${\${\$mathcal{I}_{S}}$가 주어진다$.$

돔(aφ) = Sa⁻¹ 및 x(aφ) = xa

S의 충실한 표현이다.^[20]

따라서 모든 역세미그룹은 대칭 역세미그룹에 내장될 수 있으며, 부분편향에 대한 역 연산 하에서 이미지를 닫을 수 있다.반대로, 역 연산 하에서 닫힌 대칭 역세미그룹의 서브그룹들은 역세미그룹이다.따라서 sem그룹 S는 s가 역 sem그룹인 경우에만 inverses에 의해 닫힌 대칭 역 semigroups의 하위그룹과 이형화된다.

역세미그룹에 대한 합치

조합은 다른 세미그룹과 정확히 동일한 방식으로 역세미그룹에 정의된다: 조합은 세미그룹 곱셈과 호환되는 동등성 관계다.

$\daystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,\rho \,\rho \,bd.}$^[21]

특히 관심사는 relation ${\displaystyle \sigma }$ 관계인데$,$ 이 관계는 S에 의해 정의된다.

${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ⟺}$ ${\$$displaystyle$ a$\,\sigma \,b\$Long $leftrightarrow }$에는 ${\displaystyle \mathrm{c<img\; alt="a\backslash ,\backslash sigma\backslash ,b\backslash Longleftrightarrow"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7ca5a61aff85fa13c7aa4d13d73dd9d813ad27ba"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:9.293ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="198">}}$$$$with{\displaystyle }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle$ $c\leq a,b.}$이(가$)$ 있다.

σ은 합치성이며, 사실상 집단합치라는 것을 알 수 있는데, 이는 요인 semigroup S/σ이 집단이라는 것을 의미한다.Semigroup S의 모든 그룹 조합 집합에서 최소 요소(세트 포함에 의해 정의된 부분 순서에 대한)가 가장 작은 요소가 될 필요는 없다.S가 역 semigroup인 특정한 경우에서 S/s가 그룹인 경우, 즉 S/s가 S에서 S/s 그룹과 다른 조합인 경우, σ은 σ에 포함되어 있다.합치 σ은 S에서 최소군 합치라고 한다.^[23]최소 그룹 조합은 E-단위 역세미그룹의 특성화에 사용할 수 있다(아래 참조).

역 semigroup S에 대한 합치 ρ은 다음과 같은 경우 idempotent pure라고 불린다.

$A\in S, e(S), a\,\rho \, e\Longrightarrow a\in E(S)}$^[24]

E-단위 역세미그룹

수년 동안 광범위하게 연구되어 온 역세미그룹의 한 종류는 E-unitary 역세미그룹의 종류다. 역세미그룹 S(특수전원의 반감미치 E 포함)는 E의 모든 E와 S의 모든 S에 대해 E-unitarch이다.

$es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

동등하게,

$(E\Displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.})$^[25]

E-unitial 역세미그룹 S의 한 가지 추가 특성은 다음과 같다: e가 E와 e ≤ s에 있는 경우, s는 S에 있는 경우, s는 E에 있다.^[26]

정리.S는 idempotents의 semilattice E를 가진 역 semigroup으로, 최소 group concurrence igroup.그 후 다음과 같다.^[27]

• S는 E-unitial이다.
• σ은 idempotent 순수하다.
• ${\displaystyle ~}$ ${\displaystyle \sim }$ $$= σ,

여기서${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \sim }$은(는) 다음에 의해 정의된 S의 호환성 관계임

${\displaystyle a}$~ b ~ ${\displaystyle b{-}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1,${\displaystyle {}^{}}$ - ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{b}}^{}}${\$displaystyle a\sim$ b\Long $leftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$는 idempotent이다.

맥칼리스터의 커버링 정리.모든 역 semigroup S는 E-unital 커버를 가지고 있다. 즉, 일부 E-unital semiroup T에서 S로 sermitive homoporphism을 분리하는 idempotent가 존재한다.^[28]

E-단위 역세미그룹 연구의 중심은 다음과 같다.^[29]$X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 부분적으로 순서가 지정된 집합으로 하고, $Y{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 하위 집합으로$$ 두십시오.

• ${\displaystyle \mathcal{Y}}$ ${\$$}$은(는) 하한(하한)을 갖는다는 점에서 Y {\$displaystyle$ ${\$$mathcal$$${$Y$$}$의 모든 원소 A$,$ B는 하한({\$displaystyle \wedge }$$B$)이다$.$
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ is an order ideal of ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, that is, for A, B in ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, if A is in ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ and B ≤ A, then B is in ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$.

이제 G를 $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$왼쪽)에 작용하는 그룹이 되도록 하자.

• G의 모든 G와 $X$의 모든 A, B에 대해 ${\$ gA = gB(A = B인 경우에만)
• G의 각 G와 $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 각 B에 대해$,$ $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 gA = B;
• 모든 A, B in $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ A ≤ B인 경우(gA ≤ gB인 경우에만 해당),
• 모든 g, h in G 및 $모든{\displaystyle \mathcal{}}$ A in X ${\$ g(hA) = (gh)A.

트리플${\displaystyle (G}$ ,${\displaystyle X\mathcal{}}$ , ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle(G,{\mathcal{X},{\mathcal {Y})$도 다음과 같은 특성을 갖는 것으로 가정한다$$.

• $X{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 모든 X에 대해$$$G$에는 g가 있고 Y ${\$에 A가 있으며, 이러한$$ GA = X;
• G의 모든 G에 ${\displaystyle \mathcal{}}$, g$$Y {\$displaystyle${\$mathcal${Y$$} $및{\displaystyle \mathcal{}}$Y {\$displaystyle${\$mathcal$ {Y$}}$의 교차점이 비어 있지 않음$$

그러한 삼중$({\displaystyle G}$, ${\displaystyle X\mathcal{}}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle(G,{\mathcal{X},{\mathcal{Y})$을 맥알리스터 삼중(McAlister 3중)이라고 한다$$.McAlister 3중으로 다음을 정의한다.

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X},{\mathcal {Y})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}\time G:g^{-1A\in {\mathcal {Y}\}}}}}$

곱셈과 함께

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle B}$, h${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B}$, g ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle (A,g)($B,$h)=(A\wedge gB,gh$

그러면 $P{\displaystyle (G}$, ${\displaystyle X\mathcal{}}$, ${\displaystyle Y\mathcal{}}$) ${\displaystyle P(G,{\mathcal{X},{\mathcal{Y}})$는 이 곱셈에 따른 역세미그룹으로, (A,g)⁻¹ = (g⁻¹, g⁻¹)가 있다.E-단위 역세미그룹 연구의 주요 결과 중 하나는 맥알리스터의 P-테오렘이다.

맥칼리스터의 P-테오렘이야Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle X\mathcal{}}$, Y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (G,{\mathcal{X},{\mathcal {Y})$은(는) McAlister 3중으로$$ 한다.그렇다면 $P{\displaystyle (G}$, ${\displaystyle X\mathcal{}}$, Y${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일 $P(G,{\mathcal{X},{\mathcal {Y})$는 E-단위 역반사 반반사군이다.반대로 모든 E-단위 역세미그룹은 이 유형 중 하나에 대해 이형성이다.^[30]

F-invers sem그룹

역세미그룹은 모든 원소가 자연적인 부분적 순서에서 그 위에 고유한 최대 요소(즉, 모든 σ-class는 최대 요소)를 갖는 경우 F-inverse라고 한다.모든 F-inverse sem그룹들은 E-unital monorid이다.맥알리스터의 커버링 정리는 M.V. 로슨에 의해 다음과 같이 정제되었다.

정리.모든 역세미그룹에는 F-inverse 커버가 있다.^[31]

McAlister의 P-theorem은 F-inverse semigroups를 특징짓는 데도 사용되었다.A McAlister triple ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ is an F-inverse semigroup if and only if ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ is a principal ideal of ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ is a semilattice.

자유역세미그룹

역세미그룹에 대해서는 자유그룹과 유사한 구성이 가능하다.세트 X에 자유역세미그룹을 표시하는 것은 비자발적인 자유역세미그룹을 고려하여, 여기서 비자발적인 것은 역수를 취하고, 그 다음 질너 조합에 의한 지수를 취함으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle \{(xx^{-1}x^{-1}x^{-1}y^{-1}y^{-1})\; \;x,y\in (X\cup X^{-1}}^{-1}}}\(X\cup X^{-1})^{+}\}\}.}$

자유역세미그룹에 대한 문제는 자유그룹에 대한 문제보다 훨씬 더 복잡하다.이 지역에서 유명한 결과는 W. D. Moonn이 자유 역세미그룹의 원소를 자연적으로 Moon tree라고 알려진 나무로 간주할 수 있다는 것을 보여주었기 때문이다.자유역세미그룹의 곱셈은 문트리에 관한 통신원이 있는데, 문트리는 기본적으로 나무의 공통부분이 겹쳐져 있다.(자세한 내용은 1998년 법률가 참조)

모든 자유 역세미그룹은 F-inverse이다.^[31]

범주 이론이 있는 연결

위의 집합 부분 변환 구성은 대칭 역세미그룹을 발생시킨다.부분 변환을 구성하는 또 다른 방법이 있는데, 위에서 사용한 것보다 더 제한적이다. 두 개의 부분 변환 α와 β는 α의 영상이 β의 영역과 같을 경우에만 구성된다. 그렇지 않으면 구성 αβ가 정의되지 않는다.이 대체 구성에서 집합의 모든 부분적인 일대일 변환의 집합은 범주 이론의 의미에서 역세미그룹이 아니라 귀납적 그룹노이드를 형성한다.역세미그룹과 귀납적 그룹오이드 사이의 이 밀접한 연결고리는 언제나 역세미그룹으로부터 귀납적 그룹오이드를 구성할 수 있다고 기술한 에흐레스만-스케인-남보리패드 정리(Ehresmann-Schein-Nambooripad Organization)에 구현되어 있으며, 반대로 귀납적 그룹오이 항상 구성될 수 있다.^[32]좀 더 정확히 말하면, 역세미그룹은 그것의 (이중) 알렉산드로프 위상에 관한 에테일 그룹인 포셋의 범주에서 정확하게 그룹형이며, 물체의 포셋이 만남-세밀라티체인 포셋이다.

역세미그룹의 일반화

위에서 언급한 바와 같이, 역세미그룹 S는 일반세미그룹과 (2) S 통근시의 일등분포트로 정의될 수 있다. 이는 역세미그룹의 두 가지 구별되는 분류, 즉 (1)이 보유하지만 (2) 보유하지 않는 세미그룹과 그 반대로 정의될 수 있다.

역세미그룹의 정규 일반화의 예는 다음과 같다.^[33]

• 정규 세미그룹: 모든 원소가 적어도 하나 이상의 역수를 갖는 경우 세미그룹 S는 규칙적이다. 동등하게, 각 a in S에 대해 축 = a와 같은 x가 S에 있다.
• 국소 역세미그룹: eSe가 역세미그룹인 경우 일반세미그룹 S는 국소적으로 각 IDempotent e에 대해 역세미그룹이다.
• 정통적인 세미그룹: 일반 세미그룹 S는 그것의 부분집합된 아이디엠포텐트가 서브그룹을 형성한다면 정통적이다.
• Generalized inverse semigroups: 정규 semgroups S는 모든 IDempentents x, y, z에 대해 그 IDempotents가 정규 대역, 즉 xyzx = xzyx를 형성하면 Generalized inverse semigroups라고 불린다.

일반화된 역세미그룹 등급은 국소 역세미그룹 등급과 정통세미그룹 등급의 교차점이다.^[34]

역세미그룹의 비정규 일반화에는 다음과 같은 것들이 있다.^[35]

• (왼쪽, 오른쪽, 양면) 적절한 세미그룹.
• (왼쪽, 오른쪽, 양면) 넉넉한 세미그룹.
• (왼쪽, 오른쪽, 양면) 반적합한 세미그룹.
• 약하게(왼쪽, 오른쪽, 양면) 충분한 세미그룹.

역분류

이 역의 개념은 또한 범주에 쉽게 일반화된다.역분류는 단순히 모든 형태론 f : X → Y가 일반화된 역 g : Y → X를 갖는 범주로 fgf = f, gfg = g.역 범주는 자기 이중이다.세트와 부분적 편향의 범주가 대표적인 예다.^[36]

역 범주는 이론 컴퓨터 과학에서 다양한 응용 분야를 찾아냈다.^[37]

참고 항목

메모들

참조

• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1967). The Algebraic Theory of Semigroups. Mathematical Surveys of the American Mathematical Society. Vol. 7. ISBN 978-0-8218-0272-4.
• Fountain, J. B. (1979). "Adequate semigroups". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 22 (2): 113–125. doi:10.1017/S0013091500016230.
• Gołab, St. (1939). "Über den Begriff der "Pseudogruppe von Transformationen"". Mathematische Annalen (in German). 116: 768–780. doi:10.1007/BF01597390.
• Exel, R. (1998). "Partial actions of groups and actions of inverse semigroups". Proceedings of the American Mathematical Society. 126 (12): 3481–4. arXiv:funct-an/9511003. doi:10.1090/S0002-9939-98-04575-4.
• Gould, V. "(Weakly) left E-ample semigroups". Archived from the original (Postscript) on 2005-08-26. Retrieved 2006-08-28.
• Howie, J. M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0198511949.
• Lawson, M. V. (1998). Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries. World Scientific. ISBN 9810233167.
• McAlister, D. B. (1974a). "Groups, semilattices and inverse semigroups". Transactions of the American Mathematical Society. 192: 227–244. doi:10.2307/1996831. JSTOR 1996831.
• McAlister, D. B. (1974b). "Groups, semilattices and inverse semigroups II". Transactions of the American Mathematical Society. 196: 351–370. doi:10.2307/1997032. JSTOR 1997032.
• Petrich, M. (1984). Inverse semigroups. Wiley. ISBN 0471875457.
• Preston, G. B. (1954a). "Inverse semi-groups". Journal of the London Mathematical Society. 29 (4): 396–403. doi:10.1112/jlms/s1-29.4.396.
• Preston, G. B. (1954b). "Inverse semi-groups with minimal right ideals". Journal of the London Mathematical Society. 29 (4): 404–411. doi:10.1112/jlms/s1-29.4.404.
• Preston, G. B. (1954c). "Representations of inverse semi-groups". Journal of the London Mathematical Society. 29 (4): 411–9. doi:10.1112/jlms/s1-29.4.411.
• Schein, B. M. (1981). "Obituary: Viktor Vladimirovich Vagner (1908–1981)". Semigroup Forum. 28: 189–200. doi:10.1007/BF02676643.
• Schein, B. M. (2002). "Book Review: "Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries" by Mark V. Lawson". Semigroup Forum. 65: 149–158. doi:10.1007/s002330010132.
• Wagner, V. V. (1952). "Generalised groups". Proceedings of the USSR Academy of Sciences (in Russian). 84: 1119–1122. 영어 번역(PDF)
• Wagner, V. V. (1953). "The theory of generalised heaps and generalised groups". Matematicheskii Sbornik. Novaya Seriya (in Russian). 32 (74): 545–632.

추가 읽기

• 역세미그룹에 대한 간략한 소개는 Clifford & Preston 1967, 7장 또는 Howie 1995, 5장을 참조한다.
• 보다 포괄적인 소개는 페트리히 1984년과 1998년 로슨에서 찾아볼 수 있다.
• Linckelmann, M. (2012). "On inverse categories and transfer in cohomology" (PDF). Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 56: 187. doi:10.1017/S0013091512000211. 액세스 사전 인쇄 열기