콘볼루션 파워

수학에서, 콘볼루션 파워는 콘볼루션 그 자체로 N-폴드 반복이다. 따라서 $x$ $x$ 이 $x$ (가) 유클리드 공간 R의^d 함수이고 $n$ $n$ 이 $n$ (가) 자연수인 경우, 다음과 같이 콘볼루션 파워를 정의한다.

x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n}\n}\message x^{*0}=\message _{0}}}}

여기서 *는 R에^d 대한 함수의 콘볼루션 작동을 나타내며 Δ는₀ Dirac 델타 분포다. 이 정의는 x가 통합 가능한 함수(L에서¹), 빠르게 감소하는 분포(특히, 압축적으로 지지되는 분포) 또는 유한 보렐 측정치인 경우 타당하다.

x가 실제 선에서 랜덤 변수의 분포 함수인 경우, x의 n^th 콘볼루션 검정력은 동일한 분포 x를 가진 n개의 독립 랜덤 변수 합계의 분포 함수를 제공한다. 중심 한계 정리에는 x가 평균 0과 분산 σ을² 가진¹ L과² L에 있으면, 그 다음이 된다.

P\왼쪽({\frac {x^{*n}}{\\sigma {\sqrt{n}}}}<\beta \right)\Phi(\beta )\quad {\rm {{as}\n\n\fto \}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 φ은 실선의 누적 표준 정규 분포다. $x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}$ 하게 x $x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}$ / $x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}$ {\ $displaystyle x^{*n}/\sigma$ {\ $sqrt{n}}}}$ 은(는) 표준 정규 분포에 약하게 경향이 $x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}$ 있다.

경우에 따라서는 임의의 real t > 0에 대해 power x를^*t 정의할 수 있다. 만약 μ가 확률 측정치라면, μ는 존재하는 한 무한히 분할될 수 있다. 각 양의 정수 n에 대해, 확률 측정은 다음과 같이 μ를_1/n 측정한다.

\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu.}

즉, 모든 n번째 뿌리를 정의할 수 있다면 척도는 무한히 분리될 수 있다. 모든 확률 측정이 무한히 분리되는 것은 아니며, 무한히 분리되는 척도의 특성화는 확률적 과정의 추상적 이론에서 중심적인 중요성이 있다. 직관적으로, 어떤 측정은 잘 정의된 "융합 로그"를 가지고 있다면 무한히 분리될 수 있어야 한다. 그러한 로그가 있는 조치의 자연적인 후보지는 (일반화된) 포아송 유형의 조치들이다.

\pi _{\pi _{\mu }=e^{-\buffer }\sum _{n=0}^{\fract{\buffer ^{n}}{n!}}}\mu ^{*n}.

실제로 레비-킨친 정리에서는 무한히 분리될 수 있는 조치가 필요한 충분한 조건은 포아송 조치의 등급의 모호한 위상에 관해서 폐쇄에 놓여 있어야 한다는 것이다(Stroock 1993, §3.2).

많은 콘볼루션 파워 애플리케이션은 콘볼루션 파워로 대체되는 파워를 가진 공식 파워 시리즈로서 분석 기능의 아날로그를 정의할 수 있는 능력에 의존한다. 따라서 $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ ) $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ = $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ = $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ z $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ ${\$ }{n}^{ $n}}}}}}}}$ 이(가) 분석 함수라면 $\textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ 정의할 수 있을 것이다.

F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{n=1}{n}x^{*n}.

x x L¹(R^d) 이상이 R에^d 대한 유한 보렐 측정치인 경우, x의 규범이 F(z)를 정의하는 원래 시리즈의 수렴 반지름보다 작다면 후자의 시리즈는 절대적으로 표준으로 수렴한다. 특히, 그러한 대책은 경련 지수화를 규정하는 것이 가능하다.

\exp ^{*(x)=\filitation _{0}+\sum _{n=1}^{n1}{\frac{x^{*n}{n!}}.

이 시리즈가 적절한 약한 의미에서 여전히 수렴되는 분포의 종류는 벤 슈다, 엘 우에드 & 우에르디안(2002)에 의해 확인되지만, 일반적으로 이 정의를 임의 분포로 확장하는 것은 가능하지 않다.

특성.

만약 x 그 자체가 적절히 다른 것이라면, 그렇다면, 콘볼루션의 특성과는 다른 것이다.

{\x^{}{}x^{*n}{\big \{}}}=({\mathcal {D}x)*^{*(n-1)=x*{\mathcal {D}{}{{}x^{}}}}}}}}}}}}

여기서 ${\mathcal {D}}$ ${\$ 은(는) 파생 연산자를 가리킨다 ${\mathcal {D}}$ . 구체적으로, 이것은 x가 콤팩트하게 지원되는 분포인지 또는 파생상품이 충분히 규칙적이어서 콘볼루션이 잘 정의되도록 하기 위해 소볼레프 공간^1,1 W에 놓여 있는지 여부를 잡아준다.

적용들

구성 랜덤 그래프에서 연결된 성분의 크기 분포는 초과도 분포의 콘볼루션 파워를 통해 표현할 수 있다(Kryven (2017).

w(n)={\preas}{\frac {\mu_{1}{1}{1}^{*n}(n-2)1,\u(0)&n=1.\end{case}}

Here, $w(n)$ is the size distribution for connected components, $u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),$ is the excess degree distribution, and $u(k)$ denotes the degree distribution.

콘볼루션 알제브라는 홉프 알제브라의 특수한 경우인 만큼, 콘볼루션 파워는 홉프 대수학에서 (보통) 파워의 특별한 경우다. 양자장 이론의 적용에서, 콘볼루션 지수, 콘볼루션 로그 및 콘볼루션에 기초한 다른 분석 기능들은 대수학의 요소들(Brouder, Frabetti & Patras 2008)에서 공식 파워 시리즈로 구성된다. 덧붙여 대수학이 바나흐 대수라면, 시리즈의 정합성은 위와 같이 결정할 수 있다. 형식적인 환경에서는 다음과 같은 친숙한 정체성이 있다.

x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)

계속 보유하다 더욱이 기능 관계의 영속성에 의해, 모든 표현이 융합 계열에 의해 오픈 세트로 잘 정의되어 있다면, 기능 수준에 머무르게 된다.

참고 항목

참조

Schwartz, Laurent (1951), Théorie des Distributions, Tome II, Herman, Paris.
Horváth, John (1966), Topological Vector Spaces and Distributions, Addison-Wesley Publishing Company: Reading, MA, USA.
Ben Chrouda, Mohamed; El Oued, Mohamed; Ouerdiane, Habib (2002), "Convolution calculus and applications to stochastic differential equations", Soochow Journal of Mathematics, 28 (4): 375–388, ISSN 0250-3255, MR 1953702.
Brouder, Christian; Frabetti, Alessandra; Patras, Frédéric (2008). "Decomposition into one-particle irreducible Green functions in many-body physics". arXiv:0803.3747 [cond-mat.str-el]..
Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403.
Stroock, Daniel W. (1993), Probability theory, an analytic view, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43123-1, MR 1267569.
Kryven, I (2017), "General expression for component-size distribution in infinite configuration networks", Physical Review E, 95 (5): 052303, arXiv:1703.05413, Bibcode:2017PhRvE..95e2303K, doi:10.1103/physreve.95.052303, PMID 28618550, S2CID 8421307.

Search

콘볼루션 파워

네임스페이스

더

목차

특성.

적용들

참고 항목

참조