세미트루 시스템

이론 컴퓨터 과학과 수학적 논리학에서 역사적으로 반Thue 시스템이라고 불리는 문자열 재쓰기 시스템(SRS)은 (일반적으로 유한한) 알파벳의 문자열을 재쓰기 시스템이다.SRS는 $다시{\displaystyle \mathrm{쓰기}}$ $규칙$이라고 불리는 알파벳을 통한 고정 문자열 사이의$$ 이진 $관계{\displaystyle }$ R$$${\displaystyle$ $R$$}$을(를$)$ 제공하면 규칙의 왼쪽과 오른쪽이 하위 문자열로 나타나는 모든 문자열(${\displaystyle u}$ v → ${\displaystyle u}$ v →${\displaystyle }$u v → u v → u v. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle usv\rig$)으로 재쓰기 관계를 확장한다$.$$htarrow utv$ $여기$서 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $s$$\},$ t ${\displaystyle$ t$\},$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u$ v ${\displaysty v}$은 문자열이다$$.

반투우 시스템의 개념은 본질적으로 모노이드의 표시와 일치한다.따라서 그것들은 모노이드와 집단의 단어 문제를 해결하기 위한 자연스러운 틀을 형성한다.

SRS는 추상적 재작성 시스템으로 직접 정의할 수 있다.그것은 또한 제한된 종류의 용어 재쓰기 시스템으로 보여질 수 있다.형식주의로서 문자열 재작성 시스템은 튜링 완결이다.^{[citation needed]}반투어는 노르웨이의 수학자 악셀 투에에서 따온 것으로, 그는 1914년 논문에서 끈 재작성 시스템의 체계적인 처리를 도입했다.^[1]Thue는 정확하게 제시된 세미그룹에 대한 단어 문제를 해결하기를 희망하며 이 개념을 도입했다.오직 1947년에만 그 문제가 해결되지 않은 것으로 드러났다. 이 결과는 에밀 포스트와 A에 의해 독자적으로 얻어졌다. A.^[2][3] 마르코프 주니어

정의

문자열 재작성 시스템 또는 세미 Thue 시스템은 튜플$({\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{\sigma }}$, ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle(\Sigma ,R)}$이며, 여기서$$

• σ은 알파벳으로, 일반적으로 유한하다고 가정한다.^[4]${\$ 집합의 원소는 σ에 유한한(여기서는 클라이네 별) 문자열로, 때로는 격식어 단어라고 부르기도 하는데, 여기서는 간단히 문자열이라고 부르겠다.
• R is a binary relation on strings from Σ, i.e., ${\displaystyle R\subseteq \Sigma ^{*}\times \Sigma ^{*}.}$ Each element ${\displaystyle (u,v)\in R}$ is called a (rewriting) rule and is usually written ${\displaystyle u\rightarrow v}$.

관계 R이 대칭이면 시스템을 Thue 시스템이라고 한다.

$R$의 재작성 규칙은 R에 따라 다시 쓸 수 있게 함으로써$$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ∗ ${\$의 다른 문자열로 자연스럽게 확장될 수 있다.$좀{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 더 형식적으로, 1단계 재작성 관계${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{R}}}$ $displaystyle {\xrigharrow[{R}]{}}}$ 문자열 $s$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ \ ${\displaystyle {\backslash }^{}}$ ${\displaystyle {\backslash }^{}}$$\$$displaystyle$s$,t\in \sigma ^{*}}}$에 대해$$R이 유도함.

${\displaystyle s{\xrightarrow[{R}]{}}t}$ if and only if there exist ${\displaystyle x,y,u,v\in \Sigma ^{*}}$ such that ${\displaystyle s=xuy}$, ${\displaystyle t=xvy}$, and ${\displaystyle u\rightarrow v}$.

Since ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{}}}$ is a relation on ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$, the pair ${\displaystyle (\Sigma ^{*},{\xrightarrow[{R}]{}})}$ fits the definition of an abstract rewriting system.Obviously R is a subset of ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{}}}$. Some authors use a different notation for the arrow in ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{}}}$ (e.g. ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{}}}$) in order to distinguish it from R itself (${\displaystyle \rightarrow }$)왜냐하면 그들은 나중에 첨자를 떨어뜨릴 수 있고 여전히 R과 R에 의해 유도된 원스텝 재작성 사이의 혼동을 피하기를 원하기 때문이다.

분명히 반-Thue 시스템에서는 \$Sigma ^{*}$의 초기 문자열 s ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ∗ ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$∗ {\$displaystyle s_{0}\}\$in \Sigma ^{*}}부터$$ 시작하여 한 번에 하나의 하위 문자열을 교체하여 반복적으로 다시 쓰는 (완료 또는 무한) 문자열을 구성할 수 있다.

${\displaystyle s_{0}\\\xrightarrow[{R}]{}}}\\xrightarrow[{R}}}\\\xrightarrow[{R}]{}}}}}}}}$

이와 같은 제로 또는 그 이상의 단계 재쓰기는${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{R}}}$$displaystyle {\xrightarrow[{R}]{*}$에 의해 표시된$$→ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{R}}}$ ${\$의 반사적 전이적 폐쇄에 의해 포착된다($$추상 재쓰기 시스템#기본 개념 참조).이것을 $R$에 의해$$ 유도된 σ $∗{\$에 대한 재작성 관계 또는 축소 관계라고 한다.

화합

일반적으로 $알파벳{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 문자열에 $∗{\$이(가) 설정된$$ 문자열이 문자열 연결의 이진 작동과 함께 자유 모노이드를 형성한다(표시를 $\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$로 표시되며$$ 기호를 삭제하여 곱으로 작성됨).In a SRS, the reduction relation ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{*}}}$ is compatible with the monoid operation, meaning that ${\displaystyle x{\xrightarrow[{R}]{*}}y}$ implies ${\displaystyle uxv{\xrightarrow[{R}]{*}}uyv}$ for all strings ${\displaystyle x,y,u,v\in {\mathrm{\Sigma }}^{\ast }}$${\displaystyle x,y,u,v\in \Sigma ^{*}}$. Since ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{*}}}$ is by definition a preorder, ${\displaystyle \left(\Sigma ^{*},\cdot ,{\xrightarrow[{R}]{*}}\right)}$ forms a monoidal preorder.

Similarly, the reflexive transitive symmetric closure of ${\displaystyle {\xrightarrow[{R}]{}}}$, denoted ${\displaystyle {\overset {*}{\underset {R}{\leftrightarrow }}}}$ (see abstract rewriting system#Basic notions), is a congruence, meaning it is an equivalence relation (by definition) and it is also compatib끈을 이어 붙이다${\$관계는$$ R이 생성하는 Thue congruence라고 한다.Thue 시스템에서, 즉 R이 대칭인 경우 다시 쓰기 관계${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{R}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\ast }}}$ ${\$은${\displaystyle \stackrel{}{}}$는) R ue {\$displaystyle{*}{\underset {R}{\좌우타로우$ $\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}$과(와) 일치한다$$.

인자 모노이드 및 모노이드 프리젠테이션

Since ${\displaystyle {\overset {*}{\underset {R}{\leftrightarrow }}}}$ is a congruence, we can define the factor monoid ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}=\Sigma ^{*}/{\overset {*}{\underset {R}{\leftrightarrow }}}}$ of the free monoid ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ by the평소와 같은 방식으로 합치한다.If a monoid ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ is isomorphic with ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{R}}$, then the semi-Thue system ${\displaystyle (\Sigma ,R)}$ is called a monoid presentation of ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$.

우리는 즉시 다른 대수학 분야와 매우 유용한 연결을 얻는다.예를 들어, 규칙 {ab → ,, ba → },}이(가) 있는 알파벳 {a, b}은(는) 빈 문자열이며, 여기서 ε은 하나의 생성기에서 자유 그룹을 표시하는 것이다.그 대신 규칙이 {ab → }, }, }에 불과하다면, 우리는 자전거 모노이드의 프레젠테이션을 얻는다.

모노이드의 표시로서 세미트슈 시스템의 중요성은 다음과 같이 더욱 강화된다.

정리:모든 모노이드에는 형식(${\displaystyle \sigma }$, R$){\displaystyle (\Sigma ,R$의 프레젠테이션이 있으므로, 항상 세미-Thue 시스템에 의해 제시될 수 있으며, 아마도 무한 알파벳에 걸쳐 표시될 수 있다.^[5]

이 맥락에서 ${\displaystyle \Sigma}$ 집합은 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 생성자 집합이라고 하며$$$,$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$은 $정의관계{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\\$의 집합으로 불리며$,$ 이들의 프리젠테이션을 기준으로 모노이드들을 즉시 분류할 수 있다.${\displaystyle \mathcal{M}}$ ${\$을(를) 호출함

• $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma$}이$($가) 유한한$$ 경우 정확히 생성됨.
• $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$과($)$ R {\$displaystyle$ R$}$이(가$$) 모두 유한할 경우 정확하게 표시된다.

다른 개념과의 연결

즉 왼쪽과 오른쪽 문의 위쪽 측면 예를 들어 terms,[6]단항의 단어를 똑같이 변수에서(기능)을 가지고 있는 semi-Thue 시스템은 또한 term-rewriting system—one. f2(f1()))→ g()){\displaystyle f_{2}(f_{1}()))\rightarrow g())}한학기 규칙 f1f2→ g{\displaystyle f_{1}f는 문자열을 규칙에 해당합니다._{2$}}\오른쪽 화살표$ g$\}.$

세미트슈 시스템도 포스트 정식 시스템의 특수한 유형이지만, 모든 포스트 정식 시스템도 SRS로 축소할 수 있다.두 형식 모두 튜링이 완성되어 있어 노암 촘스키의 무제한 문법에 해당되는데, 이를 세미투에 문법이라고 부르기도 한다.^[7]공식 문법은 알파벳을 단자와 비단어로 분리하고, 비단어 사이에서 출발 기호를 고정함으로써 반투어와 다를 뿐이다.소수의 저자는 실제로 ${\displaystyle \mathrm{반Tue}}$ 시스템을 트리플(${\displaystyle }$(${\displaystyle }$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle R}$ )${\displaystyle (\Sigma ,A,R)}$로 정의하는데$,$ 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ⊆ ∗ ∗ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$은 공리의 집합이라고 불린다$$.이 "세대적"의 정의에 따르면, 무제한 문법은 단자와 비단어로 알파벳을 분할하고, 그 공리를 비단어로 만드는 하나의 공리를 가진 반투어 시스템일 뿐이다.^[8]알파벳을 단말기와 비단말기로 분할하는 간단한 책략은 강력한 책략이다; 그것은 규칙들이 어떤 조합의 단자와 비단말을 포함하고 있는지에 기초하여 촘스키 계층의 정의를 가능하게 한다.이것은 정식 언어 이론에서 결정적인 발전이었다.

양자 컴퓨팅에서는 양자 Thue 시스템의 개념이 개발될 수 있다.^[9]양자$$ 계산은 본질적으로 되돌릴 수 있기 때문에, 알파벳 ${\displaystyle \Sigma }$에 대한 재작성 규칙은 양방향이어야 한다(즉, 기본 시스템은 반Tue 시스템이 아니라 Thue 시스템이다).${\displaystyle \mathrm{알파벳}}$ 문자 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ⊆ { ${\displaystyle$Q\$subseteq \Sigma }$의 하위 집합에는 Hilbert space $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$를 부착할 수 있으며$,$ 하위 문자열을 다른 문자열에 다시 쓰는 규칙은 문자열에 부착된 Hilbert 공간의 텐서 제품에 대해 단일 작업을 수행할 수 있음을 암시한다.설정된 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$에서 문자 수를 eservive$.$ 고전적인 경우와 유사하게, 실행된 양자 연산이 균일한 회로 등급(예: 종단 보장 시 BQP에 있는 것과 같은)에 대응한다는 점에서 양자 Thue 시스템이 양자 계산을 위한 범용 계산 모델임을 보여줄 수 있다.f 입력 크기의 다항식적으로 여러 단계 내에서 문자열 재작성 규칙 또는 동등하게 Quantum Turing 기계.

역사와 중요성

Semi-Thue 시스템은 논리에 추가 구성을 추가하기 위한 프로그램의 일부로 개발되어, 일반적인 수학 이론이 공식 언어로 표현될 수 있도록 제안 논리 같은 시스템을 만들고, 그 다음 자동적이고 기계적인 방식으로 증명되고 검증되었다.그 희망은 그때 정리가 증명하는 행위가 일련의 현악기 위에 정의된 조작으로 축소될 수 있다는 것이었다.이후 반투에 시스템은 제한되지 않은 그래머에 대해 이형성이며, 튜링 기계에 이형성이 있는 것으로 알려져 있다.이 연구 방법은 성공했고 이제 컴퓨터는 수학적인 것과 논리적인 이론의 증거를 검증하는 데 사용될 수 있다.

알론조 교회의 제안으로, 1947년에 발행된 논문에서 에밀 포스트는 처음으로 "어떤 문제"가 풀릴 수 없는 것으로 증명되었는데, 마틴 데이비스가 말하는 "...고전 수학에서 나온 문제에 대한 최초의 불굴의 증거 - 이 경우, 세미그룹에 대한 문제"라는 단어였다.^[10]

Davis는 또한 그 증거가 A에 의해 독립적으로 제시되었다고 주장한다. A. 마르코프.^[11]

참고 항목

• L-시스템
• MU 퍼즐

메모들

참조

모노그래프스

• 로널드 5세 Book and Friedrich Otto, String-rewriting Systems, Springer, 1993, ISBN 0-387-97965-4.
• 마티아스 얀첸, 컨플루언트 스트링 리필, 비르케유저, 1988년 ISBN 0-387-13715-7.

교과서

• 마틴 데이비스, 론 시갈, 일레인 J.Weyuker, Computability, 복잡성 및 언어: 이론 컴퓨터 과학의 기초, 제2편, Academic Press, 1994, ISBN 0-12-206382-1, 제7장
• 일레인 리치, 오토마타, 연산성과 복잡성: 이론과 응용, 프렌티스 홀, 2007, ISBN 0-13-228806-0, 23.5장.

설문 조사

• Samson Abramsky, Dov M. Gabbay, Thomas S. E. Maibaum(ed.), 컴퓨터 과학 논리의 핸드북: 시멘틱 모델링, 옥스퍼드 대학 출판부, 1995, ISBN 0-19-853780-8.
• Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaaa (edd.), Handbook of Formal Language: 단어, 언어, 문법, 스프링어, 1997, ISBN 3-540-60420-0.

랜드마크 페이퍼

• Emil Post (1947) Project Eucleid를 통한 The Journal of Symbolic Logic 12: 1–11의 Thue의 문제에 대한 반복 불굴의 가능성.