리스 요인 세미그룹

수학에서, 세미그룹 이론에서, 데이비드 리스의 이름을 딴 리스 인자 세미그룹(Rees quotient semigroups 또는 just Rees factor라고도 함)은, 세미그룹의 이상과 세미그룹을 사용하여 구성된 특정 세미그룹이다.

S를 세미그룹으로 하고 나는 S의 이상이 되도록 하자.S와 I를 사용하면 I 외부의 S의 요소들이 그들의 정체성을 유지하는 동안 I를 하나의 요소로 붕괴시킴으로써 새로운 세미그룹을 구성할 수 있다.이렇게 해서 획득한 새로운 세미그룹을 S모듈로 I의 Rees factor sem그룹이라고 하며 S/I로 표기한다.

Rees factor semigroup의 개념은 1940년 David Rees에 의해 도입되었다.^[1][2]

형식 정의

A subset ${\displaystyle I}$ of a semigroup ${\displaystyle S}$ is called an ideal of ${\displaystyle S}$ if both ${\displaystyle SI}$ and ${\displaystyle IS}$ are subsets of ${\displaystyle I}$ (where ${\displaystyle SI=\{sx\mid s\in S{\text{ and }}x\in I\$$\}\},$ 그리고 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle IS}$에 대해서도 이와 유사하게.$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$을(를) 세미그룹 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 이상.$$$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $정의$한 관계 $\$ {\$displaystyle$ \$rho }.$

x ρ y ⇔ x = y 또는 x와 y가 모두 I에 있음

is an equivalence relation in ${\displaystyle S}$. The equivalence classes under ${\displaystyle \rho }$ are the singleton sets ${\displaystyle \{x\}}$ with ${\displaystyle x}$ not in ${\displaystyle I}$ and the set ${\displaystyle I}$. Since ${\displaystyle I}$ is an ideal of ${\di$정의에 의해 S{S\displaystyle}의 S에서 Splaystyle S}, 관계 ρ{\displaystyle \rho}은 일치{S\displaystyle}.[3]은 지수 준군 S/ρ{\displaystyle S/{\rho}}는 리스 인자 반군의 나머지 나는. 기호법의 편리성 등이 전 반군 S/ρ{\d 들어{\displaystyle 1세}.isp$laystyle S/\rho }$ is also denoted as ${\displaystyle S/I}$. The Rees factor semigroup^[4] has underlying set ${\displaystyle (S\setminus I)\cup \{0\}}$, where ${\displaystyle 0}$ is a new element and the product (here denoted by ${\displaystyle *}$) is defined by

${\displaystyle s*t={\begin}st&{\text}{{\text{{}s,t,st\setminus I\0&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

위에서 정의한$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 조합 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을(를) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ modulo$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaysty I}$에 대한 조합이라고 한다$.$

예

다음 Cayley 테이블에 의해 정의된 이진 연산을 가진 Sem그룹 S = { a, b, c, d, e }을(를) 고려하십시오.

·	a	b	c	d	e
a	a	a	a	d	d
b	a	b	c	d	d
c	a	c	b	d	d
d	d	d	d	a	a
e	d	e	e	a	a

Let I = S의 하위 집합인 { a, d }.이후

SI = {a, ba, ca, da, ea, ad, bd, dd, ed } = { a, d ⊆ I

IS = {a, da, ab, db, ac, dc, ad, dd, ae, de } = { a, d ⊆ I

1세트는 S의 이상이다.S modulo I의 Rees factor semigroup은 다음 Cayley 표에 의해 정의된 이진 연산을 가진 S/I = { b, c, e, I } 집합이다.

·	b	c	e	I
b	b	c	I	I
c	c	b	I	I
e	e	e	I	I
I	I	I	I	I

이상연장

A가 S의 이상이고 Rees factor semigroup S/A가 B와 이형이라면, Semigroup S는 Semigroup B에 의해 Semigroup A의 이상적인 확장이라고 불린다.^[5]

광범위하게 연구되어 온 사례들로는 완전하게 단순한 세미그룹의 이상적인 확장, 완전히 0단순의 세미그룹에 의한 그룹의 이상적인 확장, 0단위가 추가된 그룹에 의한 해제가 있다.일반적으로, 세미그룹의 모든 이상적인 확장을 설명하는 문제는 여전히 열려 있다.^[6]

참조

• Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.

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