바일 방정식

양자장 이론
파인만 도표
역사
배경 장 이론 전자기학 약한 힘 강한 힘 양자역학 특수상대성 일반상대성 게이지 이론
대칭 양자역학의 대칭 C대칭 P-대칭 T-대칭 공간 번역 대칭 시간 변환 대칭 회전 대칭 로렌츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자연대칭파단 양-밀스 이론 노에더 전하 위상 전하
도구들 변칙 교차 유효장 이론 기대값 파데예프-포포프 유령 파인만 도표 격자 게이지 이론 LSZ 환원식 파티션 함수 전파자 수량화, 정규화 리노말화 진공 상태 윅의 정리 와이트먼 공리
방정식 디라크 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-드위트 방정식 바그만-위그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기와크 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전 이론 위상 양자장 이론 끈 이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자 중력
과학자들 앤더슨 안셀름 아티야 바그만 베치 벨라빈 벤더 베테 비요르켄 블뤼어 보골류보프 브로스키 브라우트 갈색 부홀츠 캘런 캐스웰 콜먼 콘스 다센 드위트 디락 도플리처 다이슨 잉글러트 파데예프 파딘 페르미 파인만 피에르즈 포크 프레덴하겐 프리츠슈 프롤리히 털로 덮인 글래쇼 글림 겔판트 겔만 골드스톤 그리보프 징그럽다 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 헵 힉스 하겐 't 후프트' 일리오풀로스 잇직슨 이바넨코 재키우 재피 조나라시니오 조던 조스트 켈렌 카플란 카슬러 켄달 키블 클레바노프 콘체비치 쿠라예프 양고기 란다우 리 리 레만 르페이지 리파토프 낮음 뤼데르 마이아니 메이저나나 몰다세나 미그달 밀스 뮐러 나이마르크 남부 네베우 니시지마 오메 오펜하이머 오스터왈더 파리시 파울리 폴리티저 폴리아코프 포메란추크 포포프 프로카 루바코프 루엘 살람 슈바르츠 슈윙거 시걸 세이베르크 세메노프 시르코프 스카이르메 스토라 슈테켈베르크 수다르산 시만지크 서링 토모나가 튜틴 벨트만 비라소로 병동 와인버그 바이스코프 갠젤 웨스 웨테리히 바일 윅 와이트먼 위그너 윌체크 윌슨 비튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 짐머만 진 저스틴 주버 주미노
v t

물리학에서, 특히 양자장 이론에서, Weyl 방정식은 Weyl Fermion이라고 불리는 질량 없는 스핀-1/2 입자를 기술하기 위한 상대론적 파동 방정식이다.이 방정식은 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 이름을 따서 명명되었다.Weyl Fermion은 세 가지 종류의 초등 페르미온 중 하나이고, 다른 두 종류는 Dirac과 Majorana 페르미온이다.

스탠더드 모델의 기본 입자는 Weyl Fermion이 아니다.중성미자 진동이 확인되기 전에는 중성미자가 바이엘 페르미온일 가능성이 있는 것으로 간주되었다(지금은 디락이나 마요르나 페르미온일 것으로 예상된다).응축물리학에서는 Weyl 페르미온처럼 작용하는 퀘이파르티클을 표시할 수 있는 일부 물질들이 Weyl semimetals 개념으로 이어진다.

수학적으로, 어떤 디라크 페르미온도 질량 용어와 결합된 반대 치례성의 두 바일 페르미온으로 분해될 수 있다.^[1]

역사

디락 방정식은 1928년 폴 디락이 상대론적 양자역학의 틀에서 스핀-다이아크 입자를 처음으로 기술하면서 발표한 것이다.^[2]독일의 수학자 겸 수학적 물리학자 헤르만 바일(Hermann Weyl)은 1929년 디라크 방정식의 단순화된 버전으로서 그의 방정식을 발표했다.^[2][3]볼프강 파울리는 1933년에 웨일의 방정식에 대해 평등을 위반했다는 이유로 반대했다.^[4]그러나 3년 전, 파울리는 베타 붕괴를 설명하기 위해 새로운 초기의 페르미온인 중성미자의 존재를 예측했었는데, 결국 같은 방정식을 사용하여 설명되었다.

1937년 코니어스 헤링(Conyers Hering)^[5]은 웨일 페르미온(Weyl Fermion)이 응축 물질에 퀘이파르티클(quasiparticle)으로 존재할

중성미자는 1956년에 질량이 사라지는 입자로 최종 확인되었다.^[4]같은 해 Wu 실험은 약한 상호작용에 의해 동등성이 침해되었다는 것을 보여주었다.이어 1958년 중성미자 고정 나선성의 실험적 발견이 이어졌다.^[4]게다가, 실험에서 중성미자 질량의 징후가 보이지 않자, Weyl 방정식에 대한 관심이 다시 나타났다.따라서, 표준 모델은 중성미자가 Weyl 페르미온이라는 가정 하에 만들어졌다.^[4]

이탈리아의 물리학자 브루노 폰테코르보가 1957년에 중성미자 질량과 중성미자 진동 가능성을 제안했던 반면, 1998년에야 비로소 슈퍼카미오칸데가 그 존재를 확인했다.^[4][4]이 발견은 웨일의 방정식이 중성미자의 전파를 완전히 설명할 수 없다는 것을 확인시켜 주었다.^[2]

2015년 M.Z의 협업을 통해 최초의 Weyl 세미메탈이 탄탈룸 비소 결정체(${\displaystyle \text{TaAs}}$ ${\$에서 실험적으로 입증되었다. 하산(프린스턴대)과 H.딩(중국과학아카데미) 팀.^[5]독립적으로 같은 해 M. 솔자치치팀(매사추세츠 공과대)도 와일(Weyl)이 광결정에서 흥분하는 것을 관찰했다.^[5]

방정식

Weyl 방정식은 두 가지 형태로 나타난다.오른손잡이 양식은 다음과 같이 쓸 수 있다.^[6][7][8]

${\displaystyle \chostma ^{\mu }\reason _{\mu }\reason =0}$

이 방정식을 확장하고, 빛의 속도를 위해$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 삽입하면, 이 방정식은

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

어디에

${\displaystyle \mu ^{\mu ^}={\\pmatrix}\pma ^{0}&\pma ^{1}&\pma ^{2}&\nd{pmatrix}={\pmatrix}}={\matrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}}$

$\mu {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu =0$${\displaystyle \}}$의 경우 2×2 ${\displaystyle {ID\mathrm{}}_{}}$ $매트릭스{\displaystyle {}_{}}$ $I_{2}},$ $\mu {\displaystyle }$ =${\displaystyle }$0 {\displaystyle \$mu$= $1$,$2,$ 3,${\$$displaysty \psi}$의 구성 요소가 파동함수인 벡터로서$,$ Weyl 스피너 중 하나이다.Weyl 방정식의 왼손 형태는 보통 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle {\bar}}^{\mu }\filename _{\mu }\filename =0}$

어디에

${\displaystyle {\bar {\pma}^{\mu}={\matrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}~.}$

오른손잡이와 왼손잡이 웨일 방정식의 해법은 다르다. 각각 오른손잡이와 왼손잡이의 나선성을 가지고 있고 따라서 치례성을 가지고 있다.It is convenient to indicate this explicitly, as follows: ${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$ and ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

평면파 솔루션

Weyl 방정식에 대한 평면파 용액은 좌우측 Weyl 스피너라고 하며, 각각 두 개의 구성요소를 가지고 있다.둘 다 형태가 있다.

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$,

어디에

${\displaystyle \chi ={\pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

모멘텀-추적 2성분 스피너로 만족

${\displaystyle \sigma ^{\p_{\mu }\chi =\왼쪽(I_{2}E-{\vec {\sigma }}}}}\cdot {\vec}\p}\오른쪽)\chi =0}$

또는

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$.

직접 조작으로 그것을 얻는다.

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^$${\mu }p_{\mu }\오른쪽)\chi =p_{}p^{\mu$ }\p^{}\mu $}\chi =\left(E^{2}-{\vec{p}}\cdot{\vec}\p}\오른쪽)\chi =0$

그리고 방정식은 질량이 없는 입자에 해당한다고 결론짓는다.결과적으로 모멘텀 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 크기는 De Broglie 관계에 의한$$ 파형 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ k ${\$과(와) 직접 관련된다$$.

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} = {\frac {\hbar \ophbar \omega }{c}\Rightarrow \, \mathbf {k} = {\frac {\omega}{c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

이 방정식은 왼손 및 오른손 스피너 측면에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle{\begin}\sigma ^{\mu }}\psi _{\rm {R}=0\\\\\bar {\sigma }^{\mu }\psi _{\rm {L}=0\end}}}정렬}}$

나선성

왼쪽 및 오른쪽 구성요소는 입자의$$ 나선성 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$에 해당하며$,$ 각도 모멘텀 $연산자{\displaystyle \mathbf{}}$ J ${\$의 선형 $모멘텀{\displaystyle \mathbf{}}$ p$${\$displaysty \mathbf {p}:$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left \mathbf {p},\lambda \mathbf {p} \lambda \right\rangele}$

여기 $\lambda$=$$± $1\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{2}{}$. ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

로렌츠 불변성

Both equations are Lorentz invariant under the Lorentz transformation ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$ where ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$ More precisely, the equations transform as

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

여기서 $†{\$은(는) 오른손잡이 필드가 다음과 같이 변환되는 경우 은둔자의 전치물이다.

${\displaystyle \psi _{\rm {R}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}^{\rm}^{premy }\왼쪽(x^{\premy }\오른쪽)=S\psi _{\rm {R}(x)}$

매트릭스 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle S\in SL(2,\mathb {C} )$은 주어진$$$$ $특별$ 선형 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$S L ( ${\displaystyle 2}$,$$) ${\displaystyle \mathb {C}$에 의한 로렌츠 그룹의 이중 덮개를 통해 로렌츠 변환과 관련된다.

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\lambda ^{\mu }}}{\nu }=\좌측(S^{-1}\오른쪽)^{\dager }\sigma _{\nu }S^{-1}:{-1}$

따라서 한 로렌츠 프레임에서 확인되지 않은 미분차가 사라지면 다른 프레임에서도 사라진다.유사하게

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline{\sigma }^{\mu }{\frac {\partial }{\p^{\mu }\psi _{\rm {L}(x)}}$

왼손잡이 필드가 다음과 같이 변환할 경우

${\displaystyle \psi _{\rm {L}(x)\mapsto _{\rm {}^{\l}}\premy }\좌(x^{\premy }\오른쪽)=\좌(S^{\dager }\l)^{-1}\rm{{{{{{{L}}}}~}}}.$

증명: 이러한 변환 속성 중 어느 것도 "불확실한" 것은 아니며, 따라서 신중하게 파생될 가치가 있다.양식으로 시작

${\displaystyle \psi _{\rm {R}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}^{\premy }\왼쪽(x^{\premy }\오른쪽)=R\psi _{\rm {R}(x)}$

일부 알 수 없는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{S}}$ ${\displaystyle L\mathrm{}}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle R\in \mathrm {SL}(2,\mathb {C})}$을(를) 결정하려는$$ 경우.로렌츠 변환(좌표)은

${\displaystyle x^{\premy \mu }={\lambda ^{\mu }}{\nu }x^{\nu }}}}}}}$

또는 동등하게

${\displaystyle x^{\nu }={\\lambda ^{-1}\오른쪽)^{\nu }}{\mu }x^{\prime \mu }}}}}}}}}}{\mu \mu }}}}}}"$

이 되다

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu ^}{\frac {\partial x^{\nu }{\partial x^{\preme }{\partial x^{\nu }}}{\rm {R}(x)\\&=\sigma ^{\mu ^{\lambda ^{-1}\오른쪽)^{\nu }{\frac }{\partial x^{\nu }}}R\rm {R}(x)\\\&=\sigma ^{\mu ^{\lambda ^{-1}\오른쪽)^{\nu }}}{\nu }}}{\nu }R\psi _{\rm {R}(x)\ended}}}}}}}}}}$

Weyl 지도를 사용하기 위해서.

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\lambda ^{\mu }}}{\nu }=\좌측(S^{-1}\오른쪽)^{\dager }\sigma _{\nu }S^{-1}:{-1}$

몇 개의 지수를 올리고 내려야 한다.이것은 그 정체성을 불러 일으키기 때문에 말하기는 쉽지만 행하기는 어렵다.

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf{T}\eta =\Lambda ^{-1}$

여기서 $\eta {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{diag}}$(${\displaystyle }$+ 1,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1$)은$$ 플랫 스페이스 Minkowski 메트릭이다$.$위의 ID는 종종 $elements{\displaystyle \mathrm{}s\mathrm{}}$ S${\displaystyle \mathrm{O}}$ (${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$ )${\displaystyle }$. ${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO}$ ($1,$3) 요소를 정의하는 데 사용된다$.$$}$ 전치(戰治)를$$ 취하는 자:

${\displaystyle {\lambda ^{-1}\lambda ^{-1}}{\nu }}={\nu }}{\lambda ^{-1}{\mathsf{T}\오른쪽)_{\mu ^{\nu }}}}}}}}}}}$

글을 쓰다

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

따라서 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle$ S$^{-1}R=1,},$ $즉$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle R=S.}$ 왼손 방정식에 대해 동일한 조작을 수행하면$$ 원형이 복원된다.

${\displaystyle \psi _{\rm {L}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}^{\premy }\왼쪽(x^{\premy }\오른쪽)=L\psi _{\rm {L}(x)}$

$L{\displaystyle }$=${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{†}^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$. ${\displaystyle L=\왼쪽(S^{\daugger$}\오른쪽$)^{-1}.$$}$^[a]

메이저나와의 관계

Weyl 방정식은 질량이 없는 입자를 설명하는 것으로 해석된다.그러나 약간 변경하면 Majorana 방정식의 2개 성분의 버전을 얻을 수 있다.^[9]이는 특수 선형 그룹 S ${\displaystyle \mathrm{L}}$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle C\mathbb{}}$) ${\displaystyle \mathrm {SL}(2,\mathb {C})$이(가) 공통 그룹 S $p{\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle \mathrm{2}}$,${\displaystyle \mathrm{C}}$ ${\displaystyle )}$에 대해 이형이기 때문에$$ 발생한다${\displaystyle \text{.}}$ ${\displaysty \mathrmatrm {Sp}(2,\mathb {C}).$$$ 공통점 그룹은 만족하는 모든 복잡한 2×2 행렬의 집합으로 정의된다.

${\displaystyle S^{\mathsf{T}\omega S=\omega }$

어디에

${\displaystyle \omega =i\bma _{2}={\bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

정의 관계는 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$=${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{†}^{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \omega S^{*}=\좌측(S^{\dager }\오른쪽)^{-1}\omega }$로 다시 쓸 수 있으며, $여기$서 S ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ S$^{*}$은 복합 결합이다.앞에서 언급한 바와 같이 오른손 필드는 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle \psi _{\rm {R}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}^{\rm}^{premy }\왼쪽(x^{\premy }\오른쪽)=S\psi _{\rm {R}(x)}$

그래서 복잡한 결합 장은

${\displaystyle \psi \psi \{\rm {R}^{\premy *}\premy *}\premy }\오른쪽)=S^{*}\psi _{\rm {R}^{*}(x)}$

정의 관계를 적용하면 다음과 같이 결론짓는다.

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

앞서 언급한 로렌츠 공분산 속성과 정확히 동일하다.$따라서{\displaystyle }$ 임의 복합 위상 계수 =${\displaystyle }$= e ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\varphi }^{}}$ ${\$= e$^{i\phi }}}}$을(를) 사용한 선형 결합.

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\psi _{\mu }\psi _{\rm {R}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}^{*}(x)}$

공변량 방식으로 변환; 이것을 0으로 설정하면 복잡한 2-성분 Majorana 방정식이 제공된다.Majorana 방정식은 일반적으로 2-성분 복합 방정식이 아닌 4-성분 실제 방정식으로 작성된다. 위의 내용은 4-성분 형식으로 작성될 수 있다(자세한 내용은 해당 기사 참조).마찬가지로 좌-치랄 Majorana 방정식(임의 위상 인자 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$ 포함$)$은 다음과 같다.

${\displaystyle i{\{\sigma}}^{\mu }\psi _{\rm {L}(x)+\zeta m\omega \ \}{\rm{*}^{*(x)=0}$

앞에서 언급한 바와 같이 좌우 치랄 버전은 패리티 변환에 의해 관련된다.스큐 콤플렉스 공극 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma$^{$2}\$$psi$}}}}}을(를) $\psi$의 충전$$ 공극 $형태$로 인식할 수 있으므로$,$ Majorana 방정식은 스핀과 충전 공극 형태를 연결하는 방정식으로 읽을 수 있다${\displaystyle \text{.}}$질량 조건의 두 가지 뚜렷한 위상은 전하 결합 연산자의 두 가지 고유한 고유값과 관련이 있다. 자세한 내용은 전하 결합 및 Majorana 방정식을 참조한다.

연산자 쌍을 정의하십시오. Majorana 연산자,

${\displaystyle D_{\rm {L}=i{\\overline {\sigma }^{\mu }+\zeta m\partial _{\mu}}}}}\mu }\eta m\omegaK}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 복잡한 결합을 취할 것을 단적으로 상기시킨다.로렌츠 변환에서 이러한 변환은

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

반면 Weyl 스피너는

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

위와 같이따라서 이들 조합의 일치된 조합은 로렌츠 공변량이며, 어떤 조합은

${\displaystyle D_{\rm {L}\psi _{\rm {L}=0\qquad D_{\rm {R}\psi _{\rm {R}=0}$

복잡한 2-spinor Majorana 방정식의 한 쌍으로.

$D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle D_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {R\mathrm{}}_{}}$ ${\${$L}D_{\$rm {$R}}$및 D$$ ${\displaystyle R_{}{}_{}}$ D $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\$rm$}D_{\rm$ {L$}} 제품$은 모두 로렌츠 공변량이다$$.제품은 명시적으로

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

Verifying this requires keeping in mind that ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ and that ${\displaystyle Ki=-iK~.}$ The RHS reduces to the Klein–Gordon operator provided that ${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$, that is ${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$ These two Majorana op따라서 오퍼레이터는 클라인-고든 운영자의 "제곱근"이다.

라그랑고 밀도

방정식은 라그랑고 밀도로부터 얻어진다.

${\displaystyle {\mathcal {L}=i\psi _{\rm {R}^{\dager }\sigma ^{\mu }\partial _{\rm _{\rm {R},},}$

${\displaystyle {\mathcal {\l}=i\psi _{\rm {L}^{\dager }{\bar {\sigma }}}^{\mu }\psi _{\rm {L}}.}$

스피너와 그 결합체$(†{\displaystyle }$ ${\displaystyle \doger$ $\})$를 독립 변수로 처리함으로써 관련 Weyl 방정식을 얻는다.

바일 스피너

또한 Weyl spinor라는 용어는 클리포드 대수학의 특정 요소로서 좀 더 일반적인 환경에서 자주 사용된다.이것은 위에서 주어진 해법과 밀접한 관련이 있으며, 다지관에 사는 기하학적 물체로서 스피너에게 자연스러운 기하학적 해석을 준다.이 일반적인 설정에는 여러 가지 강점이 있다: 물리학에서 그들의 해석을 페르미온으로 명확히 하고, 일반상대성이론에서 스핀을 정의하는 방법, 또는 실제로 어떤 리만 다지관이나 사이비-리만 다지관에서도 스핀을 정의하는 방법을 정확하게 보여준다.이것은 비공식적으로 다음과 같이 스케치되어 있다.

Weyl 방정식은 로렌츠 그룹의 작용에 따라 불변한다.부스트와 회전이 적용되면서 방정식의 형태 자체가 변하지 않는다는 뜻이다.그러나 스피너 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$의 형식 자체는$$ 변경된다.스페이스타임을 완전히 무시한 채, 스피너의 대수학은 (복잡한) 클리퍼드 대수학으로 설명된다.스피너는 스핀 그룹의 작용에 따라 변한다.이것은 벡터에 대해 어떻게 말할지, 그리고 그것이 회전 그룹 아래에서 어떻게 변모하는지와 완전히 유사하다. 다만, 지금은 그것이 스피너들의 경우에 적응되어 있다는 것을 제외하면 말이다.

Given an arbitrary pseudo-Riemannian manifold ${\displaystyle M}$ of dimension ${\displaystyle (p,q)}$, one may consider its tangent bundle ${\displaystyle TM}$. At any given point ${\displaystyle x\in M,}$ the tangent space ${\displaystyle T_{x}M}$ is a ${\displaystyle$$(p,q)}$차원$$ 벡터 공간.이 벡터 공간을 감안하여 클리포드 대수 ${\displaystyle \mathrm{C}}$ $l{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle (p}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl}(p,q)}$을(를) 그 위에$$ 구성할 수 있다.$\{{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{e_{i}\}}}}$이(가) $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$에 대한 벡터 공간 기반인 경우$,$ 한 쌍의 Weyl 스피너를 다음과^[10] 같이 구성할 수 있다.

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\1}{\sqrt {2}}}\왼쪽(e_{2j}+ie_{2j+1}\오른쪽)}$

그리고

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\1}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\왼쪽(e_{2j}-ie_{2j+1}\오른쪽)}$

클리포드 대수학에 비추어 적절하게 검사했을 때, 이것들은 자연적으로 반 커밍(anti-communication), 즉 w ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle j_{}.{}_{}}$ ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j$}_{j$}}.$$$ 이것은 파울리 배타 원리의 수학적인 실현으로 기쁘게 해석될 수 있으며, 따라서 추상적으로 정의된 이러한 형식 구조들이 페르미온으로 해석될 수 있도록 한다.$({\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( 1,${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$) ${\디스플레이스타일(p,q)=(1,3)}$차원$$ Minkowski 공간 타임에 대해서는 위에서 설명한 대로 "좌"와 "우"로 명명된 관례에 의해 가능한 그러한 스피너는 두 개뿐이다.Weyl 스피너에 대한 보다 공식적이고 일반적인 프레젠테이션은 스핀 그룹에 관한 기사에서 찾을 수 있다.

Weyl 방정식의 추상적이고 일반적-관계주의적인 형태는 다음과 같이 이해할 수 있다: 사이비-리만 다지관 $M{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ M$,}$가 주어진다면, 그 위에 섬유 묶음을 구성하고, 스핀 그룹을 섬유로 한다.The spin group ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ is a double cover of the special orthogonal group ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$, and so one can identify the spin group fiber-wise with the frame bundle over ${\displaystyle M~.}$ When this is done, the resulting structure is ca회전 구조물을 휘감았다.

섬유에서 단일 지점을 선택하면 스페이스타임에 대한 로컬 좌표 프레임을 선택하는 것과 일치한다. 섬유에서 두 개의 다른 지점은 a (로렌츠) 부스트/회전, 즉 국부 좌표 변화에 의해 연관된다.스핀 구조의 자연적 거주자는 웨일 스피너인데, 스핀 구조는 스피너들이 (로렌츠) 부스트/회전 하에서 어떻게 행동하는지 완전히 설명한다는 점에서 그렇다.

스핀 다지관의 경우, 미터법 연결의 아날로그는 스핀 연결이다. 이것은 단지 일정한 방식으로 스핀 지수를 부착하는 것만으로, 사실상 정상 연결과 "동일한 것"이다.공변량 파생상품은 전적으로 전통적인 방식으로 연결 관점에서 정의될 수 있다.그것은 클리포드 다발에서 자연스럽게 작용한다; 클리포드 다발은 스핀들이 사는 공간이다.그러한 구조와 그 관계에 대한 일반적인 탐구는 스핀 기하학이라고 불린다.

특례

Weyl Spinter로 구성할 수 있는 세 가지 중요한 특별한 케이스가 있다.하나는 디락 스피너로, 한 쌍의 웨일 스피너, 한 쌍의 왼손, 그리고 한 쌍의 오른손잡이로 받아들여질 수 있다.이것들은 전기충전된 페르미온장을 나타내기 위해 함께 결합된다.전하가 발생하는 이유는 Dirac 필드가 ${\displaystyle {\mathrm{복잡한}}^{}}$ 스핀 그룹 S p ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ C${\displaystyle {}^{}}$(p${\displaystyle }$, ${\displaystyle q}$)의 작용으로 변환하기 때문이다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \mathrmatrm {Spin} ^{\mathb {C}}}(p,q)$${}$ 이 그룹의$$ 구조는

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathb {C}}}}(p,q)\cong \mathrmat {Spin}(p,q)\time _{\mathb {Z} _{2}}S^{1}}$

${\displaystyle 여기}$서 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U}(1)$은 원이며, 전자성의 $U$${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \mathrm {U}(1$)로 식별할 수 있다.The product ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ is just fancy notation denoting the product ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$ with opposite points ${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$ identified (a double covering).

Majorana Spinor는 다시 한 쌍의 Weyl Spinter이지만, 이번에는 왼손용 Spinter가 오른손용 Spinter의 전하결합이 되도록 배열되었다.결과는 디락 스피너보다 자유도가 2도 낮은 들판이다.$s{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{i}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ {$spin} ^{\mathb{C}}$ 그룹의$$ 작용에 따라 스칼라로 변환하기 때문에 전자기장과 상호작용할 수 없다.즉, 스피너로서 변하지만 횡단적으로 변하여, 스핀 그룹의 U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$ $){\displaystyle \mathrm$ {$U}($1) $동작$에 따라 불변한다.

세 번째 특수 케이스는 ELKO 스피너로, 충전-콘주게이트 쌍 사이에 추가 마이너스 기호가 있는 것을 제외하고 Majorana 스피너처럼 많이 제작되었다.이것은 다시 전기적으로 중성화시키지만, 다른 꽤 놀라운 특성들을 많이 도입한다.

메모들

참조

추가 읽기

• McMahon, D. (2008). Quantum Field Theory Demystified. USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154382-8.
• Martin, B.R.; Shaw, G. (2008). Particle Physics. Manchester Physics (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-03294-7.
  • Martin, Brian R.; Shaw, Graham (2013). Particle Physics (3rd ed.). ISBN 9781118681664 – via Google Books.
• LaBelle, P. (2010). Supersymmetry Demystified. USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-163641-4 – via Google Books.
• Penrose, Roger (2007). The Road to Reality. Vintage Books. ISBN 978-0-679-77631-4.
• Johnston, Hamish (23 July 2015). "Weyl fermions are spotted at long last". Physics World. Retrieved 22 November 2018.
• Ciudad, David (20 August 2015). "Massless yet real". Nature Materials. 14 (9): 863. doi:10.1038/nmat4411. ISSN 1476-1122. PMID 26288972.
• Vishwanath, Ashvin (8 September 2015). "Where the Weyl things are". APS Physics. Vol. 8. Retrieved 22 November 2018.
• Jia, Shuang; Xu, Su-Yang; Hasan, M. Zahid (25 October 2016). "Weyl semimetals, Fermi arcs and chiral anomaly". Nature Materials. 15 (11): 1140–1144. arXiv:1612.00416. Bibcode:2016NatMa..15.1140J. doi:10.1038/nmat4787. PMID 27777402. S2CID 1115349.

외부 링크

• http://aesop.phys.utk.edu/qft/2004-5/2-2.pdf
• http://www.nbi.dk/~~ppe/random/ll/l2.1987
• http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf
• http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf