킬링벡터장

수학에서 빌헬름 킬링의 이름을 딴 킬링벡터 필드(흔히 킬링필드라고 불리기도 함)는 미터법을 보존한 리만 다지관(또는 사이비-리만 다지관)의 벡터 필드다. 킬링 필드는 등위계의 극소수 생성기, 즉 킬링 필드에서 생성되는 흐름은 다지관의 연속 등위계다. 보다 간단히 말하면, 그 흐름은 대칭을 생성하는데, 킬링 벡터의 방향으로 물체의 각 점을 같은 거리로 이동시키면 물체의 거리가 왜곡되지 않는다는 것이다.

정의

특히, 미터법 g의 X에 관한 거짓말 파생상품이 사라지는 경우 벡터 필드 X는 킬링 필드다.^[1]

${\displaystyle {\mathcal{L}_{X}g=0\,.}$

레비-시비타 연결로 보면, 이것은

${\displaystyle g\왼쪽(\nabla _{Y}X,Z\오른쪽)+g\왼쪽(Y,\nabla _{Z}X\오른쪽)=0\,}$

모든 벡터 Y 및 Z에 대해. 로컬 좌표에서 이것은 킬링 방정식에^[2] 해당된다.

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}$

이 조건은 공변량 형태로 표현된다. 따라서 모든 좌표계에 고정시키기 위해 선호 좌표계로 설정하기에 충분하다.

예

시계방향으로 가리키고 각 지점에서 길이가 같은 원의 벡터장은 킬링 벡터장이며, 이 벡터장을 따라 원의 각 점을 이동하면 단순히 원이 회전하기 때문이다.

쌍곡면에서의 킬링 벡터

A toy example for a Killing vector field is on the upper half-plane ${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$ equipped with the Poincaré metric ${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$. 쌍$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$을(를) 일반적으로 쌍(M , g )이라고 하며 킬링 벡터 ${\displaystyle {필드}_{}}$ $∂$ x {\$displaystyle \partial _{x}($표준 좌표 사용)가 있다. 공변량 파생상품 ${\displaystyle {\nabla {\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ g ${\displaystyle \nabla$ \nabla $_{\partial _{x}g}$은 벡터 필드에서 생성된 적분 곡선을 따라 메트릭을$$ 전송하므로(이미지가 x축과 평행인 경우) 직관적으로 명확해야 한다.

2-sphere의 필드 킬링

2-sphere $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 또는$$임의의 구의 킬링 필드는 어떤 의미에서 일반적인 직관으로부터 "불확실"해야 한다: 구체 대칭인 구들은 어떤 축에 대하여 극미량의 회전으로 생성되는 킬링 필드를 가져야 한다. 이것은 적절한 추상화 수준에서는 심지어 직진이다. 그러나 좌표 차트의 관점에서 명시적으로 표현했을 때 킬링 필드는 그 본질을 흐리게 하는 명백한 구조를 가지고 있다. 이것은 아래에 설명되어 있다. 이 "불확실" 구조는 구가 아닌 다지관에 일반적이며, 따라서 2-sphere는 킬링 필드의 직관적인 해석을 탐구할 수 있는 좋은 장난감 모델을 제공한다.

구체에 대한 전통적인 측정기준은

${\displaystyle g}$ (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle {sin\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}(}$ (${\displaystyle }$) ) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 {\$displaystyle$ g$(\Oomega$)=$d\the ^{2}+\sin ^{2}(\theta )d\phi ^{2$

그리고 분명히 극을 중심으로 회전하는 것은 등위계측정이 되어야 한다. 그러면 회전의 최소 생성기는 킬링 필드의 생성기로 식별할 수 있다. 이것은 즉시 기록할 수 있다: 그것은 그렇다.

${\displaystyle U=\partial _{\pi }}$

단위 길이로 정규화되었다는 점에 유의하십시오. 구체의 표면은 2차원이고, 그래서 명백하게 다른 등위성의 발생기가 있다; 그것은 다음과 같이 받아들여질 수 있다.

${\displaystyle V=\partial _{\theta }}$

킬링필드는 두 킬링필드의 거짓말쟁이가 여전히 킬링필드라는 속성을 갖고 있다. 그러므로, 다지관 M의 킬링 필드는 M의 벡터 필드의 Lie 하위격자를 형성한다. 어느 정도 관심사는 이 대수학의 치수(생성기는 몇 개인가?)와 그 구조 상수 - 이 대수학의$$ 정형근거 $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots }$, ${\displaystyle e_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {{\mathrm{fj}}_{}}^{}}$.${\displaystyle k^{}}$ ${\$에 나타나는$$${\displaystyle }${${\displaystyle e{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ e ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ i ${\displaystyle k_{}}$? {\$displaystyle \left[e_},e_{j}\right]={f_{$ij}^{$k}e_{k}}}?$$}$

$W{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle W=[U,V]}$을(를) 직접 계산하면 사인(sine)과 코사인(cosin)의 불이 켜지지 않는 폭발이 일어난다$$. 이것은 분명하지 않을 것이다; 확실히 적도 equator${\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle \theta =\pi$/2$}$에서$,$ 하나는 [${\displaystyle \partial {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\varphi }_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$= 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle \left[\partial ]{\pi },\partial _{\ta}\}\right]=0$]=0.$}$ However, moving off of the equator, the two vector fields ${\displaystyle \partial _{\phi }}$ and ${\displaystyle \partial _{\theta }}$ are no longer orthonormal, and so, in general one has ${\displaystyle \left[\partial _{\phi },\partial _{\theta }\right]\neq 0}$ for a point ${\displaystyle (}$${\displaystyle \theta }$ ,${\displaystyle \varphi }$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{2}} 일반$ 위치$$. 더 나쁜 것은 대수적 차원을 얻기 위해서는 $U{\displaystyle }$, V${\displaystyle }$, ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U,V,W}$이(가) 대수적 3차원화(대수를 3차원화)에 대해 완전하고 선형적으로 독립된 기반을 형성하고$$ 있다고 판단하거나$,{\displaystyle }$ 또는 [${\displaystyle U}$ ${\displaystyle ,}$ $]$ {\$displays$]를 계산하여 얻은 제4, 제5, 제5의 (선적으로 독립된) 벡터 장이 존재할 가능성이 있다고 판단해야 한다.$[U,W]}$과$({\displaystyle }$와${\displaystyle )}$ [${\displaystyle U}$ ,${\displaystyle W}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [U,[U,W]]}$ 등$$. 대수학이 2차원 또는 3차원이라고 믿는 특별한 선행 이유는 없다; 이것은 어떻게든 증명되어야 한다. 구체 좌표계는 그러한 계산에 따르지 않는다.

가장 간단한 해결책은 3D 유클리드 공간에 구를 내장한 다음 정류자가 직진하는 직진법$$ 카르테시안 $좌표{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle$ x$,y,z}$에서 작업하는 것이다. 기존의 3-공간 좌표계는 다음과 같다.

$\displaystyle x=\sin \theta \cos \cos \phi \qquad y=\sin \sin \sin \phi \qquad z=\cos \theta}$

$\{\$_{\$pi$}}}은$($는) z {\displaystyle $z}$ -축에$$ 대한 회전으로 인식됨$$

${\displaystyle R=x\partial _{y}-y-\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}}}$

$두{\displaystyle }$ 번째 제너레이터는 x ${\displaystyle x}$ -축에$$ 대한 회전입니다.

${\displaystyle S=z\partial _{y}-y-\partial _{z}}$

$이{\displaystyle }$ 두 개의 T${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle R}$, S ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle T=[R,S]}$을(를) 통근하면 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ -축에$$ 대한 회전을 위한 세 번째 제너레이터를 즉시 찾을 수 있다.

${\displaystyle T=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

이것이 완전한 근거를 형성한다는 것은 다음과 같은 점에 유의함으로써 쉽게 검증된다.

$[R,S]=T\quad [S,T]=R\quad [T,R]=S}$

하나는 2-sphere의 킬링 필드의 리 대수(Lie 대수)가 3차원이며, 세트 $R{\displaystyle }$, ${\displaystyle S}$ , ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R,S,T}$는 대수학의 완전한 기초를 제공한다고$$ 결론짓는다. 이것들이 $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= L ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\L}_{R}g={\mathcal{L}}g={S}g={\mathcal{L}}}}}}}{\mathcal}}}}{{$L}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$T}g=0}$은(는) 시공에서 쉽게 확인할 수 있거나$$, 사후 사실의 직접 검증이 가능해야 한다. 벡터 필드로서 그것들은 전지구적으로 직교하지 않으며, 일반 위치의 점들에 대한 직교도 단위 길이도 아니다. '투프트나 대머리 부분을 남기지 않고 구 위에 머리를 빗을 수 없다'는 점에서 '요정공 정리'로는 글로벌 정상화가 불가능하다.

이러한 벡터장을 더 직교하거나 정상화하려는 시도는 성과가 없으며, 비엘베인 좌표계에서 일하는 것 외에 특별히 더 단순화 가능한 것은 없다. 이 특별한 경우 $x{\displaystyle }$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,y,z}$ 좌표계에서$$ 작업하면 호지 듀얼(3차원의 교차 제품)을 적용할 수 있다. 결과 벡터는 접선 공간 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 있지 않으며$,$ "다지관의 바깥쪽"도 마찬가지 입니다. They are everywhere normal to the sphere; the coordinates ${\displaystyle x,y,z}$ are extrinsic, as compared to the intrinsic coordinates ${\displaystyle \theta ,\phi }$. The utility of doing this is that now, in the embedding space ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, the Hodge duals ${\displaystyle \ast R,\ast S,\ast T}$$[\displaystyle *R,*S,*T}$은(는) 전지구적 정형외과적(즉, 구의 모든 점에서 정형외과적)이다$$.

내장 좌표계 $system{\displaystyle }$ ,${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta ,\phi }$에서 작업하면 벡터 필드 중 하나를 단위 길이로 만들 수 있을 만큼 쉽다$.$ 일반 상대성에서의 일반적인 관례(예: 슈바르츠실트 좌표)에 의해 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ -축에$$ 대한 회전 생성기가 된다. 이것을 정상화하고, 이것을 구면 좌표로 표현하면, 사람은

${\displaystyle {\reasoned}R^{\prime }&={\frac {R}{\sin ^{2}\}\thea}}}}}\partial _{\pt]S^{\prime }&={\frac {S}{\sin ^{2}\theta}}}}=\sin \phi \,\party _{\theta \}+\cot \\cot \\cos \py \,\\pt]T^{\prime }&={\frac {T}{\sin ^{2}\theta \}}}=\cos \phi \,\partifial \cot \theta \,\sin \phie \,\partified}}}}}}}}}}}$

그리고 중계자가 여전히 다음을 보유하고 있는지 쉽게 확인할 수 있다.

$왼쪽[R^{\premy },S^{\premy }\오른쪽]=T^{\prime }\quad \left[S^{\prime }}}T^{\prime }\right]=R^{\prime }\quad \left[왼쪽]T^{\premy }}R^{\premy }\right]=S^{\prime }}$

이것들은 대수학의 세 발전기들이다. 물론 이것들의 다른 (비감속) 선형 결합도 대수학을 생성하게 될 것이다. 다소 비협조적인 계산에 주목하라: 비록 구의 표면이 2차원적이어서, 사람들은 두 개의 뚜렷한 등위계를 기대하지만, 한 사람은 사실, 더 많은 것을 가지고 있다. 이 다소 놀라운 결과는 대칭 공간의 총체적인 특성이다. 이것은 더 나아가, 아래에 카르탄 분해로 설명된다: 다지관의 각 지점에서 킬링 장의 대수학은 자연스럽게 두 부분으로 갈라지는데, 그 중 하나는 다지관에 접하고, 그 중 하나는 (선택한 지점에서) 소멸한다.

민코스키 공간의 킬링필드

민코프스키 공간의 킬링 필드는 3개의 공간 번역, 시간 번역, 3개의 회전(작은 그룹) 생성기, 3개의 부스트 생성기다. 이것들은

• 시간 및 공간 변환

  ${\displaystyle \cHB _{t}~~,\qquad \cHB _{x}~~,\qquad \cHB _{z};}$

• 벡터장이 세 개의 회전을 생성하는데, 흔히 J 발전기라고 불리기도 한다.

  ${\displaystyle -y\properties _{x}+x\properties _{y},\qquad -z\properties _{z}+z\pair _{x};}$

• 벡터장이 세 개의 부스트를 생성하는데, K 발전기,

  $_\displaystyle x\t\pair_{t}+t\pair_{x}~,\qquad y\pair_{t},\qquad z\pair_{t}+t\pair_{z}.}$

그들은 함께 로렌츠 그룹을 생성한다. 그 기사에 대해 자세히 알아보세요.

일반 상대성에서의 킬링 필드

킬링 필드의 대표적인 용도는 일반 상대성(중력장에 의해 왜곡된 스페이스타임의 기하학을 4차원 사이비-리만 다지관으로 보는)에서 대칭을 표현하는 것이다. 시간에 따라 아무것도 변하지 않는 정적 구성에서 시간 벡터는 킬링 벡터가 될 것이고, 따라서 킬링 필드는 시간에 따라 전진 운동 방향을 가리킬 것이다. 예를 들어, 슈바르츠실트 메트릭스는 4개의 킬링 필드를 가지고 있다: 한 개의 시간 유사 항목과 그것의 구형 대칭에서 비롯된 두 개의 등위 항목이다; 이것들은 위의 구체 좌표계에 대해 표시된 세 개의 항목으로 분할된다. 커 메트릭은 타임라이크 필드와 축 대칭 필드(Kerr 솔루션은 회전하는 블랙홀에 해당하며, 수직 대칭이 아니며, 회전 축에 대해 축 대칭일 뿐)의 두 개의 킬링 필드만 가지고 있다. 예를 들어 Schwarzschild 좌표 #킬링 벡터 필드를 참조하십시오.

상수 좌표의 킬링 필드

If the metric coefficients ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ in some coordinate basis ${\displaystyle dx^{a}\,}$ are independent of one of the coordinates ${\displaystyle x^{\kappa }\,}$, then ${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,}$ is a Killing vector, where ${\displaystyle {\Delta }_{}^{}}$ $displaystyle \delta$ ^[3]$_{\cappa }^{\mu }\,}}}}$은 크론커 델타다.

To prove this, let us assume ${\displaystyle g_{\mu \nu },_{0}=0\,}$. Then ${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,}$ and ${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$

이제 킬링 조건을 살펴봅시다.

${\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

$그리고{\displaystyle {}_{}}$ g ${\displaystyle 0_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ g ${\displaystyle {\sigma }^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ Δ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho$ 0}g^{\rho \$sigma }=\delta _{0}^{0}{\sigma$ $\}\backslash \}\}\}\}\}.$ 살상 조건이 된다.

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\nu }-(g_{0\mu,\nu }+g_{0\nu,\mu \nu}-{\mu \nu,0},},}$

즉, $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{\mu \nu }}_{}}$,${\displaystyle {}_{}0{}_{}}$= 0 ${\displaystyle g_{\mu \nu,0}=0$ 즉 사실이다.

• 물리적 의미는 예를 들어, 측정계수 중 어느 것도 시간의 함수가 아닐 경우, 다지관은 자동으로 시간과 같은 킬링 벡터를 가져야 한다는 것이다.
• 비전문가의 용어로, 만약 물체가 시간(시간이 경과할 때)에 변형되거나 "진화"되지 않는다면, 시간이 흘러도 물체의 측도는 변하지 않을 것이다. 이와 같이 공식화된 결과물들은 서로 연관되어 있는 것처럼 들리지만, 사람들은 그 예가 매우 고안되었다는 것을 이해해야 한다: 킬링 필드는 훨씬 더 복잡하고 흥미로운 사례에도 적용된다.

특성.

킬링 필드는 특정 지점의 벡터와 그 구배(즉, 해당 지점에서 필드의 모든 공변량 유도체)에 의해 고유하게 결정된다.

두 킬링필드의 거짓말쟁이는 여전히 킬링필드다. 따라서 다지관 M의 킬링 필드는 M의 벡터 필드의 리 하위 골격을 형성한다. M이 완성되면 다지관의 등측계 그룹의 Lie 대수다. 리만 다지관은 이성계의 전이적 집단을 가진 동질성 공간이다.

컴팩트 매니폴드의 경우

• 음의 리치 곡률이란 비교(비영(0) 킬링 필드가 없다는 것을 의미한다.
• 비양성 Ricci 곡면성은 모든 킬링 필드가 평행하다는 것을 의미한다. 즉, 벡터 필드를 따라 공변량 유도체는 동일한 0이다.
• 단면 곡률이 양이고 M의 치수가 짝수인 경우 킬링 필드는 0이어야 한다.

모든 킬링 벡터 필드의 공변량 차이가 사라진다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 킬링 벡터 필드이고 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle Y}$이(${\displaystyle 가}$) 고조파 벡터 필드라면 g ($X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ )${\displaystyle$g$(X,Y)}$은 고조파 함수다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 킬링 벡터 필드이고 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$}이$$(가) 조화 p-form인 경우, ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Ω = ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle {\l}_{X}\mathcal$}\$mote =0\,$$}$

지리학

각각의 킬링 벡터는 지질학을 따라 보존되는 양에 해당한다. 이 보존량은 킬링 벡터와 지오데틱 탄젠트 벡터 사이의 미터법 산출물이다. 즉, 일부 어핀 매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$, ${\displaystyle \lambda ,}$을(를) 포함한 지오데틱을 따라 방정식을 말한다.

${\d_{d}{d\lambda }}}\왼쪽(K_{\mu }{dx^{\mu }}}{d\lambda }}\오른쪽)=0}$

만족하다 이것은 대칭으로 틈틈이 운동을 분석적으로 연구하는 데 도움이 된다.^[4]

카르탄 분해

위에서 언급했듯이 두 킬링필드의 눕방은 여전히 킬링필드다. The Killing fields on a manifold ${\displaystyle M}$ thus form a Lie subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ of all vector fields on ${\displaystyle M.}$ Selecting a point ${\displaystyle p\in M~,}$ the algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ can be decomposed into two parts:

${\displaystyle {\mathfrak{h}}=\{X\in {\mathfrak {g}:X(p)=0\}}$

그리고

${\displaystyle {\m}=\{X\in {\mathfrak {g}:\nabla X(p)=0\}}$

여기서$$ $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla$}은$($는) 공변량 파생상품이다. These two parts intersect trivially but do not in general split ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. For instance, if ${\displaystyle M}$ is a Riemannian homogeneous space, we have ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$ if and only if ${\displaystyle M}$ is a Ri에만인의 대칭 ^[5]공간

직관적으로 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 등각도가 전체 공간의 하위$$ $관리형{\displaystyle }$ N ${\displaystyle N}$을 로컬로$$ 정의하고, 킬링 필드는 하위 관리형 공간을 "슬라이드"하는 방법을 보여준다. 그들은 그 서브매니폴드의 접선 공간에 걸쳐 있다. 접선 공간 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{p}N}$은(는) 그 지점에서 효과적으로 작용하는 등위계와 동일한 치수를 가져야 한다$$. 즉, T ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cong m\mathfrak{}}$. ${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak{m}.}$그러나 일반적으로$$ 킬링 필드의 수는 그 접선 공간의 치수보다 크다. 어떻게 이럴 수가 있지? 정답은 "추가" 킬링 필드가 중복된다는 것이다. 모든 것을 종합하면, 필드는 선택된 특정 지점의 접선 공간에 대해 지나치게 완전한 기초를 제공한다.; 선형 결합은 특정 지점에서 사라지도록 만들어질 수 있다. 이는 2-sphere의 킬링 필드의 예에서 볼 수 있다: 킬링 필드가 3개 있다. 주어진 지점에서 두 필드는 접선 공간에 걸쳐 있고, 세 번째 필드는 다른 두 필드의 선형 결합이다. 임의의 두 개를 선택하면 $;$ {\$displaystyle {\mathfak${m$};}$ 나머지$$ 퇴행 선형 결합은 직교 공간 $h{\displaystyle \mathfrak{}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}$을(를) 정의한다.$}$

카르탄 비자발

카르탄 비자발성은 지오데틱 방향의 미러링 또는 반전으로 정의된다. 그것의 미분은 접선의 방향을 지오데틱으로 뒤집는다. 이 연산자는 표준 1의 선형 연산자로 고유값 +1과 -1의 두 개의 불변 하위 공간을 가지고 있다. 이 두 하위 영역은 각각$$ $p{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$p}$과(와$$) $m{\displaystyle \mathfrak{}}$, {\$displaystyle {\mathfak {m}$에 해당한다.

이것은 좀 더 정밀하게 만들 수 있다. Fixing a point ${\displaystyle p\in M}$ consider a geodesic ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ passing through ${\displaystyle p}$, with ${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ The involution ${\displaystyle \sigma _{p}}$ is defined as

${\displaystyle \pma _{p}(\pair(\pairda )=\pair(-\pairda )}$

$이{\displaystyle {}_{}^{}}$ 지도는 비자발적인 것으로서, 그 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{p}{}_{}^{}}$2${\displaystyle }$= 1.$${\$displaystyle \sigma _{p}^{2$}=1$.}$ 킬링 필드를 따라 지오데틱스로 제한했을 때$$, 그것은 분명히 등측량법이기도 하다. 그것은 독특하게 정의되어 있다.

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 킬링 필드에서 생성되는 등각도 집합으로$$ 한다. $함수{\displaystyle {}_{}}$ s${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s_{p:$$다음$에 의해 정의된$$ G$\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\bma _{p}\bma _{p}=\bma _{p}\bma _{p}^-1}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 동형상이다$.$ 그 무한 imal ${\displaystyle p_{}}$ : ${\displaystyle g\mathfrak{}{}_{}}$→ ${\$ \theta$_{p}:{$p}:{g}\$mathfrak {g}to {\mathfrak {g}$은(는)이다.

$\displaystyle \theta _{p}(X)=\왼쪽.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\왼쪽(e^{\lambda X}\오른쪽)\오른쪽 _{\lambda =0}}}$

그 점에서 카르탄 비자발성은 리 대수적 동형상이다.

${\displaystyle \theta \{p}[X,Y]=\왼쪽[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\오른쪽]}$

모든 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$. ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}~.}$에 대해$$ 하위 공간 $m{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 카르탄 비자발적으로 홀수 패리티를 가지며$$, $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 짝수 패리티를 가진다$$. 즉, P $지점{\displaystyle }$ P${\displaystyle m}$ M$${\$displaystyle p\in$M}에서 카르탄 비자발성을 ${\displaystyle p_{}}$ p$${\$displaystyle \theta_{p}$로 나타내는 것이다.

$왼쪽.\theta _{p}\오른쪽 _{\mathfrak{m}=-Id}$

그리고

$왼쪽.\theta _{p}\오른쪽 _{\mathfrac {h}=+Id}$

$여기$서 I ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle Id}$은(는) ID 맵입니다. From this, it follows that the subspace ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ is a Lie subalgebra of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, in that ${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$ As these are even and odd parity subspaces, the Lie brackets split, so that$$${\displaystyle }$[ ${\displaystyle h,}$ $]{\mathfak{h},{\mathfrak{m}}}\mathfrak{m}}},$${\displaystyle }$[$,$ ${\displaystyle m\mathfrak{}}$], ${\mathfrak{m$ ${\mathfrak{m}}}, {\mathfrak$ {$h}},$ {\mathfrak {h}}}}},},}},},},},},},},},},},},}, {\matmathfrak.},},},},

위 분해는 대칭 공간 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대한$$ 모든 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$ p${\displaystyle }${$$M {\$displaystyle p\in$ M$}$에서 유지되며$,$ 증거는 Jost에서 찾을 수 있다.^[6] 또한 더 일반적인 설정에서 유지되지만 반드시 다지관의 모든 지점에서 유지되지는 않는다.^{[citation needed]}

대칭 공간의 특수한 경우, ${\displaystyle T_{}}$ p ${\displaystyle {}_{}m}$m;$${\$displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak{m};},$ 즉$$ 킬링 필드가 대칭 공간의 전체 접선 공간에 걸쳐 있다는 것을 명시적으로 가지고 있다. 마찬가지로 곡률 텐서는 국소 대칭 공간에서 공변적으로 일정하며, 따라서 이 텐서는 국소적으로 평행할 수 있다. 이것이 Cartan-Abrose–이다.힉스 정리.

일반화

• 킬링 벡터 필드는 일부 스칼라 $\lambda$에 ${\displaystyle {}_{}}$ L X g${\displaystyle }$= ${\displaystyle \lambda }$ g ${\$displaystyle ${\l}_{X}g$=\$lambda$ g$\}}$에 의해$$ 정의된 순응 킬링 벡터 필드로 일반화할 수 있다${\displaystyle .}$ ${\displaysty \lambda .}$정규격 맵의 한 파라미터 패밀리는 순응 킬링 필드다.
• 킬링 텐서 필드는${\displaystyle \mathrm{}}$symmet ${\displaystyle T}$ {\$displaystyle \nabla T\}$의 대칭영역 중 트레이스가 없는 부분이 사라지는$$ 대칭 텐서 필드 T이다. 킬링 텐서가 있는 다지관의 예로는 회전하는 블랙홀과 FRW 우주론이 있다.^[7]
• 벡터 필드의 킬링 벡터 필드는 우리가 어떤 (비금속성) 다지관 M에서도 정의될 수 있다. 만약 우리가 이등변수의 그룹 대신에 그것에 작용하는 Lie 그룹 G를 취한다면 말이다.^[8] 이 넓은 의미에서 킬링 벡터 필드는 그룹 작용에 의해 G에 있는 우측 불변 벡터 필드의 푸시 포워드다. 그룹 작용이 유효하다면 킬링 벡터 필드의 공간은 G의 리 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$에 이형화된다.

참고 항목

• 아핀 벡터장
• 곡률 콜라인먼트
• 호모테틱 벡터장
• 킬링폼
• 킬링 지평선
• 킬링 스피너
• 물질연관
• 스페이스타임 대칭

참조