마티외 함수

수학에서, 때때로 각도 마티외 함수로 불리는 마티외 함수는 마티외 미분 방정식의 해법이다.

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}+(a-2q\cos 2x)y=0,}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 매개 변수다.그것들은 진동하는 타원형 드럼헤드를 연구하다가 마주친 에밀 레오나르 마티외에 의해 처음 소개되었다.^[1][2][3]그들은 광학, 양자역학, 일반 상대성 이론과 같은 물리 과학의 많은 분야에 응용을 한다.그것들은 주기적인 움직임과 관련된 문제나 타원 대칭을 갖는 부분 미분방정식 경계값 문제 분석에서 발생하는 경향이 있다.^[4]

정의

마티외 함수

일부 사용 환경에서 마티외 함수는 ${\$$displaystyle a}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 임의 값에 대한 마티외 미분 방정식의 솔루션을 가리킨다$.$ 혼동이 발생하지 않을 경우 다른 저자들은 $the{\displaystyle }$ {\$displaystyle \pi$ 또는 ${\displaystyle 2}$ \ ${\displaystytyle 2\pi }$ -periodic$$ 솔루션을 구체적으로 참조하기 위해 이 용어를 사용한다.{\displaystyle q} 그러한 주기적인 해결책은{\displaystyle}의 가치관을 무한한 번호, 특징, 전통적으로 두개의 분리된 시퀀스가 n(q)로 인덱싱 된 팀을 존재하는{\displaystyle}과 q의 특별한 가치들을 위해서만 존재하다 좀 더 정밀하게, 주어진(진짜)q에 .[5]{\displaystyle q}.${\displaystyle a_{n}(q)}$ and ${\displaystyle b_{n}(q)}$, for ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$. The corresponding functions are denoted ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$, respectively.그것들은 때때로 첫 번째 종류의 코사인-엘리틱과 사인-엘리프틱 또는 마티외 함수로도 불린다.

$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$이(가) 진짜라고$$ 가정한 결과 특성 번호와 관련 함수가 모두 실제 값이다.^[6]

${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}x}$ ,${\displaystyle q}$$$) ${\$$displaystyle$ ${\text{ce}_{n}(x,q)}$ 및$$ ${\displaystyle {\text{se}}_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}q}$ )${\displaystyle {\\text{se}_{n}($$,q$$)}$은 패리티 및 주기성에 따라 다음과 같이 추가로 분류할 수 있다$$.$$^[5]

함수	패리티	기간
${\displaystyle {\text{ce}_{n},\n{\text{짝수}}}$	짝수	$\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{ce}_{n},\n{\text{ 홀수}}}$	짝수	${\displaystaystyle 2\pi }$
${\displaystyle {\text{se}_{n},\n{\text{짝수}}}$	기묘한	$\displaystyle \pi }$
${\displaystyle {\text{se}_{n},\n{\text{ 홀수}}}$	기묘한	${\displaystaystyle 2\pi }$

특성 숫자를 오름차순으로 정렬하기 위한 서빙$$외에 $정수{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$n}을${\displaystyle {}_{}}$를) 사용한 인덱싱은 ${\displaystyle {\text{ce}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle q}$ $){\displaystyle$ ${\ce}_{$$n$$x,q)$이$$cos n${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$${\displaystyle }$,$displaysty \cos$)에$$ 비례하는$$ 점에서 편리하다.$nx}$ and ${\displaystyle \sin nx}$ as ${\displaystyle q\rightarrow 0}$. With ${\displaystyle n}$ being an integer, this gives rise to the classification of ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{n}}$ as Mathieu functions (of the first kind) of integra나는 주문한다.일반적인$a{\displaystyle }$ {\$displaystyle a}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$의 경우, 이러한 솔루션 외에 비주기적 솔루션뿐만 아니라 부분 순서의 Mathieu 기능을 포함하여 솔루션을 정의할 수 있다.

수정된 마티외 함수

Radial Mathieu 함수로도 알려진 수정된 Mathieu 함수가 밀접하게 연관되어 있으며, 이는 Mathieu의 수정된 미분 방정식의 해법이다.

${\daystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}-(a-2q\cosh 2x)y=0,}$

which can be related to the original Mathieu equation by taking ${\displaystyle x\to \pm {\rm {i}}x}$. Accordingly, the modified Mathieu functions of the first kind of integral order, denoted by ${\displaystyle {\text{Ce}}_{n}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{$$Se}}_{n}(x,q)}$은$($는) 에서 정의됨^[7]

${\displaystyle {\begin{aigned}{\text{Ce}_{n}(x,q)&={\text{ce}}{\rm {i}x,q).\\{\text{Se}}_{n}(x,q)&=-{\rm {i}\,{\text{se}_{n}({\rm {i}x,q).\end{정렬}}}$

$이러한{\displaystyle }$ 함수는 x ${\displaystyle x}$이(가) 실제일$$ 때 실제 값이 계산된다.

정규화

이 조항 전반에 걸쳐 채택될 공통적인 정상화는 요구 사항이다.^[8]

${\displaystyle \int_{0}^{2\pi }{\text{ce}_{n}(x,q)^{2}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{n}}}{n}}(x,q)^{2}dx=\pi }}}}$

as well as require ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)\rightarrow +\cos nx}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)\rightarrow +\sin nx}$ as ${\displaystyle q\rightarrow 0}$.

플로케 이론

마티외 미분 방정식의 많은 성질은 플로케 이론이라 불리는 주기 계수를 가진 일반 미분 방정식의 일반 이론에서 추론할 수 있다.그 중심 결과는 플로케의 정리다.

그것은{\displaystyle}의 σ 결과 그러한 가치와 같이 특성상 숫자들은(q){\displaystyle a(q)}연결할±1{\displaystyle \sigma =\pm 1}.[10]참고 그러나 정리만 적어도 하나의 해결책의 존재는 y(x+π)을 만족시키기를 보장한다)σ y()){\displaystyle은 당연하다. y(x+$\pi )=\sigma y(x)}$마티유의 방정식이 실제로 $주어진{\displaystyle }$ 모든 것에 대해 두 개의 독립적 해답을 가지고 있을 때$,$$$$q{\displaystyle }$ $[\displaystyle q$ 실제로 특성$$숫자 중 $하나$와 동일한 {\displaystyle $a}$를 가진 마티유의 방정식은 하나의 주기적 해법($즉{\displaystyle }$, 기간 period: ${\displayst$)만 있는 것으로 밝혀진다.$yle \pi }$ or ${\displaystyle 2\pi }$), and this solution is one of the ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$, ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$. The other solution is nonperiodic, denoted ${\displaystyle {\text{fe}}_{n}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{ge}}_n(x,}$${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {\text{ge}_{n}(x,q)},$ 각각$$두 번째 종류의 마티외 함수라고 한다.^[11]이 결과는 공식적으로 Ince의 정리라고 말할 수 있다.

플로케의 정리에 대한 동등한 진술은 마티유의 방정식이 복잡한 형태의 해답을 인정한다는 것이다.

${\displaystyle F(a,q,x)=\exp(i\mu \,x)\,P(a,q,x),}$

여기서 $[\$$displaystyle$ $\$$mu }$은(는) 복합수, 플로케트 지수(또는 때로는 마티외 지수) $및{\displaystyle }$ P ${\$$displaystyle$ P$}$은(는$)$ $주기적$인 $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle x}$의 복합 값 함수$.$ $예시{\displaystyle }$P$(a$가 오른쪽에 표시된다$.$

기타 유형의 Mathieu 함수

제2종

마티외 방정식은 2차 미분 방정식이기 때문에 두 개의 선형 독립 솔루션을 구성할 수 있다.플로케의 이론에 따르면 ${\displaystyle a}$이(가) 특성 숫자와 같을 경우 이러한 해법 중 하나는 주기적인 것으로, 다른 하나는 비주기적인 것으로 취할 수 있다.주기적인 솔루션은 ${\displaystyle \mathrm{cen}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x ,${\displaystyle q}$ )${\displaystyle {\text{ce}_{n}(x,q)}$과 ${\displaystyle {\text{se}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$ ,$){\displaystyle{\text}}}{n}(x,q)$ 중 하나로$,$ 첫 번째 종류의 적분 순서의 마티외 함수라고 불린다.비주기적 것은 ${\displaystyle \mathrm{각각}}$ ${\displaystyle {\text{fe}}_{}}$ n (${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle q}$ )${\displaystyle {\text{fe}_{n}(x,q)}$과 ${\displaystyle {\text{ge}}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$ ,$){\displaystyle {\text{ge}}}{n}(x,q)$중 하나로 표시되며, 두 번째 종류의 마티외 함수라고 불린다.비주기적 솔루션은 불안정하며, 즉,${\displaystyle }z{\displaystyle }$→ ± ${\displaystyle \mathrm{\infty }}${\$displaystyle z\rightarrow \pm \inflt$ \pm \infit $}$으로 분산된다$.$^[13]

수정된 Mathieu 함수 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {\textyle{Ce}{n}(x,q)}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {\text}$에 해당하는 두 번째 솔루션$Se}}_{n}(x,q)}$은(는) 자연스럽게 ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle q}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {\text{$$Fe}}_{n}(x$$,$$q)=-i{\text{fe}_{n}(x$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle q}$$)}$과(${\displaystyle \mathrm{ge}}$, q${\displaystyle )={\text{g}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}x}$,$)={\displaystyle{Ge}}={\text{n}}(x, q$

분수순서

Mathieu functions of fractional order can be defined as those solutions ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$, ${\displaystyle p}$ a non-integer, which turn into ${\displaystyle \cos px}$ and ${\displaystyle \sin$$px}$을(를) $q{\displaystyle }$→ ${\displaystyle 0}$으로. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle q\$오른쪽 $화살표$ 0$\}.$^[7] p ${\displaystyle p}$이(가) 비합리적인 경우에는$$ 비주기적이지만,${\displaystyle }x{\displaystyle }$ → $【\displaystyle x\오른쪽$ 화살표 $\infty }$로 경계를 유지한다$.$

An important property of the solutions ${\displaystyle {\text{ce}}_{p}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{p}(x,q)}$, for ${\displaystyle p}$ non-integer, is that they exist for the same value of ${\displaystyle a}$. In contrast, when ${\displaystyle p}$ is an integer$,$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$ ,$){\displaystyle {\text{ce}_{p}(x,q)}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$, $){\$$displaystyle$ ${\text{se}_{p}(x,q$$)\}\}$은(위의 Ince 정리 참조)의 동일한 값에 대해 결코$$ 발생하지 않는다.

이러한 분류는 아래 표에 요약되어 있다.수정된 마티외 함수 상대방은 유사하게 정의된다.

마티외 함수의^[14] 분류

주문	제1종	제2종
적분	${\displaystyle {\text{ce}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{fe}_{n}(x,q)}$
적분	${\displaystyle {\text{se}_{n}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{ge}_{n}(x,q)}$
분수 (${\displaystyle }$ $[\displaystyle p}$ 비필수$$)	${\displaystyle {\text{ce}_{p}(x,q)}$	${\displaystyle {\text{se}_{p}(x,q)}$

명시적 표현 및 계산

제1종

제1종류의 마티외 함수는 푸리에 시리즈로 나타낼 수 있다.^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ce}}_{2n}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r}^{(2n)}(q)\cos(2rx)\\{\text{ce}}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infty }A_{2r+1}^{(2n+1)}(q)\cos \left[(2r+1)x\right]\\\text{se}_{2n+1}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infit }B_{2r+1}^{{2r+1}^{{n+1)}(q)\sin \left[(2r+1)x\right]\\\text{see}_{2n+2}(x,q)&=\sum _{r=0}^{\infit }B_{2r+2}^{(2n+2)}}}}(q)\sin \left[(2r+2)x\right]\\end{정렬}}}$

The expansion coefficients ${\displaystyle A_{j}^{(i)}(q)}$ and ${\displaystyle B_{j}^{(i)}(q)}$ are functions of ${\displaystyle q}$ but independent of ${\displaystyle x}$. By substitution into the Mathieu equation, they can be shown to obey three-term recurrence relations in하위 지수예를 들어, 각 ${\displaystyle {\text{ce}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\$에^[15] 대해 찾을 수 있음

$♪ 디스플레이 스타일 {\displaystyle}aA_{0}-qA_{2}&=0\\(a-4)A_{2}-q(A_{4}+2)A_{0}&=0\\(a-4r^{2})A_{2r}-q(A_{2r+2}+A_{2r-2})&=0,\quad r\geq 2\end{arged}}}$

지수 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2r}$에서 2차 반복이 발생하므로$,$ 일반 솔루션이 두 개의 선형 조합으로 표현될 수 있도록$$ 항상 두 개의 독립 솔루션 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$과 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$2}$r}$을 찾을 수 있다.${\$$2$$Y_{2r$ 게다가 이 특별한 경우, 점증적 분석은^[16] 하나의 가능한 근본적 해결책이 그 속성을 가지고 있음을 보여준다.

${\displaystyle {\begin}X_{2r}&=r^{-2r-1}\좌측(-{\frac {e^{2}q}{4}\우측)^{r}\좌측[1+{\mathcal{O}(r-1})\우측]\\Y_{2r}&=r^{2r-1}\좌측(-{\frac {4}{e^{2}q}\우측)^{r}\좌측[1+{\mathcal{O}}(r^{-1}\오른쪽]\end{arged}}}}}}}}$

특히 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$는 유한한 반면$$, Y ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}${\$displaystyle Y_{2r}}$는 분산된다.$쓰기{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle 2_{}}$ r${\displaystyle {}_{}}$= c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ X ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ r ${\$$2$}따라서 $Y_{2r$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\$}n$}$의 푸리에 시리즈 표현이 수렴되려면$$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty c_{2}=0}$과 같은 ${\displaystystyle a}$을(를) 선택해야 한다$$$.$${\displaystyle$ a$}$의 이러한 선택은 특성 숫자에 해당된다$$.

그러나 일반적으로 가변 계수를 갖는 3기 재발의 해법은 단순하게 나타낼 수 없으므로 c2 = $[\displaystyle c_{2}=0}$ 조건으로부터 ${\displaystyle a}$을(를) 결정할 수 있는 간단한 방법이 없다$.$게다가 특성 숫자의 대략적인 값을 알더라도 c.$숫자$로 r ${\displaystyle r}$을(를) 증가시키는 방향으로 재발을 반복함으로써$$ 계수 A ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$을(를) 얻기 위해 주석을 사용한다$.$그 이유는 ${\displaystyle a}$이(가) 특성 숫자에 근사치만$$ 하는 $한{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$2 {\$displaystyle c_{$2}은$($는)$$동일한 0 {\$displaystyle 0}$이(가) 아니며, 다이버전트 솔루션 $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle$ $Y_{2r}$이 결국$$ $충분히$ 큰 $}$을 지배하기 때문이다$.$

이러한 문제를 극복하기 위해서는 보다 정교한 반분석적/수리적 접근법이 필요하다. 예를 들어, 지속적인 분수 확장을 이용하거나,^[17][5] 매트릭스 고유값 문제로 재발을 제기하거나,^[18] 역재발 알고리즘을 구현하는 것이다.^[16]3기 재발 관계의 복잡성은 마티외 함수와 관련된 간단한 공식과 정체성이 거의 없는 이유 중 하나이다.^[19]

실제로 마티외 기능과 그에 상응하는 특성 번호는 마티매틱사, 메이플, MATLAB, SciPy와 같은 사전 패키지 소프트웨어를 사용하여 계산할 수 있다.$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$과(와) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 작은 값의 경우$,$ 물리적 애플리케이션에 유용할 수 있는 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$의 파워 시리즈로서 섭섭하게 표현될 수도 있다.^[20]

제2종

제2종류의 마티외 기능을 대표할 수 있는 몇 가지 방법이 있다.^[21]한 가지 표현은 베셀 함수에 관한 것이다.^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{fe}}_{2n}(x,q)&=-{\frac {\pi \gamma _{n}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r}^{(2n)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r}({\sqrt {q}}e^{-ix})],\quad {\text{where }}\gamma _{n}=\left\{{\begin{array}{cc}{\sqrt {2}},&{\text{ if }}n=0\\2n,&{\text{ if }}n\geq 1\end{array}}\right.\\{\text{fe}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}A_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Im}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}e^{-ix})+J_{r+1}({\sqrt {q}e^{ix})Y_{r}({\sqrt{q}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+1}(x,q)&=-{\frac {\pi {\sqrt {q}}}{2}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+1}^{(2n+1)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+1}({\sqrt {q}e^{-ix}-J_{r+1}({\sqrt{q}e^{ix})Y_{r}({\sqrt{q}e^{-ix})]\\{\text{ge}}_{2n+2}(x,q)&=-{\frac {\pi q}{4(n+1)}}\sum _{r=0}^{\infty }(-1)^{r+n}B_{2r+2}^{(2n+2)}(-q)\ {\text{Re}}[J_{r}({\sqrt {q}}e^{ix})Y_{r+2}({\sqrt {q}e^{-ix}-J_{r+2}({\sqrt{q}e^{ix})Y_{r}({\sqrt{q}e^{-ix}}]\end{aigned}}}}}$

여기서 ,> ${\displaystyle n,q>0}$및 $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle$ $J_{r}(x)}$ $및{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$r $(x)$는 제1종과 제2종의 베셀함수다$$.

수정함수

변형된 마티외 함수의 수치 평가를 위한 전통적인 접근방식은 베셀 함수 제품 시리즈를 통해서이다.^[23]큰 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$의 경우$$뺄셈 오류를 방지하기 위해 시리즈의 형식을 신중하게 선택해야 한다.^[24][25]

특성.

마티외 함수와 관련된 분석적 표현과 정체성은 비교적 적다.더욱이 다른 많은 특수함수와 달리 마티외 방정식의 해법은 일반적으로 초지하 함수의 관점에서 표현될 수 없다.이는 변수 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$( $){\displaystyle t=\cos(x)}$의 변화를 사용하여 마티외 방정식을 대수적 형태로 변환함으로써 알 수 있다$.$

${\displaystyle (1-t^{2}){d^{2}y}{dt^{2}}-t\,{\frac {dy}{dt}+(a+2q(1-2t^{2})\,y=0).}$

이 방정식은 무한대에 불규칙한 단수점을 가지기 때문에 초기하형의 방정식으로 변형될 수 없다.^[19]

질적 행동

작은 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q$ ${\displaystyle {\text{ce}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$_{$$n},$ ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle$${\$$cos nx}$ 및$$ ${\displaystyle \sin }$ $×{n$과 비슷하게$$ 동작하는 경우 $임의{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle q}$$${\$displaystystyle q$의 경우 삼각함에서 크게 벗어날 수 있다.그러나, 그들은 일반적으로 주기적인 상태를 유지한다.어떠한 실질적인 q{\displaystyle q}더구나, cem({\displaystyle{\text{ce}}_ᆮ(x,q)}과 땅이 m+1(x, q){\displaystyle{\text{의심}}_ᆰ(x,q)}이고 0월<>에 정확히 m{m\displaystyle}단순한 0^<>π{0<, x<, \pi\displaystyle}, 있q→ ∞{\displaystyle q\rightar.연속\infty$}$ $x{\displaystyle }$ =${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle x=\pi /2}$에 대한 0 클러스터$$$.$^[26][27]

> ${\displaystyle q>0}$ 및 $x{\displaystyle }$→ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle x\rightarrow \infit }$의 경우 수정된$$ 마티외 함수는 감쇠된 주기 함수로 동작하는 경향이 있다.

다음에서는 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$${n}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\$에 대한 푸리에 확장물의 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 $B$ ${\displaystysty B}$ 인자를$$ 참조할 수$$ 있다(명시적 표현 및 계산 참조).$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$ $및$ n ${\displaystyle n}$에 의존하지만$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}과$는 독립적이다$.$

반사 및 번역

${\displaystyle {}_{}}$ ${\$과(와) $n$ {\$displaystyle {\text{se}_{$$n{\displaystyle }$}}은(는) 패리티와 주기성 때문에 reflections ${\displaystyle \pi}$의 배수로 반사와 번역 아래 간단한 속성을$$ 갖는다$.$^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(x)\\&{\text{se}}_{n}(x+\pi )=(-1)^{n}{\text{se}}_{n}(x)\\&{\text{ce}}_{n}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{n}(-x+\pi /2)\\&{\text{se}}_{n+1}(x+\pi /2)=(-1)^{n}{\text{se}}_{n+1}(-x+\pi /2)\end{aligned}}}$

긍정 q ${\displaystyle$ $q$$}$을(를) 가진 $q{\displaystyle }$ {\displaystyle q}을(를) 가진 q}을(를) 사용하여 함수를 작성할 수도 있다$.$^[5][28]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{ce}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{ce}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+1}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{ce}}_{2n+1}(-x+\pi /2,q)\\&{\text{se}}_{2n+2}(x,-q)=(-1)^{n}{\text{se}}_{2n+2}(-x+\pi /2,q)\end{aligned}}}$

게다가

${\displaystyle {\n+1}&a_{2n+1}(q)=b_{2n+1}(-q)\\\&b_{2n+2}(q)=b_{2n+2}(-q)\end{aigned}}}}}$

직교성 및 완전성

Like their trigonometric counterparts ${\displaystyle \cos nx}$ and ${\displaystyle \sin nx}$, the periodic Mathieu functions ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ satisfy orthogonality relations

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{ce}}_{m}dx=\int _{0}^{2\pi }{\text{se}}_{n}{\text{se}}_{m}dx=\delta _{nm}\pi \\&\int _{0}^{2\pi }{\text{ce}}_{n}{\text{se}}_{m}dx=0\end{aligned}}}$

더욱이 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 고정하고 ${\displaystyle a}$을(를) 고유값으로 처리하면$$ 마티외 방정식은 스터름-리우빌 형식이다.This implies that the eigenfunctions ${\displaystyle {\text{ce}}_{n}(x,q)}$ and ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q)}$ form a complete set, i.e. any ${\displaystyle \pi }$- or ${\displaystyle 2\pi }$-periodic function of ${\displaystyle x}$ can be expanded as a series${\displaystyle \mathrm{ce}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( x ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {\text{ce}_{n}(x,q)}$ 및 ${\displaystyle {\text{se<img alt="{displaystyle {text{ce}}\_n(x,q)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b31edfa46352bd059d921609901b835167d940f2" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.526ex; height:2.843ex;" papago-attr-id="406">}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( x ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {\text{se}}_{n}(x,q$^[4]

일체형 ID

마티외 방정식의 해법은 다음 해법인$$ 커널 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle ({}^{}}$, x $){\displaystyle \chi (x,x')}$에 대한 일체형 ID의 클래스를 만족시킨다.

${\displaystyle {\frace ^{2}\chi }{\frac ^{2}-{\frace ^{2}\{\fract x'^{}}}}}=2q\왼쪽(\cos 2x'\right)\chi }}$

더 정확히 말하면, $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$이(가) 주어진 ${\displaystyle a}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를$)$ 사용하여 마티유의 방정식을 해결하면$$, 통합형인 것이다.

${\displaystyle \psi(x)\equiv \int_{C}\chi(x,x')\phi(x')dx'}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은(는) 복합 평면의 경로로$$, 다음 조건이 충족될 경우 $동일$한 a ${\displaystyle a}$ 및$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를$)$ 사용하여 마티유의 방정식을 해결하기도 한다.^[29]

• ${\displaystyle \chi (x,x')}$ solves ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x'^{2}}}=2q\left(\cos 2x-\cos 2x'\right)\chi }$
• 고려 대상 지역에서는 ${\displaystyle \psi }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi (x)}$이(${\displaystyle 가}$) 존재하며$$ ${\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle }$x ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle {\prime }^{}}$) ${\displaystyle \chi (x,x')}$은 분석 대상이다.
• ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ x${\displaystyle \frac{}{}\frac{{\prime }^{}}{}}$ - $∂$ x${\displaystyle \frac{{}^{}}{x}\frac{x}{}}$ ) {\$displaystyle \left(\phi$ {\$frac${\$partial x'}}-{\$partial $x'}}-{\frac {\partial \phi \$$right$$})$의 끝점에서 $값$이 같다$.$

적절한 변수의 변화를 이용하여 $\chi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \chi}$에 대한 방정식을 파동 방정식으로 변환하여 해결할 수 있다$$.예를 들어, 한 가지 $해결책$은 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x{,}^{}}$ ${\displaystyle {}^{})}$) = ${\displaystyle \sinh }$ (${\displaystyle {}^{}}$ 1/${\displaystyle 2}$sin ${\displaystyle x}$ sin x${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle {}^{}}$x sin $){1/2}=\sinh(2q^{1/2}\sin x')}}$이다$.$ 이렇게 해서 얻은 정체성의 예는 다음과^[30] 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{se}}_{2n+1}(x,q)&={\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q)}{\pi q^{1/2}B_{1}^{(2n+1)}}}\int _{0}^{\pi }\sinh(2q^{1/2}\sin x\sin x'){\text{se}}_{2n+1}(x',q)dx'\qquad (q>0)\\{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&={\frac {{\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{\pi A_{0}^{(2n)}}}\int _{0}^{\pi }\cos(2q^{1/2}\cosh x\cos x'){\text{ce}}_{2n}(x',q)dx'\q쿼드 \ \ (q>0)\end{aigned}}$

후자 유형의 정체성은 변형된 마티외 함수의 점증적 특성을 연구하는 데 유용하다.^[31]

예를 들어, 제1종과 제2종의 기능 사이에는 필수적인 관계가 존재한다.^[22]

${\displaystyle {\text{fe}}_{2n}(x,q)=2n\int _{0}^{x}{\text{ce}}_{2n}(\tau ,-q)\ J_{0}\left({\sqrt {2q(\cos 2x-\cos 2\tau )}}\right)d\tau ,\qquad n\geq 1}$

모든 복합 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ 실제 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 유효함$.$

점근팽창

The following asymptotic expansions hold for ${\displaystyle q>0}$, ${\displaystyle {\text{Im}}(x)=0}$, ${\displaystyle {\text{Re}}(x)\rightarrow \infty }$, and ${\displaystyle 2q^{1/2}\cosh x\simeq q^{1/2}e^{x}}$:^[32]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ce}}_{2n}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{1/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n}(0,q){\text{ce}}_{2n}(\pi /2,q)}{A_{0}^{{n}}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {}}{4}}\오른쪽)\\{\text{Ce}}_{2n+1}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{ce}}_{2n+1}(0,q){\text{ce}}'_{2n+1}(\pi /2,q)}{A_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+1}(x,q)&\sim -\left({\frac {2}{\pi q^{3/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+1}(0,q){\text{se}}_{2n+1}(\pi /2,q)}{B_{1}^{(2n+1)}}}\cdot e^{-x/2}\cos \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\\{\text{Se}}_{2n+2}(x,q)&\sim \left({\frac {2}{\pi q^{5/2}}}\right)^{1/2}{\frac {{\text{se}}'_{2n+2}(0,q){\text{se}}'_{2n+2}(\pi /2,q)}{B_{2}^{(2n+2)}}}\cdot e^{-x/2}\sin \left(q^{1/2}e^{x}+{\frac {\pi }{4}}\right)\end{aligned}}}$

그러므로, 변형된 마티외 함수는 큰 실제 논쟁에서 기하급수적으로 붕괴된다.${\displaystyle {\text{Fe}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\${\text$}$에 대해 유사한 점근확장을 기록할 수 있다.$Fe}}_{n}$과(와) ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle${\$text{Ge}_{n$ ; 이것들은 또한 큰 실제 인수의 경우 기하급수적으로 부패한다.

도 많고 이상한 주기적인 마티외 기능 c e은, se{\displaystyle ce,se}과{\displaystyle}도 특히 그 특유의 숫자 하나에 N이랑{N\displaystyle}약 1으로 고정됩니다가 매우 많q{\displaystyle q}.[33]을 점근선의 문어발식 확장을 이끌어 낼 수 있는 관련된 특성의 번호입니다.d에테거, 즉 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{2n}}$+ 1,${\displaystyle }$n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$. . . .$$. {\$displaystyle N\ 근사치 N_{0}=2n+1,n=1,2,3,...,}$

${\displaystyle a(N)=-2q+2q^{1/2}N-{\frac {1}{2^{3}}}(N^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N(N^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N^{4}+34N^{2}+9)}$

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;-{\frac {1}{2^{17}q^{3/2}}}N(33N^{4}+410N^{2}+405)-{\frac {1}{2^{20}q^{2}}}(63N^{6}+1260N^{4}+2943N^{2}+41807)+{\mathcal {O}}(q^{-5/2})}$

여기서 $q{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2 ${\$ 및 N$$ ${\displaystyle N}$을(를) -${\displaystyle {q\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\$ 및${\displaystyle }$- ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N}$로 교체할 때 대칭을 관찰하십시오$.$이러한 팽창의 조건은 명시적으로 될 것 주문 q의 용어 − 포함을 수령했다 7/2{\displaystyle q^{-7/2}}.[34]여기 N{N\displaystyle}은 대략 그 이상한 정수에 있기 때문에 제한치q→ ∞{\displaystyle q\rightarrow \infty}모든 최소 세그먼트의 주기적인 잠재력.${\displaystyle \cos }$2 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \cos$ 2x}이$($가) 효과적으로 독립된 고조파 오실레이터(Hence $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 홀수 정수$$)가$$ 된다.$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을$($를) 줄임으로써 장벽 통과 터널링이 가능해지고 (물리적 언어로) 특성 번호 $a{\displaystyle }$ →${\displaystyle {\mp }_{}}$ ${\displaystyle a_{\mp }}}($유겐값이라고 하는 양자역학에서) 균등하고 홀수 주기적인 마티외 함수에 해당하는 ${\displaystyle {}_{}}$ 번호의 분할이 가능해진다.이 분할은 경계 조건과^[34] 함께 얻는다(양자역학에서 이것은 고유값을 에너지 대역으로 분할하는 것을 제공한다).^[35]경계조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {dce_{)N_{0}-1}{dx}}{\bigg )}_{\pi /2}=0,\;\;ce_{N_{0}}(\pi /2)=0,\;\;{\bigg (}{\frac {dse_{)N_{0}}}{dx}}{dx}}{\bigg )}_{\pi /2}=0,\;\;se_{}N_{0}+1}(\pi /2)=0.}$

이러한$$ 경계 조건을 $획득$한 ${\displaystyle a}$에 대해 위의 확장과 관련된 점증적 주기적 Mathieu 함수에 적용

${\displaystyle N-N_{0}=\mp 2{\bigg (}{\frac {2}{\pi }}{\bigg )}^{1/2}{\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2}e^{-4q^{1/2}}}{[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{\bigg [}1-{\frac {3(N_{0}^{2}+1)}{2^{6}q^{1/2}}}+{\frac {1}{2^{13}q}}(9N_{0}^{4}-40N_{0}^{3}+18N_{0}^{2}-136N_{0}+9)+...]}.}$

그에 상응하는 특성수나 고유값은 팽창에 따른다.

${\displaystyle a(N)=a(N_{0}+(N-N_{0}){\bigg (}{\frac {\partial a}{\partial N}}{\bigg )}{N_{0}+....}$

위에 적절한 표현을 삽입하면 결과가 나온다.

${\displaystyle a(N)\rightarrow a_{\mp }(N_{0})=-2q+2q^{1/2}N_{0}-{\frac {1}{2^{3}}}(N_{0}^{2}+1)-{\frac {1}{2^{7}q^{1/2}}}N_{0}(N_{0}^{2}+3)-{\frac {1}{2^{12}q}}(5N_{0}^{4}+34N_{0}^{2}+9)-...}$

${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mp {\frac {(16q^{1/2})^{N_{0}/2+1}e^{-4q^{1/2}}}{(8\pi )^{1/2}[{\frac {1}{2}}(N_{0}-1)]!}}{{{}-{\frac{N_{0}{2^{6}q^{1/2}}(3N_{0}^{2}+8)N_{0}+3)++...]}.}$

$N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle N_{0}=1,3,5,...$$}$ 이 값들은$$ 짝수 Mathieu eigenfunctions $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {N{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$와 관련된 고유값이다.$N_{0}}$ 또는$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ N ${\displaystyle {0{}_{}}_{}}$- 1 ${\$$N_{0}-1}($즉, 위쪽, 빼기 기호가 있음) 및 홀수 ${\displaystyle {\mathrm{Mathieu}}_{}}$ eigenfunctions $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle {{e\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {N{}_{}}_{}}$+ 1 ${\$$N_{0}+1}$또는$$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {N{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$$N_{0}}($예: 하한, 더하기 기호 포함).고유 기능의 명시적이고 정규화된 확장은 또는 에서 찾을 수 있다.^[35]

라메 함수와 프로이트 및 말소 나선파 함수와 마찬가지로 다른 주기적인 미분방정식의 용액에 대해서도 유사한 무증상 팽창을 얻을 수 있다.

적용들

마티유의 미분 방정식은 공학, 물리학, 응용 수학에서 광범위한 맥락에서 나타난다.이러한 응용의 많은 부분은 1) 타원형 기하학에서 부분 미분 방정식의 분석과 2) 공간이나 시간에 주기적인 힘을 수반하는 동적 문제 중 하나로 분류된다.두 범주의 예는 아래에 설명되어 있다.

부분 미분 방정식

마티외 함수는 1) 3차원의 라플라스 방정식과 2) 2차원의 헬름홀츠 방정식에 타원 좌표의 변수 분리가 적용될 때 발생한다.헬름홀츠 방정식은 고전파의 공간적 변화를 모델링하기 위한 원형 방정식이기 때문에, 마티외 함수를 사용하여 다양한 파동 현상을 설명할 수 있다.예를 들어, 계산 전자석의 경우 타원형 실린더에서 발생하는 전자기파의 산란과 타원형 도파체에서의 파장 전파를 분석하는 데 사용할 수 있다.^[36]일반상대성이론에서 아인슈타인 장 방정식에 대한 정확한 평면파 용액은 마티외 함수의 측면에서 제시될 수 있다.

보다 최근에는 마티외 함수를 사용하여 스몰루코프스키 방정식의 특수한 사례를 해결함으로써 자력 입자의 정상 상태 통계를 기술하고 있다.^[37]

이 절의 나머지 부분에서는 2차원 헬름홀츠 방정식에 대한 분석을 자세히 설명한다.^[38]직사각형 좌표에서 헬름홀츠 방정식은

${\displaystyle \left\frac {\reft ^{2}}+{\frac }{\frac }{\frac }{\1}{\frac ^{\2}}}\{\}}{\flict y^{2}\right)\caps=0,}$

타원 좌표는 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle {\regated}x&=c\cosh \mu \nu \y&=c\sinh \sinh \sinnu \ended}}}}$

여기서 μ μ μ < ${\displaystyle$ 0$\leq \mu <\fty$ <\$displaystyle 0\leq \nu <2\pi$ c ${\displaystyc}$은 $양$의 상수이다$$.이 좌표의 헬름홀츠 방정식은

${\displaystyle {\frac{1}{c^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}\좌측\frac{{2}}}+{\mu ^{2}}+{\frac }{\nu ^{2}}}{\nu \nu ^{{2}}:}}}}}}}\cappropx{k^{k^{k^}\no}\no}}}}}\no}\no}}}}}}\no}}}}}}}}$

일정한 $[\displaystyle \mu }$ 곡선은$$ 초점 길이 $[\displaystyle c}$의 공초점 타원형 타원형이기 때문에 이러한 좌표는 타원형 경계가 있는 도메인에서 헬름홀츠 방정식을 푸는 데 편리하다$.$$\psi {\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle \mu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle F}$( ${\displaystyle \mu }$) G${\displaystyle }$(${\displaystyle \mu }$ ) ${\displaystyle \psi (\mu ,\nu )=F(\mu )G(\nu )}$을 통한 변수 분리는 마티외 방정식을 산출한다$$.

${\displaystyle {\regated}&gt;{\frac {d^{2}}}{d\mu ^{2}}-\왼쪽(a-{\frac {c^{2}k^{2}}:\cosh 2\mu \오른쪽)F=0\\\&#{d^{2}G}{d\nu ^{2}}+\왼쪽(a-{\prac {c^{2}k^{2}}:{2}}\cos 2\nu \right)G=0\\\end{aigned}}$

$여기$서 ${\displaystyle a}$은(는) 분리 상수임.

특정한 물리적 예로서 헬름홀츠 방정식은 균일한 장력 하에서 탄성막의 정상적인 모드를 설명하는 것으로 해석할 수 있다.이 경우 다음과 같은 물리적 조건이 부과된다.^[39]

• $\nu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu$ 예${\displaystyle :}$ ${\displaystyle \psi }$(${\displaystyle \mu ,\mu ,}$ ${\displaystyle 2}$+ 2 ${\displaystyle \pi }$)에 대한 주기성 ${\displaystyle$ +$2\pi )}$
• 인터포칼 라인에 걸친 변위의 연속성: ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$( 0 ,${\displaystyle \nu }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\psi }}$( 0${\displaystyle }$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle \psi (0,\nu )=\psi (0,-\nu )}$
• 인터포칼 라인에 걸친 파생상품의 연속성: ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}0}$ ,${\displaystyle \nu }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}0}$, -${\displaystyle \nu }$) ${\displaystyle \psi$ _${\mu$_{\mu }($0,\nu$)=-\$psi$_{\$mu },-\nu )}$

주어진 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해$,$ 이것은 ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle q}$ ) cen ( q$){\displaystyle{\ce}_{n}(\mu ,q){n}{n}}{n}}},$ ${\displaystyle {}_{}}$ $n$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \mu }$ ,${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle {}_{}}$$$n${\displaystyle {}_{}}$(q$){\displaystyptionstyption$ stylor$$q ){data.$Se}}_{n}(\mu ,q){\text{se}}_{n}(\nu ,q)}$, where ${\displaystyle q=c^{2}k^{2}/2}$. This is the same as restricting allowable values of ${\displaystyle a}$, for given ${\displaystyle k}$. Restrictions on ${\displaystyle k}$ then arise due to imposition of physical conditions on some bounding s= > 으로 정의된 타원형 경계(예: μ =\$displaystyle \mu =\mu _$${0$$})$와 같은 얼굴 예를 들어 멤브레인을 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$${\displaystyle }$= μ = ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$0 {\$displaystyle$\$mu$=$\psi(\mu _{0$}\$nu$}nu$)=0})$로 클램프)로 클램프를 부과한다$.$

${\displaystyle {\begin{aigned}{\text{Ce}_{n}(\mu _{0}q)=0\\\text{\text}세}_{n}(\mu _{0}q)=0\end{aigned}}}$

이러한 조건은 시스템의 정상 모드를 정의한다.

동적 문제

주기적으로 변화하는 힘의 역동적인 문제에서 운동 방정식은 때때로 마티외 방정식의 형태를 취한다.그러한 경우, 특히 해결책의 안정성에 관한 마티외 방정식의 일반적 특성에 대한 지식은 물리적 역학의 질적 특성을 이해하는 데 필수적일 수 있다.^[40]이 선들을 따르는 전형적인 예는 반전된 진자 입니다.^[41]그 밖의 예는 다음과 같다.

• 주기적으로 변화하는 장력의^[40] 끈의 진동
• 열차가 철도 위를 주행할 때 철도 레일의 안정성
• 계절에 따라 강요되는 인구 역학
• 강제 발진기의 파라메트릭 공명 현상
• 4극 이온 트랩에서의^[42] 이온 운동
• 회전 전기 쌍극에 대한 스타크 효과
• 한계주기의 안정성에 대한 플로케 이론

양자역학

마티외 함수는 특히 양자 진자와 결정 격자와 같은 공간적으로 주기적인 잠재력을 가진 특정한 양자 기계적 시스템에서 역할을 한다.

변형된 마티외 방정식은 단수 전위의 양자역학을 설명할 때도 발생한다.${\displaystyle \mathrm{특정}}$한 단일한 전위 $V{\displaystyle }$( r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {g\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 4{}^{}}$ ${\$ 반경$$ 슈뢰딩거 방정식의 경우

${\dr^{d^{2}y}{dr^{2}}-}+\왼쪽[k^{2}-{\frac {\ell(\ell +1)}{r^{2}}-{\g^{2}}-{r^{4}}\오른쪽]y=0}$

방정식으로 바꿀 수 있다.

${\d^{2}\varphi }{dz^{2}}+\왼쪽[2h^{2}}\cosh 2z-\left(\ell +{1}{1}{2}}\오른쪽)^{2}\varphi =0.}$

다음과 같은 대체를 통해 변환이 달성된다.

${\displaystyle y=r^{1/2}\varphi,r=\gamma e^{z},\gamma ={\frac {h}{h},h^{2}=ikg,h={I\pi /4}(kg)^{1/2}.}$

변형된 마티외 방정식의 해법 측면에서 슈뢰딩거 방정식(이 특정 잠재력)을 풀면 S-매트릭스, 흡수율과 같은 산란 특성을 얻을 수 있다.^[43]

참고 항목

• 수학 함수 목록
• 힐 미분 방정식
• 라메 함수
• 단색 전자파
• 역진자

메모들

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Mathieu function". MathWorld.
• 마티외 함수의 방정식과 ID 목록wolfram.com
• "Mathieu functions", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 티모시 존스, 마티유의 방정식과 이상적인 rf-폴 트랩(2006)
• 마티외 방정식, EqWorld
• NIST 디지털 수리 기능 라이브러리:마티외 함수와 힐 방정식