광학 스칼라

일반상대성이론에서 광학스칼라는 전파를 나타내는 $3가지$ 스칼라 $\{{\hat {\theta }}$ 함수 $\{{\hat {\theta }}$ 인 $^{{\$ $hat$ $\$ theta}( ${\hat {\sigma }}$ ${\hat {\omega }}$ ${\hat {\sigma }}$ ^{ $displaystyle$ $\$ sigma}( ${\hat {\sigma }}$ 절단 $)$ ${\hat {\omega }}$ ^{ $displaystyle\hat$ \sigma $}($ 반전/회전/vorticity $)$ 를 말한다.eodesic null consistency.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

실제로 $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ 3개의 스칼라 $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ } 、 $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ ^ 、 $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ } $（$ $displaystyle$ \ { \ $hat$ \ { \ $sigma$ } $、$ { \ hat \ sigma $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ } 、 { \ hat \ } 、 { \ hat \ } 、 { \ $hat$ \ hat \ } 、 { \ hat \ } 、 { \ hat \ } 、 { \ hat } {\odes $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ canodes 、 \ 、 \ $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ 、 \ 、 \ 、 \ $odesodesodesodesodesodesodesodesodes$ 또한 텐셔너리 방정식 { $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ ^ $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ ^ $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ b $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ 、 $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ 、 ^ a $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ 、 $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ ^ $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ } $}$ { $displaystyle$ \ { \ $hat$ { \ $theta$ } } { $hab$ } , { \ $hat$ { $sigma }$ } _ { $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ } , { \ $hat$ } 、 { \ $hat$ } } 、 { 、 { hat $\{{\hat {\theta }}{\hat {h}}_{ab}\,,{\hat {\sigma }}_{ab}\,,{\hat {\omega }}_{ab}\}$ } } 、 { 、 { \ } 、 { $hat$ } } } 、 { $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ 、 { } 、 { } } 、 { $주로$ 뉴먼-펜로즈 $\{{\hat {\theta }}\,,{\hat {\sigma }}\,,{\hat {\omega }}\}$ 형식주의 언어로 쓰인 방정식에 나타나죠

정의: 확장, 전단 및 비틀림

측지학적 시간적 일치의 경우

관찰자의 월드라인의 접선 벡터장(시간적 합치)을 $Z^{a}$ Z a {\ $display Z^{$ a $Z^{a}$ 로 나타내면 다음과 같은 유도 "공간 메트릭"을 구성할 수 있습니다.

${\displaystyle (1)\display h^{ab}=g^{a}Z^{b}\;,\quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{b}\;,\quad h_{\;b}^{a}={b}\;,\quad h_{\;b}^{a}^{a}^{b}\cards}^{b}^{b}\;^{b}^{b}^{b}^{b}\cards}^{b}^{b}^{b}^{$

$h_{\;\;b}^{a}$ 서 h $h_{\;\;b}^{a}$ a $h_{\;\;b}^{a}$ {\ $displaystyle h_{\;b}^{a}}$ 는 $h_{\;\;b}^{a}$ 공간 투영 연산자로 작동합니다. $h_{\;\;b}^{a}$ b a $h_{\;\;b}^{a}$ {\ $displaystyle h_{\;b$ $}^{$ $a}}$ 를 $h_{\;\;b}^{a}$ 사용하여 좌표 공변량 $\nabla _{b}Z_{a}$ b $\nabla _{b}Z_{a}$ {\ $displaystyle \nabla_{a}}$ 를 $\nabla _{b}Z_{a}$ $h_{\;\;b}^{a}$ 하면 "공간" 보조 $B_{ab}$ $B_{ab}$ $B_{ab}$ ${\$ 를 얻을 수 있습니다.

$(2)\nab}=h_{\;\;a}^{c},h_{\;b}^{d},\nabla_{c}=\nabla_{a}+A_{a}Z_{b}\;,$

$A_{a}$ 서 A $(\$ 는 $A_{a}$ 4원칙을 나타내고, $B_{ab}$ (\ $displaystyle B_{$ ab $})$ 는 순수 공간적 의미이며, B $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ B a $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ a = B $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ 0 (\ $displaystyle B_{ab}$ Z $^{a$ } = $B_{ab$ } $Z^{b$ } = $0$ 는 $B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0$ 옵서버의 의미이다.

$(3)\displayA_{a}=0\;,\quad\Rightarrow\displayB_{ab}=\nabla_{a}Z_{a}\;$

$B_{ab}$ 으로 $B_{ab}$ $B_{ab}$ 를 대칭 부분과 반대칭 부분으로 $B_{ab}$ 합니다. $\theta _{ab}$ { $display$ $style$ \ $theta$ _ { $ab$ $\omega _{ab}$ } a $\theta _{ab}$ {\ {\ $\omega _{ab}$ b { $display style$ \ $ob$ }

$\displaystyle (4)\timeout \theta _{ab}=B_{(ab)}\;,\quad \obega _{ab}=B_{[ab]}\;.}$

$\omega _{ab}=B_{[ab]}$ a $\omega _{ab}=B_{[ab]}$ = B [ $a$ ] { $displaystyle$ \ $ob$ = $B _$ { ab $\omega _{ab}=B_{[ab]}$ } } $g^{ab}\omega _{ab}=0$ $g^{ab}\omega _{ab}=0$ $g^{ab}\omega _{ab}=0$ $（$ $g$ a = 0 \ $\theta _{ab}$ $displaystyle$ g^ { $ab$ $\theta _{ab}$ $g^{ab}\omega _{ab}=0$ } = 0 $g^{ab}\omega _{ab}=0$ ） $\theta _{ab}$ b $g^{ab}\omega _{ab}=0$ $display$ $display$ $style$ \ $theta$ _ { $\theta _{ab}$ } = $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$ $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$ 0 ）、 g $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$ $traceatherlash 、$ b $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$ $g^{ab}\theta _{ab}=\theta$ b 。 $splaystyle \theta$ _ ${ab}}$ 은 $\theta _{ab}$ (는) 트레이스 및 트레이스 없는 부분으로 다시 쓸 수 있습니다.

$(5)\timeout \theta _{ab}=timeoutfrac {1}{3}}\theta h_{ab}+\timeout _{ab}\;$

그러므로, 우리가 가진 모든 것은

$(6)\displayfrac {1}{3}}\theta h_{ab}+\display_{ab}\,\deta \theta =g^{ab}\theta _{ab}\;,\display \theta \ta =g^{ab}B_{ab}B_{ab}\;,\displayfrac {ab}_{ab}$

측지선 Null 합동의 경우

이제 탄젠트 벡터 필드 $k^{a}$ 와 지오데식 null 합치 $(\$ k $^{a$ 를 고려합니다. 시간적 상황과 유사하게, 우리는 또한 정의한다.

${\displaystyle(7)\quad {B}}_{ab}:=\secla _{b}k_{a}\;,}$

분해할 수 있다

$(\displaystyle (8)\hat {B}_{ab}={hat}+{ab}={hat frac {1}{2}}{\hat {hab}+{hat {\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hab}{\hat}{\hat}{\hat}}{b}{b}{ab}}{ab},$

어디에

$(9)\hat {theta }_{ab}={hat {h}{ab}{b},\quad {hat {B}_{ab},\quad {theta } = {b} {b} {frac}$

여기서, "모자" 양은 3차원 시간적 경우와 대조적으로 null 일치에 대한 이러한 양이 2차원임을 강조하기 위해 사용된다.다만, 논문에 기재되어 있는 null의 합치만을 논하는 경우는, 간단하게 하기 위해서 모자는 생략할 수 있습니다.

정의: 늘 합치용 광스칼라

그 광학 scalars({\displaystyle\와 같이{{\hat{\theta}}\,,{\hat{\sigma}}\,,{\hat{\omega}}년}}[1][2][3][4][5] 간단하게 tensors의"scalarization"에서{θ ^, σ b, ω ^ b^}{\displaystyle\와 같이{{\hat{\theta}}\,,{\hat{\sigma}}_{농양}\,,{\hat{\ome.ga}}_{농양}\}}Eq(9)에 기재되어 있습니다.

지오데식 Null 합치의 확대는 (간극에 대해 공변 도함수 $\nabla _{a}$ a \ $displaystyle$ \ $nabla$ _ ${a$ 를 나타내기 위해 다른 표준 기호 $";\displaystyle$ $;"$ 을 채택합니다.)에 의해 정의됩니다.

$(10)\hat {\theta } = flac {1} {2} },k^{a} {{;,a} \.$

"null 합치의 확장 속도"와의 비교:"null congruency의 $\theta _{(\ell )}$ 확장률"에서 보듯이, $\theta _{(\ell )}$ ( \ $displaystyle$ \ $theta$ _ { ( \ $ell )$ } ) $\theta _{(n)}$ ( n $\theta _{(n)}$ ) \ $displaystyle \theta$ _ { ( n $\theta _{(n)}$ ) $\theta _{(\ell )}$ $\theta _{(n)}$ respect by by by by by by by rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates rates

$(A.1)\quad \theta _{(\ell):=h^{ab}\sqla _{a}l_{b}\;$

$(A.2)\quad \theta _{(n):=h^{ab}\sqla _{a}n_{b}\;$

$h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ 서 h a $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ + $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ n $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ + $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ l b + n $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ l $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ b { $displaystyle$ h^ { $ab$ = $g^$ { $ab$ } + $l^$ { $a}$ n^ {b} + $n^$ { $a} l^$ { $b}$ 은 $h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}$ 유도 메트릭이다.또한 $\theta _{(\ell )}$ ( $\theta _{(\ell )}$ ) { $display$ \ $theta$ _ $\theta _{(\ell )}$ { ( \ $ell$ ) } ( ( $\theta _{(n)}$ n ） can $\theta _{(n)}$ 、 n $）$ also 、 \ $display$ \ $theta$ _ { ( n $\theta _{(n)}$ ) } can $\theta _{(n)}$ 、

$(A.3)\quad \theta _{(\ell)}=g^{ab}\sqla _{a}l_{b}-\kappa _{(\ell)}\,$

$(A.4)\quad \theta _{n}=g^{ab}\sqla _{a}n_{b}-\kappa _{(n)}\;,$

$\kappa _{(\ell )}$ 서 $\kappa _{(\ell )}$ $"(\$ $\kappa _{(n)}$ \ $kappa$ _ ${(\ell)"}}"$ $)\$ \ $kappa _{(n$ )}"는 $\kappa _{(n)}$ 각각 다음과 같이 정의된 발신 및 입력 비선호도 계수입니다.

$(A.5)\quad l^{a}\squad l^{a}l_{b}=\kappa _{(\ell)}l_{b}\;,$

$\displaystyle (A.6)\quad n^{a}\displayla _{a}n_{b}=\kappa _{(n)}n_{b}\;}$

또한 $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ { ( $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ - $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ , $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ + $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ , $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ + , $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ + $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ , + ) $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ ; $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ - 1, $\{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}$ a $=$ 1 $}$ { $displaystyle \{$ ( - + , + ) ; $l^{a} n_{a$ } =- $1,m$ ^{a $}{$ a $}{\bar {m_a$ 의 $공식주의$ 언어에는 다음과 같은 것이 있다.

$\displaystyle (A.7)\quad \theta _{(l)}=-(rho + {\bar {\text {Re}},\display \theta _{(n)}=\mu + {\bar \text {Re}},$

볼 수 있듯이 지오데식 늘 일치의 경우 광스칼라 $\theta$ {\(\ $displaystyle$ $\theta)$ 는 $\theta$ $\theta _{(\ell )}$ 확장률 $\theta _{(\ell )}$ $) 및$ $(\$ _{ ( $n$ 과 같은 역할을 합니다.따라서 지오데식 늘 일치의 경우 \ $ta$ style $\$ ta style이 됩니다. $(\$ _ ${(\ell)})$ $\theta _{(\ell )}$ $)$ (\ $displaystyle \theta$ _ ${(n$

측지선 Null 합치의 전단은 다음과 같이 정의된다.

$(11)\hat {hat }^{ab}=hat {\hat}^{ab} =hat frac {1}{2},g^{ca},g^{db},k_{(a,b)},k_c,d}-{big} {1c} {frac$

지오데식 널 합동성의 비틀림은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (12)\hat {\hot } {1} {2}},k_{a,b]},k^{a,b},k_{a,g^{db},k_{a,b},k_{c,d}\;}.$

실제로 지오데식 null 합치는 보통 출력( $k^{a}=l^{a}$ $k^{a}=l^{a}$ $k^{a}=l^{a}$ $k^{a}=l^{a}$ \ $displaystyle$ k $^{a$ } = $l^{a$ ) 또는 입력( $k^{a}=n^{a}$ a $k^{a}=n^{a}$ $k^{a}=n^{a}$ \ $displaystyle$ k $^{a$ } = $n^{a$ ) 탄젠트 벡터장에 의해 정의된다. $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ 2개의 $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ （ $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ 、 $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ （ $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ 、 $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ （ $\{{\hat {\theta }}_{(\ell )}\,,{\hat {\sigma }}_{(\ell )}\,,{\hat {\omega }}_{(\ell )}\}$ $}$ { $displaystyle$ \ { \ $hat$ { \ $theta$ } $_$ { ( $ell$ ) } , { \ $hat$ { $sigma$ } } $_$ { （ $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$ $）$ , { \ $hat$ } } 、 { \ $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$ } $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$ { \ $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$ } 、 { \ } } 、 { 、 { $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$ 、 $\{{\hat {\theta }}_{(n)}\,,{\hat {\sigma }}_{(n)}\,,{\hat {\omega }}_{(n)}\}$ 、、、 { } 。 $,$ {\ $hat$ {\hat $}_{(n)},$ {\ $hat {mega$ }} $n^{a}$ ${(n$ 각각 $(\$ a $l^{a}$ }) $n^{a}$ n(\ $displaystyle n^{a$ 에 $l^{a}$ 정의되어 있습니다.

전파 방정식을 분해할 때의 응용 프로그램

측지학적 시간적 합치성을 위해

$Z^{c}$ c $\$ Z $^{c}$ 에 $Z^{c}$ 따른 측지학적 시간적 일치에 대한 $B_{ab}$ a $\$ 의 $B_{ab}$ $B_{ab}$ (또는 진화)는 다음 방정식을 따른다.

$(13)\display Z^{c}\nabla _{c}B_{\;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{d}\;$

eq(13)의 트레이스를 g $g^{ab}$ (\ $displaystyle g^{ab$ 로 축소하면 Eq(13)는

$(14)\display Z^{c}\nabla _{c}\theta =\theta _{,\frac {1}{3}\theta ^{ab}-\display ^{ab}+\obega ab}-{ab}-R_{Z}Z$

Eq(6)의 수량 측면에서.또한, Eq(13)의 미량 없는 대칭 부분은

$(15)\display Z^{c}\nabla _{c}\nabla _{ab}=-{frac {2}{3}\theta \display _{ac}-\display _{c}-\mega _{ac}_{\b}^{c}+{\frac}{c}{h}}}{b}}}{b}}}{b}}}}{b}}}}}{b}}}}{b}}}}{b}}}}}}}+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{\frac {1}{2}}{\tilde {R}}_{ab},$

마지막으로, Eq(13)의 반대칭 성분은 다음과 같이 산출된다.

${\displaystyle (16)\display Z^{c}\nabla _{c}\mega _{ab}=-{\frac {2}{3}}\theta \mega _{ab}-2\display _{b}\mega _{a]c}\;}.$

측지선 null 합치의 경우

(일반적인) 측지선 null 합치는 다음 전파 방정식을 따릅니다.

${\displaystyle (16)\display k^{c}\hat {B}_{ab}=-{\hat {B}_{\;b}^{c}+{\wide hat {R_{cbad}k^{d}}\;}}.$

Eq(9)에 요약된 정의를 사용하여 Eq(14)를 다음과 같은 성분 방정식으로 다시 작성할 수 있다.

${{displaystyle (17)\hat k^{c}\hat {theta }={,,,\hatda}-{\frac {1}{2}-{\hat {\hat}_{b}-{\hat {\hat}_{c}\hat {\hat} {\hat} {\hat} {\hat} {\hat} {{{c}$

$(18)\twidela _{c}{\hat }=-{\hat {theta }}_{ab}+{\widela {C_{cbad}k^{d}}\,$

${\displaystyle(19)\hat k^{c}\hat k^{c}{\hat }_{ab}=-{\hat {theta }}{\hat k^{c}}_{ab};}$

제한된 측지선 null 일치의 경우

눌 하이퍼서페이스에 제한된 지오데식 눌 합성의 경우, 우리는

${\displaystyle (20)\timebla _{c}\theta =\theta }_{,,\timeda}=-{\frac {1}{2}-{\hat {\theta } {ab} {\hat } {\hat } {\hat ab} {{\hat } {{\hat } - {{c} {{c} {\hat } {\hat } {{\hat } {{{c} {{c} {\hat} {{c$

$(21)\displayk^{c}\hat k^{c}\hat _{ab}=-{\hat {theta }}_{b}+{widehat {C_{cbad}k^{d}}+\kappa_{{\hat}{\hat}{\hat}{b}{b}{b}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat}{\hat$

$(22)\display k^{c}\displayla _{c}{\hat {mega}}_{ab}=0\;$

스핀 계수, Raychaudhuri 방정식 및 광학 스칼라

이전 절을 더 잘 이해하기 위해 Null ^[1]합치를 설명할 때 관련된 NP 스핀 계수의 의미를 간략히 검토한다.Null 흐름을 제어하는 Raychaudhuri 방정식의^[6] 텐서 형식은 다음과 같습니다.

$(23)\mathcal {L}_{\ell}\theta _{{\frac {1}{2}\theta _{{\telde {kappa}}_{(\ell})\theta _{{\t}\telde _{\cald}-{\cald$

${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ 서 ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ ~ ( ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ ) { style \ ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ $tilde$ \ kappa } ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ _ { ( ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ )}는 ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}$ ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ ~ ( $a$ ) ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ b : ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ l ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ ( \ $display$ style \ $kappa$ } $_$ { { { \ $ell$ } $l^$ { $b$ : = $l^$ { $a }$ = l { l ^ { a } ${\tilde {\kappa }}_{(\ell )}l^{b}:=l^{a}\nabla _{a}l^{b}$ 로 정의됩니다.Raychaudhuri 방정식의 양은 다음과 같은 스핀 계수와 관련이 있습니다.

$\displaystyle (24)\text \theta _{(\ell)}=-(rho +{\bar {rho })=-2{\text{Re}},\display \theta _{(n)}=\mu +{\text{Re},},},$

${\displaystyle(25)\display_{ab}=-\display {m}_{a}{\bar {m}_{b}-{\bar}m_{b},}$

$(26)\tilde ({mega }}_{ab}=big frac {1}{2},{\rho}}{\Big},{\b}{m}_{b}-{m}={b}{b}{b}{b}{b}{b}}{b}{b}}{b}{b}}{b}}{b}}}{b}}{b}}}{big}{b}{b}{b}}}{b}}{b}}}}{b}}}}$

여기서 Eq(24)는 h ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ^ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ^ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ a + m ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ b m ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ b m ${\hat {h}}^{ab}={\hat {h}}^{ba}=m^{b}{\bar {m}}^{a}+{\bar {m}}^{b}m^{a}$ = $displaystyle {h}^{b} = m^{b}$ {\ $bar$ { $m}^{a}$ + ${\bar$ {m}^{b} m $^{a$ } } 、

$(27)\timeout \theta _{(\ell)}=timeouthat {h}^{b}=m^{b}{m}{a}\timeoutla _{a}l_{b}+{\bar {m}{b}{b}{b}\timeoutla_{b}{b}{b$

${{displaystyle (28)\timeout \theta _{(n)}=timeouthat {h}^{b}=m}{b}{m^{a}\timeoutla _{a}n_{b}+m^{b}{m}}{timeoutla _{a}{m}}{timeoutla}{a}{b}{m}}{b}}{timeoutla}{m}}}{m}}{timeoutla}{b}}}}}{timeoutla}{}$

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c 에릭 포아송.상대론자의 툴킷: 블랙홀 역학의 수학.케임브리지:케임브리지 대학 출판부, 2004.제2장
^ ^a ^b 한스 스테파니, 디트리히 크레이머, 말콤 맥칼럼, 코넬리우스 호엔슬러, 에두아르트 할트아인슈타인 장 방정식의 정확한 해.케임브리지:케임브리지 대학 출판부, 2003.6장
^ ^a ^b 수브라흐마니안 찬드라세카르.블랙홀의 수학적 이론.옥스퍼드:옥스퍼드 대학 출판부, 1998년섹션 9. (a)
^ ^a ^b 제레미 브랜섬 그리피스, 지리 포돌스키입니다아인슈타인의 일반 상대성 이론의 정확한 시공간.케임브리지:케임브리지 대학 출판부, 2009.섹션 2.1.3.
^ ^a ^b P 슈나이더, J 에흘러스, E E 팔코중력 렌즈베를린: Springer, 1999.섹션 3.4.2.
^ Sayan Kar, Summitra SenGupta.Raychaudhuri 방정식은 간단한 리뷰입니다.Pramana, 2007, 69 (1): 49-76.[arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-120/0611123]

[OS-1-1] 에릭 포아송.상대론자의 툴킷: 블랙홀 역학의 수학.케임브리지:케임브리지 대학 출판부, 2004.제2장

[OS-2-2] 한스 스테파니, 디트리히 크레이머, 말콤 맥칼럼, 코넬리우스 호엔슬러, 에두아르트 할트아인슈타인 장 방정식의 정확한 해.케임브리지:케임브리지 대학 출판부, 2003.6장

[OS-3-3] 수브라흐마니안 찬드라세카르.블랙홀의 수학적 이론.옥스퍼드:옥스퍼드 대학 출판부, 1998년섹션 9. (a)

[OS-4-4] 제레미 브랜섬 그리피스, 지리 포돌스키입니다아인슈타인의 일반 상대성 이론의 정확한 시공간.케임브리지:케임브리지 대학 출판부, 2009.섹션 2.1.3.

[OS-5-5] P 슈나이더, J 에흘러스, E E 팔코중력 렌즈베를린: Springer, 1999.섹션 3.4.2.

[6] Sayan Kar, Summitra SenGupta.Raychaudhuri 방정식은 간단한 리뷰입니다.Pramana, 2007, 69 (1): 49-76.[arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-120/0611123]

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목차

정의: 확장, 전단 및 비틀림

측지학적 시간적 일치의 경우

측지선 Null 합동의 경우

정의: 늘 합치용 광스칼라

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