라돈-니코딤 정리

수학에서 라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym theorem)는 측정 가능한 동일한 공간에 정의된 두 측도 사이의 관계를 표현하는 측도 이론의 결과입니다. 측정은 측정 가능한 공간의 측정 가능한 부분 집합에 일정한 크기를 할당하는 집합 함수입니다. 측정의 예로는 부분 집합이 점의 집합인 면적과 부피 또는 넓은 확률 공간 내에서 발생 가능한 결과의 부분 집합인 사건의 확률이 있습니다.

이미 주어진 측정값에서 새로운 측정값을 도출하는 한 가지 방법은 공간의 각 점에 밀도를 할당한 다음 측정 가능한 관심 부분 집합에 통합하는 것입니다. 이것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu ,}$

여기서 ν는 측정 가능한 부분 집합 A에 대해 정의되는 새로운 측도이고 함수 f는 주어진 점에서의 밀도입니다. 적분은 종종 실수선 R 또는 n차원 유클리드 공간 Rⁿ(길이, 면적 및 부피에 대한 우리의 표준 개념에 해당)에 대한 표준 르베그 측도일 수 있는 기존 측도 μ에 대한 것입니다. 예를 들어, f가 질량 밀도를 나타내고 μ가 3차원 공간 R에서 르베그 측도라면, ν(A)는 공간 영역 A의 총 질량과 같습니다.

Radon-Nikodym 정리는 특정 조건에서 동일한 공간에서 다른 측정 μ에 대해 어떤 측정 ν도 이러한 방식으로 표현될 수 있다고 본질적으로 말합니다. 함수 f는 라돈-니코딤 도함수라고 불리며 $d$ν d μ {\displaystyle${\tfrac$ {d\n$u}{d\mu$^[1] 확률 이론에서 중요한 응용은 확률 변수의 확률 밀도 함수로 이어집니다.

이 정리는 1913년에 기저 공간이 R인ⁿ 특수한 경우에 대한 정리를 증명한 요한 라돈과 1930년에 일반적인 경우를 증명한 오토 니코딤의 이름을 따서 명명되었습니다.^[2] 1936년 한스 프로이덴탈은 Riesz 우주 이론의 결과인 프로이덴탈 스펙트럼 정리를 증명함으로써 라돈-니코딤 정리를 일반화했습니다. 이는 특수한 경우로서 라돈-니코딤 정리를 포함합니다.^[3]

바나흐 공간 Y는 라돈-니코딤 정리의 일반화가 Y의 값을 갖는 함수에 대해서도 자주 성립한다면 라돈-니코딤 성질을 갖는다고 합니다. 모든 힐베르트 공간은 라돈-니코딤 성질을 갖습니다.

형식설명

라돈-니코딤 정리

라돈-니코딤 정리는 측정 가능한 공간$({\displaystyle X,}$σ$){\displaystyle(X,\$Sigma)}을 포함하며, 그 위에 μ ${\$displaystyle$$\$mu$}와$$ν 두 개의 σ-무한 $측도$가$정의$됩니다. {\displaystyle \n$u.}$ 이는 ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ $ν ≪$ μ {\displaystyle \n 이라고 말합니다.$u \ll \mu }$ $$(즉, ν${\displaystyle$ \n일 경우$u }$ is absolutely continuous with respect to ${\displaystyle \mu }$), then there exists a ${\displaystyle \Sigma }$-measurable function ${\displaystyle f:X\to [0,\infty ),}$ such that for any measurable set ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$

라돈-니코딤 도함수

The function ${\displaystyle f}$ satisfying the above equality is uniquely defined up to a ${\displaystyle \mu }$-null set, that is, if ${\displaystyle g}$ is another function which satisfies the same property, then ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$-almost everywhere. 함수 $f$ ${\displaystyle$ f$}$은(는) $일반적$으로$$ν $dμ {\frac$ {d\n입니다.$u}{d\mu}}$이며 라돈-니코딤 유도체라고 불립니다. 함수의 이름과 표기법의 선택은 함수가 다른 측정에 대한 밀도의 변화율을 설명한다는 점에서 미적분학의 도함수와 유사하다는 사실을 반영합니다(다변수 적분에서 야코비안 행렬식이 사용되는 방식).

서명된 조치 또는 복잡한 조치로 확장

유사한 정리는 부호화되고 복잡한 측도에 대해 증명될 수 있습니다: 즉, $\mu${\$displaystyle \mu}$가 음이 아닌 σ-무한 측도이고$$ν {\displaystyle \n$u}$은(는) $ν ≪$μ, {\$displaystyle$ \n과 같은 유한 값의 부호 또는 복잡한 측도입니다.$u$$\ll \mu,}$ 즉, $ν$$u }$ is absolutely continuous with respect to ${\displaystyle \mu ,}$ then there is a ${\displaystyle \mu }$-integrable real- or complex-valued function ${\displaystyle g}$ on ${\displaystyle X}$ such that for every measurable set ${\displaystyle A,}$

예

다음 예제에서 집합 X는 실수 구간 [0,1]이고$$σ${\displaystyle$ \Sigma}는 X의 보렐 시그마-대수입니다.

1. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu}$는 X의 길이 측정값입${\displaystyle 니}$다.$\nu$ {\displaystyle \n$u}$은(는) X의 각 부분집합 Y에 Y의 길이의 두 배인 양을$$ 할당합니다. 그런 다음 $d$ ν d μ = 2${\textstyle {\frac$ {d\n$u}{d\mu$}}$=2$
2. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu}$는 X의 길이 측정값입${\displaystyle 니}$다.$\nu$ {\displaystyle \n$u}$은(는) X의 각 부분 집합 Y에 포함된 집합 {0.1, …, 0.9}의 점 수를 할당합니다$$. 그런 다음$$ν {\displaystyle \n$u}$은(는) 0이 아닌 측정값을 0이 아닌 점에 할당하기$때문$에 μ ${\displaystyle \$mu}에 대해 절대 $continu$가 아닙니다. 실제로 도함수$$ν dμ ${\textstyle {\frac$ {d\n}이(가) 없습니다.$u}{d\mu }}$ :$$(${\displaystyle 0.1}$ -$$$ε$) ${\displaystyle($0.1 -$\$varepsilon${\displaystyle \mathrm{)\}}}$에서${\displaystyle }$(${\displaystyle 0.}$1$$+ $ε$) ${\displaystyle$(0$.$1$+\backslash$varepsilon)}로 통합할 때, 다음과 같은 유한 함수가 없습니다. 모든ε > 0 ${\displaystyle$ \$varepsilon$>0}에 대해 $1$ ${\displaystyle$ 1$}$을 제공합니다.
3. $displaystyle$$u +\delta$_$$0}}, $여기$서$$$ν$ ${\displaystyle$ \n$u}$은 X의 길이 척도이고$$$δ$ 0 ${\displaystyle \delta$ _{0}}은 0의 디랙 척도입니다(0을 포함하는 모든 집합에는 1의 척도를 할당하고 다른 집합에는 0의 척도를 할당합니다). 그런 다음$$ν {\displaystyle \n$u}$은(는) $\mu$ ${\displaystyle \mu}$에 대해 절대적으로 연속이며$,$ $d$ $ν$ d μ $=$ $1_{}$ X $∖$ {0} ${\textstyle$ {\frac {d\n$u}{d\mu$}}$=$1_X\setminus \{0\}} – 도함수는 x $=$ 0 {\display x$=$0}에서 0이고 x > 0 {\display x>0에서 1입니다.

특성.

• ν, μ, λ를 동일한 측정 가능한 공간에서 σ-무한 측도라고 가정합니다. ν ≪ λ와 μ ≪ λ(ν와 μ 둘 다 λ에 대해 절대적으로 연속적임)이면,
  $${\displaystyle {\frac {d(\n)u +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu}{d\lambda }}+{\frac {d\mu}{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-거의 모든 곳}}}$$

  
• ν ≪ μ ≪ λ이면
  $${\displaystyle {\frac {d\n}u }{d\lambda }}={\frac {d\nu}{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}\quad \lambda {\text{-거의 모든 곳}}}$$

  
• 특히 μ ≪ ν와 ν ≪ μ이면
  $${\displaystyle {\frac {d\mu}{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}\quad \nu {\text{-거의 모든 곳}}.$$

  
• 만약 μ ≪ λ이고 g가 μ 적분가능한 함수라면,
  $${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }\,d\lambda .}$$

  
• ν가 유한 부호 또는 복소 측도인 경우,
  $${\displaystyle {d \nu \over\mu} =\left {d\nu \over\mu}\right.}$$

  

적용들

확률론

이 정리는 확률 이론의 아이디어를 실수에 대해 정의된 확률 질량과 확률 밀도에서 임의의 집합에 대해 정의된 확률 측도로 확장하는 데 매우 중요합니다. 한 확률 척도에서 다른 확률 척도로 변경하는 것이 가능한지 여부와 방법을 알려줍니다. 특히 랜덤 변수의 확률 밀도 함수는 일부 기저 측도(일반적으로 연속형 랜덤 변수에 대한 Lebesgue 측도)와 관련하여 유도 측도의 라돈-Nikodym 도함수입니다.

예를 들어 확률 측도에 대한 조건부 기대의 존재를 증명하는 데 사용할 수 있습니다. 후자는 조건부 확률이 단지 그것의 특별한 경우이기 때문에, 그 자체가 확률 이론의 핵심 개념입니다.

금융수학

금융 수학은 다른 분야 중에서도 특히 기르사노프 정리를 통해 이 정리를 광범위하게 사용합니다. 이러한 확률 측정의 변화는 파생상품의 합리적 가격결정의 초석이 되며, 실제 확률을 위험 중립 확률로 변환하는 데 사용됩니다.

정보의 발산

μ와 ν가 X에 대한 측정값일 경우, μ

• ν에서 μ까지의 쿨백-라이블러 발산은 다음과 같이 정의됩니다.
  $${\displaystyle D_{\text{KL}}(\mu \paralle \n)u )=\int _{X}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\;d\mu .}$$

  
• α > 0, α ≠ 1의 경우, ν에서 μ까지의 차수 α의 Rényi 발산은 다음과 같이 정의됩니다.
  $${\displaystyle D_{\alpha}(\mu \병렬 \nu )={\frac {1}{\alpha -1}}\log \left(\int _{X}\left({\frac {d\mu }{d\nu}}\right)^{\alpha -1}\;d\mu \right)}$$

  

σ 유한성 가정

위의 라돈-니코딤 정리는 ν의 변화율을 계산하는 측도 μ가 σ-무한이라고 가정합니다.

부정적인 예

μ가 σ-무한이 아니고 라돈-니코딤 정리가 성립하지 않는 예가 있습니다.

실선에 있는 보렐 σ 대수를 생각해 보세요. 보렐 집합 A의 계수 측도 μ를 A가 유한하면 A의 원소 개수로 정의하고, 그렇지 않으면 ∞. μ가 실제로 척도임을 확인할 수 있습니다. 모든 보렐 집합이 많아야 유한 집합의 개수를 셀 수 있기 때문에 σ-무한이 아닙니다. ν를 이 보렐 대수에 대한 일반적인 르베그 측도라고 하자. 그러면 집합 A에 대하여 A가 빈 집합일 경우에만 μ(A) = 0이고, ν(A)도 0이므로 ν은 μ에 대하여 절대적으로 연속입니다.

라돈-니코딤 정리가 성립한다고 가정하자. 즉, 어떤 측정 가능한 함수에 대하여 fone은

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

모든 보렐 집합에 대하여. A를 단일 톤 집합 A = {a}로 하고, 위의 등식을 이용하면 다음을 발견할 수 있습니다.

${\displaystyle 0=f(a)}$

모든 실수 a에 대하여 이는 함수 f, 따라서 르베그 측도 ν가 0임을 의미하며, 이는 모순입니다.

양성결과

ν ≪$,$ {\$displaystyle$ \n을 가정할 때$u$\$ll \mu,}$ 라돈-니코딤 $정리$는 μ {\displaystyle $\mu}$가 국소화 가능하고$$$ν$${\$displaystyle \n일 경우에도 성립합니다.$u}$은(는) $\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$에 대해 액세스할 수 있습니다$$$.$^{[5]: p. 189, Exercise 9O} 즉, $pre$$u(A)=\sup\{\n$$u(B):$$B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\operatorname {pre}(\mathbb {R}_{\geq 0})\}$ 모든 $A$$∈$ $σ$에 $대해 {\displaystyle$ A\in \Sigma.}

증명

이 섹션은 정리의 측도 이론적 증명을 제공합니다. 또한 폰 노이만이 처음 제시한 힐베르트 공간법을 이용한 함수해석적 증명도 있습니다.

유한 측도 μ와 ν의 경우 f dμ ≤ d ν인 함수 f를 고려하는 것이 아이디어입니다. 모노톤 수렴 정리와 함께 이러한 모든 함수의 최상위는 라돈-니코딤 도함수를 제공합니다. μ의 나머지 부분이 ν에 대해 단수라는 사실은 유한 측도에 대한 기술적 사실로부터 비롯됩니다. 유한 측도에 대한 결과가 확정되면 σ-무한으로 확장되고 서명되고 복잡한 측도가 자연스럽게 이루어질 수 있습니다. 자세한 내용은 아래와 같습니다.

유한 측도의 경우

확장 값 후보 구성 먼저 μ와 ν가 모두 유한 값 비음의 측도라고 가정합니다. F를 다음과 같은 확장값 측정 가능 함수 f의 집합이라고 가정합니다. X → [0, ∞].

${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\qquad \int _{A}f\,d\mu \leq \nu(A)}$

F ≠ ∅, 적어도 영함수를 포함하고 있기 때문입니다. 이제 f, f ∈ F라고 하고, A가 임의의 측정 가능한 집합이라고 가정하고 다음을 정의합니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\left\{x\in A:f_{1}(x)>f_{2}(x)\right\},\\A_{2}&=\left\{x\in A:f_{2}(x)\geq f_{1}(x)\right\}.\end{align}}}$

그럼 한 명은.

${\displaystyle \int _{A}\max \left\{f_{1},f_{2}\right\}\,d\mu =\int _{A_{1}}f_{1}\,d\mu +\int _{A_{2}}f_{2}\,d\mu \leq \nu \left(A_{1}\right)+\nu \left(A_{2}\right)=\nu(A),}$

따라서, max{ f, f} ∈ F.

이제, {f_n}가 다음과 같은 F의 함수들의 수열이라고 하자.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

f를_n 처음 n개의 함수 중 최대로 바꾸면 수열 {f_n}가 증가하고 있다고 가정할 수 있습니다. g를 다음과 같이 정의된 확장된 값 함수라고 하자.

${\displaystyle g(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).}$

르베그의 단조 수렴 정리에 의해,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,d\mu (x)=\int _{A}g\,d\mu \leq \nu(A)}$

각 A ∈ σ에 대하여, 따라서 g ∈ F. 또한 g의 구축에 의해,

${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

평등을 증명하다 이제, ∈ F 이후로,

${\displaystyle \nu_{0}(A):=\nu (A)-\int _{A}g\,d\mu }$

는 σ에 대한 음이 아닌 측도를 정의합니다. 동등함을 증명하기 위해 우리는 ν = 0임을 보여줍니다.

ν ≠ 0이라고 가정합니다. 그러면 μ가 유한하므로 ν(X) > ε μ(X)가 되는 ε > 0이 있습니다. ν ≠ 0에서 모순을 도출하기 위해 부호화된 측정 ν - ε μ(즉, 측정 가능한 모든 부분 집합이 음이 아닌 ν - ε μ 측정을 갖는 측정 가능한 집합 P)에 대한 양의 집합 P ∈ σ를 찾습니다. 여기서 P도 양의 μ-측정을 갖습니다. 개념적으로, 우리는 P의 모든 부분에서 ν ≥ ε μ인 집합 P를 찾고 있습니다. 편리한 방법은 부호화된 측도 ν - ε μ에 대해 한 분해(P, N)를 사용하는 것입니다.

모든 A ∈ σ에 대해 ν(A ∩ P) ≥ ε μ(A ∩ P)가 있으므로,

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (A)&=\int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\nu _{0}(A\cap P)\\&\geq \int _{A}g\,d\mu +\varepsilon \mu (A\cap P)=\int _{A}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu ,\end{aligned}}}$

여기서_P 1은 P의 지시 함수입니다. 또한 원하는 대로 μ(P) > 0, μ(P) = 0인 경우 (ν은 μ) ν(P) ≤ ν(P) = 0이므로 ν(P) = 0 및

${\displaystyle \nu _{0}(X)-\varepsilon \mu (X)=\left(\nu _{0}-\varepsilon \mu \right)(N)\leq 0,}$

ν(X) > εμ(X)라는 사실과 모순됩니다.

그러면 또.

${\displaystyle \int_{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu \leq \nu(X)<+\infty,}$

g + ε 1 ∈ F로 만족

${\displaystyle \int _{X}\left(g+\varepsilon 1_{P}\right)\,d\mu >\int _{X}g\,d\mu =\sup _{f\in F}\int _{X}f\,d\mu .}$

이것은 최상류의 정의에 위배되므로 불가능하며, 따라서 ν ≠ 0은 거짓이어야 한다는 최초의 가정입니다. 따라서 원하는 대로 ν = 0입니다.

유한 값으로 제한 이제 g는 μ 적분 가능하므로 집합 {x ∈ X : g(x) = ∞}는 μ null입니다. 따라서 f를 다음과 같이 정의하면,

${\displaystyle f(x)={\begin{case}g(x)&{\text{if}}g(x)<\infty \\0&{\text{case,}}\end{otherwise}}$

그러면 f는 원하는 속성을 갖습니다.

고유성 고유성 고유성은 f, g : X → [0, ∞]를 만족하는 측정 가능한 함수라고 가정합니다.

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu =\int _{A}g\,d\mu }$

측정 가능한 모든 집합 A에 대하여 그러면, g - f는 μ 적분가능하고,

${\displaystyle \int_{A}(g-f)\,d\mu = 0.}$

In particular, for A = {x ∈ X : f(x) > g(x)}, or {x ∈ X : f(x) < g(x)}. 다음은

${\displaystyle \int _{X}(g-f)^{+}\,d\mu =0=\int _{X}(g-f)^{-}\,d\mu ,}$

따라서 (g - f) = 0 μ - 거의 모든 곳에서, (g - f)에서도 마찬가지이며, 따라서 f = g μ - 원하는 거의 모든 곳에서 마찬가지입니다.

σ-무한 양성 측도의 경우

μ와 ν가 σ-무한일 경우 X는 σ ν에서 서로소인 집합의 수열 {B}의 결합으로 기록될 수 있으며, 각각은 μ와 ν 모두에서 유한 측도를 갖는다. 각각의 n에 대하여, 유한한 경우에 의하여, 다음과 같은 σ 측정 가능 함수 f: B → [0, ∞]가 있습니다.

${\displaystyle \nu _{n}(A)=\int _{A}f_{n}\,d\mu }$

B의 각 σ 측정 가능 부분 집합 A에 대하여. $합($ ∑ $n_{}$ ${f_{}}_{}$ n 1 B n ) $:$= f {\$textstyle \left(\sum _{n}f_{n}$1_{B_{$n}}\$right):이 함수들 중 $=$f$}$는 $∫$ (A) $=$ $ν$ A f d μ {\textstyle \n과 같은 필수 함수입니다.$u (A)=\int _{A}f\,d\mu }$.

고유성의 경우, 각각의_n f는 μ-거의 모든 곳에서 고유하므로 f도 마찬가지입니다.

서명된 복잡한 조치의 경우

ν가 σ 유한 부호 측도인 경우 측정 중 하나가 유한한 ν = ν - ν로 분해된 한-조단일 수 있습니다. 이전 결과를 이 두 측정에 적용하면 ν과 ν에 대한 라돈-니코딤 정리를 각각 만족하는 두 개의 함수 g, h: X → [0, ∞]를 얻으며, 그 중 적어도 하나는 μ 적분이 가능합니다(즉, μ에 대한 적분은 유한함). 그러면 g와 h는 거의 모든 곳에서 μ-까지 유일하기 때문에 f = g - h가 유일성을 포함하여 필요한 특성을 만족한다는 것이 분명합니다.

ν가 복잡한 측도인 경우 ν = ν + i ν로 분해할 수 있으며, 여기서 ν와 ν는 모두 유한 값 부호 측도입니다. 위의 인수를 적용하면, 각각 ν과 ν에 필요한 속성을 만족하는 두 개의 함수, g, h: X → [0, ∞]를 얻을 수 있습니다. 분명히 f = g + ih 가 필요한 함수입니다.

르베슈 분해 정리

레베그의 분해 정리는 라돈-니코딤 정리의 가정이 겉보기에는 더 일반적인 상황에서도 발견될 수 있음을 보여줍니다. 측정${\displaystyle \mathrm{공간}(}$X$,$ σ$) {\displaystyle$(X,\Sigma)}의$$σ 유한 양의$$측정 μ${\displaystyle$ $\$mu} 및 σ$$유한 $부호$ 측정 ν {\displaystyle \n을 고려해 보십시오.$u}$은(는) 절대적인 연속성을 가정하지$않고$$σ$ {\displaystyle$$\Sigma}에 있습니다. 그런 다음 고유한 부호화된 ${\displaystyle {측정값}_{}}$ν이(가) $있습니다.$ {\displaystyle \n$u_{a}}$ 및$$$ν$ ${\displaystyle$ \n$u_{s}}:$${\displaystyle {}_{}}$$ν$$$$=$ + $ν$s {\displaystyle$$\Sigma}에서 $σ$ $ν$ {\displaystyle \n$u =\n$$u_{a}+\n$$u_{s$ $≪$ μ {\displaystyle \${\displaystyle n}$을 $ν$합니다.$u _{a}\ll \mu }$, ν$$⊥ μ {\displaystyle \n$u_{s}\perp \mu$ 그런 다음 라돈-니코딤 정리를 쌍${\displaystyle {}_{}}$$ν$$$a, μ ${\displaystyle$ \n에 적용할 수 있습니다.$u_{a},\mu$

참고 항목

• 기르사노프 정리
• 라돈-니코딤 집합

메모들

참고문헌

• Lang, Serge (1969). Analysis II: Real analysis. Addison-Wesley. 바나흐 공간에서 값을 가정하는 벡터 측도에 대한 증명이 들어 있습니다.
• 측정 ν가 σ-무한이 아닌 경우에 대한 명확한 증거가 포함되어 있습니다.
• Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1978). Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach. Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2005). Real analysis: measure theory, integration, and Hilbert spaces. Princeton lectures in analysis. Princeton, N.J: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11386-9. 일반화 증명이 들어 있습니다.
• Teschl, Gerald. "Topics in Real and Functional Analysis". (lecture notes).

이 기사는 크리에이티브 커먼즈 속성/공유-유사 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Radon-Nikodym 정리의 자료를 통합합니다.