교대 다중선 지도

수학에서, 특히 다선형 대수에서, 교번 다선형 지도는 동일한 벡터 공간(예: 이선형 또는 다선형)에 속하는 모든 인수가 있는 다선형 지도로서, 어떤 한 쌍의 인수가 같을 때마다 0이다.보다 일반적으로 벡터 공간은 정류 링 위의 모듈일 수 있다.

교대화(또는 교대화)의 개념은 모든 인수가 동일한 공간에 속하는 모든 다중선 지도에서 교대 다중선 지도를 도출하는 데 사용된다.

정의

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$→ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f\colon V^{n}\to W}$ 형식의 다중선 지도는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하면 교대로 이루어진다고 한다$$.

1. $x$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ i = ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ 1 ${\$ $f{\displaystyle }$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$… ,${\displaystyle }$x ${\displaystyle n_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}}=$0}=$0$$}$과 같은 $1\mathrm{}$ $\le$ $i\le$ i - $1$ ${\textstyq i-1$}이 있을 때마다 $n-1$$.$$}$^[1][2]
2. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ j = x ${\displaystyle j_{}}$ ${\$${\displaystyle j_{}}$$}}$와 같은 $1\mathrm{}i$ i $\{$ $j$ $\leq i\neq j\\leq n}$이(가) 있을 때마다 $f$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$… , x${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaysty f(x_{1},\ldots,x_{n}={n}={$n})=0}=0}=0$}.$$}$^[1][3]
3. $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 선형 종속된 경우$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n}=0$

예

리 대수에서, 리 브라켓은 교차 이선형 지도다.행렬의 결정 인자는 행렬의 행 또는 열을 나타내는 다중 선 교대 맵이다.

특성.

기본 링 $R{\displaystyle ,}$ ${\$displaystyle R, {\$displaystyle$ R$,}$에 있는 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\neq$ i$}$ $및{\displaystyle }$ c$$ ${\displaystyle c}$에 대해 교대 다중선 맵의$$ 구성 요소 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$${i}}$를 $x{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{x\_}_{}}${j$}$로 대체하면 해당$$ 맵 값이 변경되지 않는다.^[3]

모든 교대칭 다중선 지도는 대칭성이며,^[4] 그 의미는^[1] 다음과 같다.

또는 동등하게여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 순열 그룹을 나타내며$$, $displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }$은(는)의 기호${\displaystyle .}$ ${\displaystystyle \sigma .}$이다.

$n{\displaystyle !}$ ${\displaystyle n!}$이(가) 기본 $링{\displaystyle }$ R${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ R$,}$의 단위인 경우 모든$$ 대칭 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - 다변형$$ 형태가 교대한다.

교대화

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$→ ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle f:$$V^{n}\to W,}$ 교대$$ 다중선 $지도{\displaystyle }$ g${\displaystyle :}$ ${\displaystyle V}$ n${\displaystyle {}^{}}$→ W ${\displaystyle g:$$V$$^{n}\to W}$ 정의

$f{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$f.의 교대화라고 한다$.$$}$

특성.

• n-멀티라인 교대 지도의 교대화는 그 자체로 n!배이다.
• 대칭 지도의 교대화는 0이다.
• 이선형 지도의 교대형은 이선형이다.가장 주목할 만한 것은, 어떤 고치든지 교대하는 것이 이선이다.이 사실은 격자 위의 이선형 교대 집단과 격자형의 두 번째 공동유동학 집단을 식별하는 데 결정적인 역할을 한다.

참고 항목

• 교류 대수
• 이린린 지도
• 외부 대수 § 교대 다중선 형태
• 지도(수학)
• 다중선 대수
• 다중선 지도
• 다선형
• 대칭화

메모들

참조

• Bourbaki, N. (2007). Eléments de mathématique. Vol. Algèbre Chapitres 1 à 3 (reprint ed.). Springer.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley.
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 211 (revised 3rd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-95385-4. OCLC 48176673.
• Rotman, Joseph J. (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 148 (4th ed.). Springer. ISBN 0-387-94285-8. OCLC 30028913.