로터(수학)

로터는 원점에 대한 회전을 나타내는 벡터 공간의 기하 대수(클리포드 대수라고도 한다)에 있는 물체다.^[1]이 용어는 윌리엄 킹돈 클리퍼드(William Kingdon Clifford)에서 유래한 말로, 쿼터니온 대수학이 헤르만 그라스만의 "연장론"(Ausdehnungslehre)의 특수한 경우에 불과하다는 것을 보여준다.^[2]^[3]Hestenes^[4] defined a rotor to be any element $R$ of a geometric algebra that can be written as the product of an even number of unit vectors and satisfies $R{\tilde {R}}=1$ , where ${\tilde {R}}$ is the "reverse" of $R$ —that is, the동일한 벡터의 제품이지만 역순으로.

정의

수학에서 벡터 공간 V의 기하학적 대수학에서 로터는 스핀 그룹 스핀(V)의 원소와 같은 것이다.우리는 이 그룹을 아래에 정의한다.

V는 양의 확정 2차 형태 q를 갖춘 벡터 공간이고, Cl(V)은 V와 연관된 기하학적 대수학이다.The algebra Cl(V) is the quotient of the tensor algebra of V by the relations $v\cdot v=q(v)$ for all $v\in V$ . (The tensor product in Cl(V) is what is called the geometric product in geometric algebra and in this article is denoted by $\cdot$ .)V의 텐서 대수에서 Z-grading은 Cl(V)에서 Z/2Z-grading으로 내려간다.

$\operatorname {Cl}(V)=\operatorname {Cl}{\text{ven}\oplus \operatorname {Cl}{\text{odd}(V)}(V)$

여기서 Cl^even(V)은 짝수도의 블레이드에 의해 생성되고 Cl^odd(V)은 홀수도의 블레이드에 의해 생성된다.

V에 있는 정체성에 국한되는 Cl(V)의 독특한 반유동화 현상이 있는데, 이를 transpose라고 하며, 모든 멀티플렉터 a의 transpose는 ${\tilde {a}}$ ~ ${\$ 에 의해 표시된다 ${\tilde {a}}$ 블레이드(즉, 단순 텐서)에서는 단순히 인자의 순서를 반대로 한다.스핀 그룹 스핀(V)은 $R{\tilde {R}}=1.$ $R{\tilde {R}}=1.$ R $R{\tilde {R}}=1.$ ~ $R{\tilde {R}}=1.$ = 1 $R{\tilde{R}=1.$ 즉 $R{\tilde {R}}=1.$ , 짝수 단위 벡터의 곱으로 쓸 수 있는 다중^even 벡터로 구성된다.

벡터 공간에서 회전 시 작용

α > θ/2

α < θ/2

벡터 a ~ 각도 θ의 회전, 두 개의 단위 벡터 n과 m를 따라 이중 반사로, 각도 θ/2로 분리된다(단순히 θ이 아님).a의 각 prime은 반사를 나타낸다.도표의 평면은 회전면이다.

기하 대수학에서 벡터를 따른 반사는 반사의 하이퍼플레인(hyperplane)에 수직인 Null이 아닌 벡터 v와 그 벡터의 역 v⁻¹:

-vMv^{-1

성적은 반반이다.로터 R에 의해 생성된 회전 하에서 일반 멀티플렉터 M은 다음과 같이 양면 변환한다.

RMR^{-1}.

이 동작은 SPI(V)의 이중 커버로 Spin(V $\operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)$ 을 표시하는 $\operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)$ 과부하 동형성 $(V$ ) $\operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)$ → $\operatorname {Spin} (V)\to \operatorname {SO} (V)$ {\ $displaystyle \operatorname {SO}(V)$ 에 SPIN(더 자세한 내용은 스핀 그룹 참조)을 제공한다.

제한된 대체 제형식

유클리드 공간의 경우, 대체 제형을 고려하는 것이 편리할 수 있으며, 일부 저자는 반사 작동을 (마이너스) 단위의 샌드위치 만들기(즉, 정규화된) 멀티플렉터로 정의한다.

-vMv,\quad v^{2}=1,

자동으로 정규화되는 로터 형성:

R{\tilde{R}={\tilde{R}R}R=1.

그런 다음 파생된 로터 작용은 그 반대와 함께 샌드위치 제품으로 표현된다.

RM{\tilde{R}

관련 벡터가 음의 스칼라에 정사각형을 이루는 반사에 대해서는, 사이비 유클리드 공간의 경우와 같이, 그러한 벡터는 그 정사각형의 부호까지만 정상화할 수 있으며, 응용 프로그램의 부호를 추가 부기하는 것이 필요하게 된다.위와 같은 역의 샌드위치 제품의 공식은 그러한 단점을 겪지 않는다.

다중 벡터 및 스핀러의 회전

그러나 다단자 역시 양면적으로 변하기 때문에 로터가 결합하여 그룹을 형성할 수 있고, 따라서 다중 로터가 단면적으로 구성된다.위의 대안적 공식은 자기 정규화가 아니며, 단면적으로 변환하는 물체로서 기하학적 대수학에서 스피너의 정의를 동기 부여한다 – 즉, 스피너는 샌드위치 제품에서 역이 아닌 역이 사용되는 비정규화된 로터로 간주될 수 있다.

동질 표현 알헤브라스

등호 기하학 대수학 같은 균일한 표현 알헤브라의 경우, 표현 공간의 로터는 임의의 점에 대한 회전, 번역 또는 베이스 공간의 또 다른 변형에 해당한다.

참고 항목

참조

^ Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 592. ISBN 9780521715959.
^ Clifford, William Kingdon (1878). "Applications of Grassmann's Extensive Algebra". American Journal of Mathematics. 1 (4): 353. doi:10.2307/2369379. JSTOR 2369379.
^ Grassmann, Hermann (1862). Die Ausdehnugslehre (second ed.). Berlin: T. C. F. Enslin. p. 400.
^ Hestenes, David (1987). Clifford algebra to geometric calculus (paperback ed.). Dordrecht, Holland: D. Reidel. p. 105. 헤스테네스는 $R^{\dagger }$ 으로 R $\$ {\ $displaystyle$ R $^{\dauger$ }}라는 표기법을 사용한다.

[1] Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 592. ISBN 9780521715959.

[2] Clifford, William Kingdon (1878). "Applications of Grassmann's Extensive Algebra". American Journal of Mathematics. 1 (4): 353. doi:10.2307/2369379. JSTOR 2369379.

[3] Grassmann, Hermann (1862). Die Ausdehnugslehre (second ed.). Berlin: T. C. F. Enslin. p. 400.

[4] Hestenes, David (1987). Clifford algebra to geometric calculus (paperback ed.). Dordrecht, Holland: D. Reidel. p. 105. 헤스테네스는 $R^{\dagger }$ 으로 R $\$ {\ $displaystyle$ R $^{\dauger$ }}라는 표기법을 사용한다.

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