유사벡터

물리학과 수학에서 가성 벡터(또는 축 벡터)는 벡터나 다른 기하학적 형태의 함수로 정의되어 벡터를 닮아 여러 상황에서 벡터처럼 행동하지만 공간의 방향이 바뀌거나 반사체와 같은 부적절한 경직적 변환이 이루어지는 수량을 말한다.온은 전체 수치에 적용됨. 기하학적으로 반사된 유사 도구의 방향은 거울 이미지와 반대지만 크기는 같다. 대조적으로 참(혹은 극) 벡터의 반사는 그 거울 이미지와 정확히 동일하다.

3차원에서는 한 지점에서 극 벡터장의 컬과 두 극 벡터의 교차 생산물이 유사 벡터다.^[2]

유사 설계자의 한 예는 방향 평면에 대한 정규 분포다. 방향 평면은 평면을 가로지르는 두 개의 비병렬 벡터(a와 b)^[3]로 정의할 수 있다. 벡터 a × b는 평면에 대한 정규(양쪽에 각각 1개씩 표준이 2개 있음 - 오른쪽 규칙이 어느 것을 결정함)이며, 유사벡터다. 이는 표면 규범을 변환할 때 고려해야 하는 컴퓨터 그래픽에 영향을 미친다.

물리학의 많은 양은 자기장과 각속도를 포함한 극 벡터가 아닌 유사 벡터로 작용한다. 수학에서 3차원에서는 가성(ctors性)이 이형(異形)과 같으며, 여기서 가성(ctors性)의 변환 규칙이 도출될 수 있다. 보다 일반적으로 n차원 기하학 대수 유사점자는 치수 n - 1, ⋀ⁿ⁻¹ R을ⁿ 쓴 대수의 원소들이다. "pseudo"라는 라벨은 가성비와 가성비로 더욱 일반화될 수 있으며, 두 라벨 모두 진정한 스칼라나 텐서보다 부적절한 회전으로 인해 추가적인 표지판 플립을 얻을 수 있다.

물리적 예

유사 도구의 물리적 예로는 토크,^[3] 각도 속도, 각도 모멘텀,^[3] 자기장 ^[3]및 자기 이중극자 모멘트가 있다.

필러벡터 각운동량 L = r × p. 자동차에서 주행하는 것을 고려하십시오. 그리고 앞을 내다보면 각 바퀴에는 왼쪽을 가리키는 각운동량 벡터가 있다. 만약 세계가 자동차의 좌우측을 바꾸는 거울에 비친다면, 이 각운동량 "벡터"(일반 벡터로 보기)의 "반사"는 오른쪽을 가리키지만, 휠의 실제 각운동량 벡터(반사에서는 여전히 앞쪽으로 회전하고 있음)는 여분의 s에 해당하는 왼쪽을 가리키고 있다.가성기 반사에서 점화 플립

극 벡터와 유사 벡터의 구별은 물리적 시스템에 대한 대칭성의 효과를 이해하는 데 있어 중요해진다. 루프 내부에서 z 방향으로 향하는 자기장을 생성하는 z = 0 평면의 전류 루프를 고려하십시오. 이 시스템은 이 평면을 통한 거울 반사 아래 대칭(불변성)이며, 반사 때문에 자기장이 변하지 않는다. 그러나 그 평면을 통해 자기장을 벡터로 반영하면 자기장이 역전될 것으로 예상된다; 이러한 기대는 자기장이 가성역이라는 것을 깨닫고 수정된다. 추가 기호가 뒤집히면 변하지 않는다.

물리학에서 유사 벡터는 일반적으로 두 극 벡터의 교차 생산물이나 극 벡터장의 컬을 취하여 얻은 결과물이다. 크로스 제품과 컬은 관례에 따라 오른손 법칙에 따라 정의되지만 왼손 법칙의 관점에서 쉽게 정의될 수 있었다. (우측) 가법과 오른손 법칙을 다루는 물리학의 전신은 (좌측) 가법과 왼손 법칙을 문제없이 사용하는 것으로 대체할 수 있었다. 이렇게 정의된 (왼쪽) 가성기는 오른쪽 규칙에 의해 정의된 것과 반대 방향일 것이다.

물리학의 벡터 관계는 좌표가 없는 방식으로 표현될 수 있지만 벡터와 유사 벡터를 수치로 표현하기 위해서는 좌표계가 필요하다. 벡터는 $a{\displaystyle \mathbf{}}$= (${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle z_{}}$) ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$와$$같은 숫자의 세 쌍으로 표시되며, 유사벡터도 이 형식에 표시된다. 좌표계와 우좌표계 사이를 변환할 때, 유사점자의 표현은 벡터로 변환되지 않으며, 이를 벡터표현으로 취급하면 부정확한 기호의 변화가 발생하므로, 정렬된 삼중점이 벡터를 나타내는 것과 유사점자를 나타내는 것을 추적하기 위해 주의를 기울여야 한다. 두 벡터의 교차 제품이 두 벡터의 외부 제품으로 대체되는 경우 이 문제는 존재하지 않으며, 이는 2위 텐서이고 3×3 매트릭스로 표현되는 바이벡터를 산출한다. 이 2-텐저의 표현은 두 좌표계 사이에서 손과 독립적으로 정확하게 변환된다.

세부 사항

물리학에서 (극 벡터와 유사 벡터 모두를 포함한다)의 "벡터"의 정의는 "벡터"의 수학적 정의(명칭, 추상 벡터 공간의 모든 요소)보다 더 구체적이다. 물리학 정의에 따르면, "벡터"는 적절한 회전 하에서 특정한 방식으로 "변환"되는 구성요소를 가져야 한다. 특히 우주의 모든 것이 회전한다면 벡터는 정확히 같은 방식으로 회전할 것이다.(좌표계는 이 논의에서 고정되어 있다; 다시 말해서 이것이 능동적 변환의 관점이다.) 수학적으로, 우주의 모든 것이 회전 행렬 R에 의해 설명되는 회전을 거치면, 변위 벡터 x가 x = = Rx로 변환될 때, 모든 "벡터" v는 v′ = Rv로 유사하게 변환되어야 한다. 이 중요한 요건은 벡터(예: 속도의 x, y, z 성분으로 구성될 수 있음)를 물리적 양의 다른 3중으로 구별하는 것이다(예를 들어, 사각형 상자의 길이, 너비 및 높이는 벡터의 세 가지 요소로 간주할 수 없다). 왜냐하면 박스를 회전시키는 것은 벡터의 세 가지 성분을 고려하지 않기 때문이다.이 세 가지 요소를 적절히 변형시킨다.)

(차이 기하학의 언어에서, 이 요건은 벡터를 1등급의 텐서(tensor)로 정의하는 것과 동등하다. 이 보다 일반적인 틀에서, 높은 순위 텐서는 또한 아인슈타인 종합 협약 내에서 상승 및 하강 지수로 표시되는 임의적으로 많은 공변량 및 왜곡된 순위를 동시에 가질 수 있다.

기본적이고 다소 구체적인 예는 일반적인 매트릭스 곱셈 연산자 아래 행과 기둥 벡터의 경우: 한 순서로 도트 제품을 산출하는데, 이는 스칼라일 뿐이며 이와 같은 순위 0 텐서로서 다른 순서로 2위 혼합 텐서(tensor)를 나타내는 행렬인 다이디치 제품을 산출하는 것이다. 공변 지수 이와 같이 표준 매트릭스 대수학의 비확정성은 공변량 벡터와 역변량 벡터의 구별을 추적하는 데 사용될 수 있다. 사실 이것은 보다 형식적이고 일반화된 텐서 표기법이 생기기 전에 부기가 어떻게 이루어졌는가 하는 것이다. 그것은 실제적인 조작을 위해 일반 텐서 공간의 기본 벡터가 어떻게 전시되는지에 여전히 나타나 있다.)

지금까지의 논의는 적절한 회전, 즉 축에 대한 회전과 관련이 있을 뿐이다. 그러나 부적절한 회전, 즉 거울 반성이 적절한 회전을 초래할 수 있다는 점도 고려할 수 있다. (부적절한 회전의 한 예는 3차원 공간의 한 지점을 통해 역회전하는 것이다.) 우주의 모든 것이 부적절한 회전 행렬 R에 의해 설명되는 부적절한 회전을 겪게 되어 위치 벡터 x가 x′ = Rx로 변환된다고 가정해 보자. 벡터 v가 극성 벡터라면 v = = Rv로 변환되고, 유사벡터라면 v′ = -Rv로 변환된다.

극 벡터와 유사 벡터의 변환 규칙은 다음과 같이 압축적으로 명시될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v}&{\text{(극 벡터)}}}\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v})&{\text{(pseudovector)}}}\end{정렬}}$

여기서 기호는 위에서 설명한 것과 같으며 회전 행렬 R은 적절하거나 부적절할 수 있다. 기호는 결정 인자를 나타낸다. 이 공식은 적절한 회전 행렬과 부적절한 회전 행렬의 결정 인자가 각각 +1과 -1이기 때문에 작동한다.

추가, 빼기, 스칼라 곱하기 아래의 동작

v와₁ v가₂ 알려진 유사 벡터라고 가정하고, v가₃₁ 그 합으로₃ 정의된다고 가정하자, v = v + v₂. 우주를 회전 행렬 R에 의해 변환하면 v는₃ 다음과 같이 변환된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{정렬}}}$

그래서 v도₃ 가성비다. 마찬가지로 두 개의 유사 벡터 사이의 차이가 유사 벡터라는 것을 보여줄 수 있고, 두 극성 벡터의 합이나 차이가 극성 벡터라는 것을 보여줄 수 있으며, 극성 벡터에 어떤 실제 수를 곱하면 또 다른 극성 벡터가 나온다는 것을 알 수 있다.

반면, v가₁ 극 벡터, v는 유사₂ 벡터, v는 그 합으로₃ 정의된다고 가정하자, v₃ = v + v₂. 우주를 부적절한 회전₁ 행렬 R에 의해 변환하면 v는₃ 다음과 같이 변환된다.

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).}$

따라서 v는₃ 극 벡터도 아니고 가성 벡터도 아니다(아직은 벡터지만, 물리학 정의에 따르면). 부적절한 회전의 경우, 일반적으로₃ v는 동일한 크기조차 유지하지 않는다.

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} = \mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ,{\text{ but }}\left \mathbf {v_{3}} '\right =\left \mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right }$.

만약₃ v의 크기가 측정 가능한 물리적 양을 설명한다면, 그것은 우주를 거울로 본다면 물리 법칙이 같지 않다는 것을 의미할 것이다. 사실, 이것은 바로 약한 상호작용에서 일어나는 일이다. 특정 방사성 디케이는 "좌"와 "우"를 다르게 취급하는데, 이는 기초 이론에서 극 벡터를 가성분으로 합친 현상으로 추적할 수 있다. (패리티 위반 참조)

교차 제품에서의 동작

회전 행렬 R의 경우, 적절하거나 부적절한 다음 수학 방정식은 항상 참이다.

${\displaystyle (R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))}$,

여기서 v와₁ v는₂ 어떤 3차원 벡터라도 된다. (이 방정식은 기하학적 논쟁이나 대수적 계산을 통해 증명될 수 있다.)

v와₁ v가₂ 알려진 극 벡터라고 가정하고, v는₃ 그들의 교차 생산물인₃ v₁ = v × v로₂ 정의된다. 우주를 회전 행렬 R에 의해 변형하면 v는 다음과₃ 같이 변환된다.

${\displaystyle \mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).}$

그래서 v는₃ 의사다. 마찬가지로 다음과 같은 것을 보여줄 수 있다.

• 극 벡터 × 극 벡터 = 유사벡터
• 의사벡터 × 의사벡터 = 의사벡터
• 극 벡터 × 유사 벡터 = 극 벡터
• 유사 벡터 × 극 벡터 = 극 벡터

이것은 덧셈모듈로 2에 이형성이며, 여기서 "극"은 1에 해당하고 "시체"는 0에 해당한다.

예

그 정의에서 볼 때 변위 벡터는 극 벡터임이 분명하다. 속도 벡터는 변위 벡터(극성 벡터)를 시간(스칼라)으로 나눈 것이므로 역시 극성 벡터다. 마찬가지로 모멘텀 벡터는 속도 벡터(극성 벡터) 곱하기 질량(스칼라)이며, 극성 벡터도 마찬가지다. 각운동량은 변위(극성 벡터)와 운동량(극성 벡터)의 교차 생산물이며, 따라서 유사운동량이다. 이런 식으로 계속하면 물리학의 어떤 공통 벡터도 가성 벡터나 극 벡터로 분류하는 것이 간단하다. (극성 벡터도, 가성 벡터도 아닌 약한 상호 작용 이론에 패리티 폭력 벡터가 있다. 그러나 이러한 현상은 물리학에서는 매우 드물게 일어난다.)

오른손 법칙

위에서는 활성 변환을 이용한 유사 변환이 논의되었다. 수동적 변환의 선에 따라 다른 접근방식은 우주를 고정시키되, 교차 산출물의 정의를 포함하여 수학과 물리학의 모든 곳에서 "좌측 규칙"으로 "우측 규칙"을 바꾸는 것이다. 어떤 극성 벡터(예: 번역 벡터)는 변경되지 않지만, 유사 벡터(예: 점에서의 자기장 벡터)는 기호를 전환한다. 그럼에도 불구하고 특정 방사능 해독과 같은 패리티 위반 현상과는 별도로 물리적 결과는 없을 것이다.^[4]

공식화

유사벡터를 공식화하는 한 가지 방법은 다음과 같다:V가 n차원 벡터 공간이라면 V의 유사벡터는 V: n(V)ⁿ⁻¹의 (n - 1)번째 외부 파워의 요소다. V의 가성체들은 V와 같은 치수의 벡터 공간을 형성한다.

이 정의는 부적절한 회전 시 기호를 뒤집어야 하는 정의와 동일하지는 않지만 모든 벡터 공간에 일반적이다. 특히 n이 짝수일 때는 그런 가성비가 부호전환을 경험하지 않고, V의 밑부분의 특성이 2일 때는 부호전환은 효과가 없다. 그렇지 않으면, 추가적인 구조(특히, 볼륨 형태나 방향 중 하나)가 없다면, V로 ⋀(ⁿ⁻¹V)를 자연적으로 식별할 수 없다는 것을 염두에 두어야 하지만, 그 정의는 동등하다.

기하 대수학

기하 대수학에서 기본 원소는 벡터(벡터)이며, 이것들은 이 대수학에서 제품의 정의를 이용하여 원소의 계층을 형성하는데 사용된다. 특히 대수학에서는 벡터로부터 유사벡터를 구축한다.

기하 대수학에서 기본적인 곱셈은 기하학적 산물로, ab에서와 같이 벡터 두 개를 간단히 대칭하여 나타낸다. 이 제품은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle \mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\mathbf b} \,}$

여기서 선행 용어는 관습적인 벡터 도트 제품이고 두 번째 용어는 쐐기 제품이라고 불린다. 대수학의 가정법을 이용하여 점제품과 쐐기제품의 모든 조합을 평가할 수 있다. 다양한 조합을 설명하는 용어가 제공된다. 예를 들어 멀티플렉터는 다양한 k-값의 k-폴드 웨지 제품을 합한 것이다. k-폴드 웨지 제품은 k-blade라고도 한다.

현재 맥락에서 필적자는 이러한 조합 중 하나이다. 이 용어는 공간의 치수(즉, 공간의 선형 독립 벡터 수)에 따라 다른 다중 지시자에 부착된다. 3차원에서 가장 일반적인 2-블레이드 또는 바이벡터는 두 벡터의 쐐기 제품으로 표현할 수 있으며 유사벡터다.^[5] 그러나 4차원에서 가성분은 삼성분이다.^[6] 일반적으로 (n - 1)-블레이드인데 여기서 n은 공간과 대수학의 차원이다.^[7] n차원 공간에는 n개의 기본 벡터가 있고 n개의 기본 유사 벡터가 있다. 각 기본 유사 벡터는 n 기본 벡터 중 하나를 제외한 모든 외부(웨지) 제품에서 형성된다. 예를 들어, 기본 벡터가 {e₁, e₂₃, e₄}인 4차원에서 유사 벡터는 {e₂₃₄, e₁₃₄, e₁₂₄₁₂₃}(으)로 기록할 수 있다.

3차원의 변환

3차원의 유사벡터의 변환특성은 Baylis에 의한 벡터크로스 제품의 그것과 비교되었다.^[8] 그는 "축방향 벡터와 유사벡터라는 용어는 종종 동의어로 취급되지만, 바이벡터를 이중으로 구별할 수 있다는 것은 꽤 유용하다"고 말한다. Baylis를 비유하려면: 3차원에서 두 개의 극 벡터(즉, 참 벡터) a와 b를 주어진다면, a와 b로 구성된 교차 제품은 c = × b로 주어진 평면에 대한 벡터 정규이다. 오른손 직교구 기준 벡터 { e_ℓ }의 집합을 감안할 때 교차 제품은 다음과 같이 구성 요소의 측면에서 표현된다.

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},}$

여기서 위첨자는 벡터 구성요소에 레이블을 붙인다. 반면 두 벡터의 평면은 ∧ b로 표시된 외부 제품이나 쐐기 제품으로 표현된다. 기하 대수학의 이런 맥락에서 이 바이벡터는 유사벡터라고 불리며, 교차 제품의 호지 듀얼이다.^[9] e의₁ 이중은 e₂₃ ≡ e₂₃ = e₂ ∧ e 등으로₃ 소개된다. 즉, e의₁ 이중은 e에₁ 수직인 하위 공간, 즉 e와₂ e에₃ 의해 확장된 하위 공간이다. 이러한 이해로,^[10]

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .}$

자세한 내용은 Hodge 스타 연산자 § 3차원을 참조하십시오. 교차 제품과 쐐기 제품은 다음에 의해 관련된다.

${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ={\mathbf {i}\mathbf {a} \mathbf {b} \mathbf {a} \mathbf \,}$

여기서 i = e₁ ∧ e₂ e를₃ 단위 유사체라고 한다.^[11][12] 다음 속성을 가지고 있는 자산:^[13]

${\displaystyle {\mathit{i}^{2}=-1\ .}$

위의 관계를 이용하여 기본 벡터를 고정시킨 상태에서 구성품의 기호를 변경하여 벡터 a와 b를 반전시키면 유사 벡터와 교차 제품 모두 불변성을 갖는다고 본다. 반면 구성부품이 고정되고 기본 벡터 e가_ℓ 반전되면 유사벡터가 불변하지만 교차 제품은 부호를 바꾼다. 교차 생산물의 이러한 동작은 극 벡터와는 달리 오른손에서 왼손 좌표계로 변모하는 벡터 같은 요소로서의 정의와 일치한다.

사용 참고 사항

그 외, 기하 대수학 분야의 저자들이 모두 필독자라는 용어를 사용하는 것은 아니며, 일부 저자들은 필독자와 교차 생산물을 구분하지 않는 용어를 따르고 있다는 점에 유의할 수 있다.^[14] 그러나 교차제품은 3차원 이외의 다른 차원으로 일반화되지 않기 때문에 교차제품에 기초한 유사벡터 개념도 다른 차원의 공간으로 확장될 수 없다.^[15] n차원 공간에서 (n – 1) 블레이드로서의 유사벡터는 이러한 방식으로 제한되지 않는다.

또 다른 중요한 점은 그 이름에도 불구하고, 벡터 공간의 요소라는 의미에서 유사벡터들이 "벡터"라는 점이다. "가성적인 벡터는 벡터와 다르다"는 생각은 위에서 논의한 바와 같이 "벡터"라는 용어에 대한 서로 다르고 보다 구체적인 정의를 가지고 있을 뿐이다.

참고 항목

• 그라스만 대수
• 클리포드 대수
• Clifford 대수학에서 가성어의 일반화인 Antivector
• 방향(수학) — 방향 지정 공간에 대한 설명, 유사 도구에 필요한 경우.
• 방향성 - 방향성이 없는 공간에 대한 토론.
• 텐서 밀도

메모들

참조