벡터 미적분학 정체성

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2017년 8월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

에 대한 일련의 기사의 일부
미적분학.
기본 정리 라이프니즈 적분 규칙 함수의 한계 연속성 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의들 파생상품(일반화) 미분 극소수의 함수의. 총계 개념 분화 표기법 제2차 파생상품 암묵적 분화 로그 분화 관련금리 테일러의 정리 규칙 및 ID 합계 제품 체인 힘 지수 라피탈의 법칙 반비례 라이프니즈 장군 파아디 브루노 공식 레이놀즈.
적분 통합 목록 적분 변환 정의들 해독제 적분(불량) 리만 적분 르베그 통합 등고선 통합 역함수의 적분 통합 기준 부품. 디스크 원통 조개 대체(트리거, 위어스트라스, 오일러) 오일러의 공식 부분분수 순서변경 환원공식 통합 기호 아래 차별화 리스치 알고리즘
시리즈 기하학(산술-기하계) 조화 교대로 힘 이항체 테일러 수렴시험 합계한계(기간시험) 비율 뿌리 적분 직접 비교 한계비교 교대계열 코시 응결 디리클레 아벨
벡터 그라데이션 발산 컬 라플라시안 방향파생상품 정체성 정리 그라데이션 그린스 스톡스 발산 일반화 스톡스
다변량 형식주의 매트릭스 텐서 외부 기하학 정의들 부분파생상품 다중 적분 라인 적분 표면 적분 부피 적분 야코비안 헤시안
전문화된 분수 말리아빈 스토카스틱 변형
잡다한 프레살쿨루스 역사 용어집 주제 목록 통합 비 분석
v t

다음은 벡터 미적분학에서 파생상품과 통합에 관련된 중요한 정체성이다.

연산자 표기법

그라데이션

3차원 데카르트 좌표 변수의 함수$$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle f(x,y,z)$의 경우, 그라데이션은 벡터 필드:

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

여기서 i, j, k는 x, y, z-message의 표준 단위 벡터다. 보다 일반적으로 스칼라 필드라고도 하는 n 변수 $\psi {\displaystyle ({x1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ )$${\$displaystyle \psi(x_{1},\ldots ,x_{n$의 함수인 경우, 그라데이션은 벡터 필드:

${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,\ {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\ldots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}.}$

${\displaystyle {}_{}}$서 $e{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$는 임의 방향의 직교 단위 벡터다$$.

벡터 필드 $A{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$의 경우, 순서 1의 텐서 필드라고도 하며, 그라데이션 또는 공변량 유도체는 n × N Jacobian 행렬이다.

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A}}=(\nabla \!\mathbf {A})^{\mathrm {T}}=\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}\ij}.}$

For a tensor field ${\displaystyle \mathbf {A} }$ of any order k, the gradient ${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {A} )=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }}$ is a tensor field of order k + 1.

발산

데카르트 좌표에서 지속적으로 다른 벡터 $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ i${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$+ F ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ k ${\$ +$F_{z}\mathbf {k}}}}$의 차이는 스칼라 값 함수$$:

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partiaL_{z}}{\partial z}}.}$

The divergence of a tensor field ${\displaystyle \mathbf {A} }$ of non-zero order k is written as ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot \mathbf {A} }$, a contraction to a tensor field of order k − 1. Specifically, the divergence of a vector is a scalar. 고차 텐서 필드의 다양성은 텐서 필드를 외부 제품의 합으로 분해하고 ID를 사용하여 확인할 수 있다.

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {B}) \otimes {\hatbf {A}}}}\오른쪽)={\hatsbf {A}}}}}}}(\nabla \cdla \cdot \mathbf {B})+(\mathbf {B}\cdot \nabla ){\hat {\\mathbf {A}}}}}}}}}}$

$여기$서 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} \cdot \nabla }$은 B$${\$displaystyle \mathbf {B}$의 방향에 그 크기를 곱한$$ 방향 파생물이다. 특히 벡터 2개의 외제품의 경우

${\displaystyle \nabla \cdot \좌(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathsf {T}\우)=\mathbf {a}좌(\nabla \mathbf {b}\cdot \nabla}.$

컬

데카르트 좌표에서 $F{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ F ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathbf{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$에 대해 컬은$$ 벡터 필드:

${\displaystyle \operatorname{ 컬}\mathbf{F}=\nabla \times}\times, \mathbf{j}&\mathbf{k}\\{\frac{\partial{F}={\begin{pmatrix}{\frac{\partial}{x\partial}},\{\frac{\partial}{이\partial}},\{\frac{\partial}{z\partial}}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}F_{)},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}=\left{\begin{행렬}\mathbf{나는}및 \mathbf. }{\partial x}&{\frac{\frac}{\frac y}}{\frac {\frac}}{\fract z}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} }$

여기서 i, j, k는 각각 x-, y-, z-에 대한 단위 벡터다. 아인슈타인 표기법에서 벡터 F=( F F ) ${\$$F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{pmatrix}}}$이(가) 다음을 통해 컬링됨:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_}{k}}{\partial x^{j}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $$= ±1 또는 0은 Levi-Civita 패리티 기호다.

라플라시안

데카르트 좌표에서 함수 $f{\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$)의 Laplacian은 ${\displaystyle f(x,y,z)}$이다.

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$

텐서 $필드$의 경우$,$ A {\$displaystyle$ \$mathbf$ {A} $\},$ 일반적으로 라플라시아어는 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla ^{2}\!\mathbf {A} = (\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A}}}$

그리고 같은 질서의 텐서(tensor) 분야다.

라플라시안이 0과 같을 때 함수를 조화함수라고 한다. 그것은

${\displaystyle \Delta f=0}$

특기사항

파인만 첨자 표기법에서는

$\\displaystyle \nabla _{\mathbf {B}\\put(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\time }\!\좌(\nabla {\times }\mathbf {B} \우)+\좌(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \우)\mathbf {B}}}$

여기서 표기법 ∇_B은 첨자가 붙은 구배는 요인 B에서만 작용함을 의미한다.^[1][2]

일반적이지는 않지만 비슷한 것은 기하학 대수학에서 헤스테네스의 지나친 표기법이다.^[3] 그런 다음 위의 정체성을 다음과 같이 표현한다.

${\dottyle {\dot {\nabla}}\왼쪽(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B}}}}}\mathbf {A}{\times}\\!\좌(\nabla {\times }\mathbf {B} \우)+\좌(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \우)\mathbf {B}}}$

여기서 과다 복용으로 벡터 파생 모델의 범위가 정의된다. 점 벡터, 이 경우 B는 구별되는 반면, (미표시) A는 일정하게 유지된다.

이 글의 나머지 부분에는 해당하는 경우 파인만 첨자 표기법이 사용된다.

첫 번째 파생 모델 ID

스칼라 필드 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi$},$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$ 및 벡터$$ $필드{\displaystyle \mathbf{}}$ A ${\${$A{\displaystyle \mathbf{}}$$\},$ B ${\$에 대해 다음과 같은 파생 ID가 있다.

분배 특성

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla(\psi +\phi)&, =\nabla\psi +\nabla\phi \\\nabla(\mathbf{A}+\mathbf{B})&, =\nabla \mathbf{A}+\nabla \mathbf{B}\\\nabla \cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})&, =\nabla{\cdot}\mathbf{A}+\nabla \cdot \mathbf{B}\\\nabla \times(\mathbf{A}+\mathbf{B})&, =\nabla \times{A}+\nabla \ti \mathbf.mes \mathbf{B} \end{정렬}}}$

스칼라에 의한 곱셈에 대한 제품 규칙

우리는 단일 변수 미적분학에서 제품 규칙에 대한 다음과 같은 일반화를 가지고 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla(\psi \phi)&, =\phi \,\nabla \psi+\psi \,\nabla\phi \\\nabla(\psi \mathbf{A})&, =(\nabla \psi)^{\mathbf{T}}\mathbf{A}+\psi \nabla \mathbf{A})=\ \nabla \psi \otimes{A}\\\nabla \cdot(\psi \mathbf{A})& \mathbf{A}+\psi \,\nabla \mathbf, =\psi \,\nabla{\cdot}\mathbf{A}+(\nabla \psi)\,.{\cdot}\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(fg)&=f\,\nabla ^{2\!}g+2\,\nabla \!f\cdot \!\nabla g+g\,\nabla ^{2\!}f\end{aigned}}$

두 번째 공식에서 transposed ${\displaystyle \mathrm{gradition}}{\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{\nabla }{}^{}}$) ${\displaystyle {T\mathbf{}}^{}}$ ${\$은 n × 1 열 벡터, $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$display $style \mathbf {A}$은 1열 벡터$$, 그 제품은 n × n 행렬(또는 더 정밀하게, 다이애드). 이는 또한 두 벡터$$ 중 텐서 제품인 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes$} 또는 코브터와 벡터로 간주될 수 있다.

스칼라에 의한 분할에 대한 지수 규칙

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \left({\frac{\psi}{\phi}}\right)&, ={\frac{\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi}{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac{\mathbf{A}}{\phi}}\right)&, ={\frac{\phi \,\nabla \mathbf{A}-\nabla \phi \otimes({A}}{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla\cdot \left({\frac{\mathbf{A}}{\phi}}\right)&^{.\frac{\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

체인 룰

Let ${\displaystyle f(x)}$ be a one-variable function from scalars to scalars, ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(r_{1}(t),\ldots ,r_{n}(t))}$ a parametrized curve, and ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ a function from vectors to scalars다변량 체인 룰의 특별한 경우는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ F)&=\left(f'\circ F\right)\,\nabla F\\(F\circ \mathbf {r} )'&=(\nabla F\circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\\nabla (F\circ \mathbf {A} )&=(\nabla F\circ \mathbf {A} )\,\nabla \mathbf {A} \end{aligned}}}$

좌표 파라메트리제이션 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해 다음이$$ 있다.

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circle \Phi )=\mathrm {tr} \좌(\nabla \mathbf {A} \circherbf \J} _{\Phi }\오른쪽)}$

여기서 두 개의 n × n 행렬의 곱셈을 살펴보자: $\phi$의 A와 Jacobian의 곱셈$([\displaystyle \Phi$ $\}).$

도트 제품 규칙

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B})&^=\(\mathbf{A}\cdot \nabla)\mathbf{B}\,+\,(\mathbf{B}\cdot \nabla)\mathbf{A}\,+\,\mathbf{A}{\times}(\nabla{\times}\mathbf{B})\,+\,\mathbf{B}{\times}(\nabla{\times}\mathbf{A})\\&^=\\mathbf{A}\cdot \mathbf{J}_{\mathbf{B}}+\mathbf{B}\cdot.\mathbf {J} _{\mathbf {A}\\\(\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A}\,+\(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B}\end{aigned}}}}}}}}}}$

where ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$ denotes the Jacobian matrix of the vector field ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$.

또는 Feynman 첨자 표기법을 사용하여

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

이 메모를 참조하십시오.^[4]

특별한 경우로서 A = B일 때

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla (A).}$

리만 다지관에 대한 도트 제품 공식의 일반화는 리만 연결의 정의적 속성으로서 벡터 필드를 구별하여 벡터 값 1 형태를 부여한다.

교차 제품 규칙

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \cdot(\mathbf{A}\times \mathbf{B})&^=\(\nabla{\times}\mathbf{A})\cdot \mathbf{B}\,-\,\mathbf{A}\cdot(\nabla{\times}\mathbf{B})[5pt]\nabla \times(\mathbf{A}\times \mathbf{B})&^=\ \mathbf{A}(\nabla{\cdot}\mathbf{B})\,-\,\mathbf{B}(\nabla{\cdot}\mathbf{A})\,+\,(\math.bf{B}{\cdot}\nabla)\mathbf{A}\,-\,(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}\\[2pt]&^=\(\nabla{\cdot}\,\mathbf{B}\,+\,\mathbf{B}\,{\cdot}\nabla)\mathbf{A}\,-\,(\nabla{\cdot}\mathbf{A}\,+\,\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}\\[2pt]&^=\\nabla{\cdot}(\mathbf{B}\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\right)\,-\,\nabla{\cdot}\.(\ma 남아Thbf{A}\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\right)\\[2pt]&^=\ \nabla{\cdot}(\mathbf{B}\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\,-\,\mathbf{A}\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\right)\\\mathbf{A}\times^}{B}\\[2pt]&(\mathbf{A}{\cdot}\mathbf{B})\,-\,(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf=\ \nabla _{\mathbf{B}(\nabla \times \mathbf{B})&^=\\.mathbf{A})Cdot \mathbf{J}_{\mathbf{B}}\,-\,(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf{B}\\[5pt]&{A}^=\\mathbf{A}\cdot(\mathbf{J}_{\mathbf{B}}\,-\,\mathbf{J}_{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}})[5pt](\mathbf{A}\times \nabla)\times{B}및 \mathbf^=\(\nabla\와 같이{B}=\(\nabla \mathbf{B})\cdot \mathbf \,-\,(\mathbf{A}{\cdot}\nabla)\mathbf.mathbf{B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ J B - J${\displaystyle {}_{}{B}_{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle T{\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\$\mathbf {$J} _{\mathbf$ {$B}\,-\,\mathbf {J} _{\$mathbf {$B}^{\$mathrm {$T}}}}}}}$은(는$$) 대칭성이라는 점에 유의하십시오.

두 번째 파생 모델 ID

컬의 차이는 0이다.

벡터 필드 A의 컬은 항상 0이다.

${\displaystyle \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

드럼 체인 단지 내 외부 파생상품의 사각형이 사라진 특수한 사례다.

경사도의 차이는 라플라시안이다.

스칼라 필드의 라플라시안(Laplacian)은 그 기울기의 차이점이다.

${\displaystyle \delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$

결과는 스칼라 양이다.

발산 차이가 정의되지 않음

벡터장 A의 분비는 스칼라로, 스칼라 양의 분비를 취할 수 없다. 따라서 다음과 같다.

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{은 정의되지 않음}}}}$

그라데이션 컬이 0임

연속적으로 두 번 구분할 수 있는 스칼라 필드$\phi {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi }$의 그라데이션 컬은 항상 0 벡터:

${\displaystyle \nabla \timesla \varphi )=\mathbf {0}}$

드럼 체인 단지 내 외부 파생상품의 사각형이 사라진 특수한 사례다.

컬컬

$\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A}\right)\\\\\nabla ^{2\!}}\mathbf {A} }$

여기서 ∇²은 벡터장 A에서 동작하는 벡터 라플라시안이다.

발산 컬이 정의되지 않음

벡터장 A의 분비는 스칼라로, 스칼라 양의 컬을 취할 수 없다. 그러므로

${\displaystyle \nabla \time(\nabla \cdot \mathbf {A})\\\text{is 정의되지 않음}}}$

니모닉

오른쪽의 인물은 이러한 정체성의 일부에 대한 연상이다. 사용되는 약어는 다음과 같다.

• D: 발산,
• C: 컬,
• G: 그라데이션,
• L: 라플라시안
• 컬링.

각 화살표는 식별 결과, 특히 화살표의 꼬리 부분에 조작자를 머리 부분에 있는 조작자에게 적용한 결과로 라벨이 붙어 있다. 가운데 파란색 원은 컬이 있다는 뜻이고, 나머지 두 개의 빨간색 원은 DD와 GG가 없다는 뜻이다.

중요 신원 요약

차별화

그라데이션

• $\displaystyle \phla (\displaystyle \phi )=\pxla \phi }$
• $\displaystyle \phi )=\phi \phi \phla \phi \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A}}}$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

발산

• ${\displaystyle \nabla \cdot(\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B}}}}}$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\cdot \nabla \psi}$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \좌(\mathbf {A} \mathbf {B}오른쪽)=(\nabla \times \mathbf {B})\cdot \mathbf {A}}}}$

컬

• ${\displaystyle \nabla \times(\mathbf {A} +\mathbf {B})=\nabla \times \mathbf {A}+\nabla \times \mathbf {B}}}}$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• $\displaystyle \bla \eft(\displaystyle \bla \phi \left)(\displayla \bla \phi }=\bla \pi$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$

벡터 도트 델 연산자

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}}$^[5]

• ${\displaystyle(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}:{1}\nabla \mathbf {A}^{2}-\mathbf {A} \times \mathbf {A}번)}}}}}}$

제2파생상품

• ${\displaystyle \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0}}$
• ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \mathrm{(\nabla }\psi }$) =${\displaystyle {\mathrm{}}^{}=}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ {\$displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }($scalar Laplacian)
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ (vector Laplacian)
• $\displaystyle \cdot (\phi \bla \cdot )=\phi \phla ^{2}\cdla +\phla \cdot \cdla \cdla \cdla \cd}}}$
• $\displaystyle \phla \{2}\phi -\phi \phi \phi \phla \cdot \left(\ftla \phi -\phla \right)}$
• ${\displaystyle \phi \phi \phi ^{2}\phla \phla ^{2}\phdot (\phla \phi \right)\cdot (\cdisplayla \preftending }}}}}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A})=\mathbf {A}\nabla ^{2}\psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla}}}}}}}}}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times$$\mathbf {A})}($녹색 벡터 ID)

제3 파생상품

• $\displaystyle \bla ^{2}(\bla \cdot(\bla \cdot)(\bla \bla \put \wright)}$
• $\displaystyle \nabla \nabla \cdot \mathbf {A}=\nabla \cdot(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot \lef(\nabla ^{2}\mathbf {A} \a} \a} \a} \오른쪽)}}}}}}})})}}}}}}$
• ${\displaystyle \nabla \nabla \times \mathbf {A}=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla \times \lef(\nabla \{2}\a}\mathbf \오른쪽)})}}}}}})}}$

통합

아래에서, 곱슬 기호 means은 표면이나 고체의 경계를 의미한다.

표면-볼륨 통합

다음의 표면-볼륨 적분 이론에서 V는 해당 2차원 경계 S = ∂V(폐쇄 표면)를 가진 3차원 볼륨을 나타낸다.

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)dV}$ (divergence theorem)
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ $\\d\mathbf {S} \ =\\iint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \time d\mathbf {S} \ =\\\iint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!$$\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}($Green의 첫 번째 ID)
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\parti$$\varphi }{\barphi }{\barphi {\frace \\barfi {\bask \property }{\barphi n}\right)d$$S}$${\displaystyle {\displaystyle }}$$$${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle \text{∭}{}_{}}}$ V (${\displaystyle {\displaystyle {\mathrm{}}^{}\psi }}$ ${\displaystyle {\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}}$ 2 ${\displaystyle {\displaystyle \phi {}^{}}}$ -${\displaystyle {\displaystyle {\mathrm{}}^{}\phi }}$ ${\displaystyle {\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \psi {}^{}}}$) ${\displaystyle {\displaystyle d}}$ ${\displaystyle {\displaystyle V}}$ ${\$\$=\ \iint _{V}\좌(\psi \nabla ^{2}\!$$\varphi -\varphi \varphi \vla ^{2}\!$$\psi \right)\,dV}($Green의 두 번째 ID)
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ (integration by parts)
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV}$ (integration by parts)

곡선-표면 통합

다음 원곡선-표면 적분 이론에서 S는 해당 1d 경계 C = (S(폐쇄 곡선)를 가진 2d 개방 표면을 나타낸다.

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ (Stokes' theorem)
• ${\displaystyle \partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell}\\\\\\iint _{S}\nabla \psi \time d\mathbf {S}}}}$

시계 방향 감각에서 닫힌 곡선 주위의 통합은 시계 반대 방향 감각에 통합된 동일한 선의 음이다(확정 적분에서 한계를 상호 교환하는 것과 유사함).

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\rm {d}{\boldsymbol {\ell}}=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\rm {d}{\boldsymbol {\ell}}.}$

참고 항목

• 외부 미적분 ID
• 외부파생상품
• 원통형 및 구형 좌표 분석
• 벡터 대수 관계
• 벡터 대수학 및 기하 대수학 비교

참조

추가 읽기