벡터 대수 관계

다음은 벡터 대수의 중요한 동일성이다.벡터${\displaystyle a\mathbf{}}$ A ${\$ \ $displaystyle \$ \ $mathbf { A$} \ $\}$ 또는 두 벡터 A · B의 도트 곱(스칼라 곱)과 관련된 항등식은 모든 차원의 벡터에 적용된다.크로스 곱(벡터 곱) A×B를 사용하는 아이덴티티는 ^[1]3차원으로만 정의됩니다.(7차원 크로스 곱이 있지만, 아이덴티티는 7차원으로 유지되지 않습니다.)

크기

벡터 A의 크기는 점곱을 사용하여 표시할 수 있습니다.

$\displaystyle \\mathbf {A} \^{2}=\mathbf {A\cdot A}$

3차원 유클리드 공간에서 벡터의 크기는 피타고라스의 정리를 사용하여 세 가지 성분으로 결정된다.

$\displaystyle \\mathbf {A} \^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

불평등

• 코시-슈바르츠 부등식:${\$
• 삼각형 부등식 :${\displaystyle a\mathbf{}\mathbf{}}$A + ${\displaystyle \mathbf{B}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle A\mathbf{}}$+${\displaystyle B\mathbf{}}$ {\ A + B ${\$ {\ {\ \ $displaystyle \$ \ $mathbf { A$ + $B }$ $\leq$\ $mathbf { A$} \ $+$ \ \ $mathbf${ $B }$
• 역삼각형 부등식: $\Vert {\displaystyle \mathbf{}A\mathbf{}}$ - ${\displaystyle \mathbf{B}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle A\mathbf{}}$- ${\displaystyle B\mathbf{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$ A -${\displaystyle }$B ${\displaystyle \{\backslash }$ 、 q \ $displaystyle$\ $mathbf${ A - B$}$ \$geq${$Bigl }$\ \ \ $mathbf${ $A } \$ \ \ \ \ \ \ mathbf ${ Bigr }$ }

각도

두 벡터의 벡터 곱과 스칼라 곱은 이들 사이의 각도를 정의한다. 예를 들어 ^[1][2]θ:

${\displaystyle \sin \theta = frac {\times \mathbf {B} \ } {\left\mathbf {A} \right\mathbf {B} \right\} \pi (\pi <\theta \leq \pi})$

오른쪽 법칙을 만족시키기 위해, 양의 θ의 경우 벡터 B는 A에서 시계 반대 방향으로, 음의 θ의 경우 시계 방향이다.

${\displaystyle \cos \theta = phrac {\mathbf {A} {\left\mathbf {A} \right\mathbf {B} \right\cdot (\pi <\theta \leq \pi})$

그러면 피타고라스 삼각항등식은 다음을 제공한다.

$\displaystyle \left \mathbf {A\times B} \right \ ^2} +(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\mathbf {A}\right\\mathbf {B}$

벡터 A = (A_x, A_y, A_z)가 x-, y-, z-θ의 직교 세트를 사용하여 각도α, β, θ를 만든다면 다음과 같다.

${\displaystyle \cos \alpha = flac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}=blac{A_{x}}{\mathbf {A}\}}\,}$

그리고 각도 β, θ에 대해서도 유사하다. 결과적으로:

$\displaystyle \mathbf {A} =\left\mathbf {A} \right(\cos \alpha \\hat {\mathbf {j}}}}+\cos \cos \hat \mathbf {k}}} \right(\cos \cos \cos \cos \hat \hat \hat \hat \mathbf {j})$

$i{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}^,}$ ${\displaystyle \text{j}\stackrel{}{\mathbf{}}}$^, $^$ {style$\hat\mathbf {i},\$hat$\mathbf {j},\hat\mathbf {k}}$ 단위$$ 벡터를 축 방향에 따라 $표시$합니다.

영역 및 볼륨

변 A와 B가 각도 θ를 포함하는 평행 사변형의 면적 δ는 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \Sigma = AB\sin \theta , )$

이것은 평행사변형의 측면을 따라 놓여 있는 벡터 A와 벡터 B의 벡터 교차곱의 크기로 인식될 것이다.즉, 다음과 같습니다.

$\displaystyle \Sigma = \left \mathbf {A} \times \mathbf {B} \right \ left \ mathbf {A} \right \ ^{2} \ right \ ^2} - \ left \ mathbf { A } \ cdotB } \ right \ mathb { B }$

(A, B가 2차원 벡터일 경우, 이는 행 A, B를 가진 2×2 행렬의 행렬식과 같다.)이 식의 제곱은 다음과 같습니다.^[3]

$\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A})(\mathbf {B\cdot B})-(\mathbf {B\cdot A})-(\Gamma(\mathbf {A}, \mathbf {A})$

여기서 δ(A, B)는 A와 B의 그램 결정식이다.

$(\displaystyle \Gamma(\mathbf {A}, \mathbf {B}, \mathbf {B\cdot B}, \mathbf {B\cdot A}, \mathbf {B\cdot B}, \mathbf {B\cdot B}).VM 매트릭스$

마찬가지로 3개의 벡터 A, B, C에 의해 스판되는 평행관의 부피 V의 제곱은 3개의 ^[3]벡터의 그램 결정식에 의해 주어진다.

$\displaystyle V^{2}=\Gamma(\mathbf {A},\mathbf {B},\mathbf {C})=cdot {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot B} 및 \mathbf {A\cdB} \mathbf {C}\Mathbf {A\Mathbf {C}\MathB}\Mathb}\Mathb})$

A, B, C는 3차원 벡터이므로 이는 스칼라 ${\displaystyle 삼중곱검출소[A\mathbf{},}$ ${\displaystyle B\mathbf{},}$ ${\displaystyle C\mathbf{}]}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A\mathbf{},}$ ${\displaystyle B\mathbf{},}$ ${\displaystyle C\mathbf{},}$ C(\$displaystyle \det[\mathbf {A},\mathbf {B},\mathbf {C})$= \$mathbf {A}$의 제곱과 같다$.$

이 과정은 n차원으로 확장될 수 있습니다.

벡터의 덧셈과 곱셈

• 덧셈의 교환율:${\displaystyle \mathbf{A}}$+ ${\displaystyle B\mathbf{}}$ $=$ + ${\displaystyle A\mathbf{}}${\$displaystyle \mathbf {A}$+\$mathbf {B}$ =\$mathbf {B} +\mathbf {A}$$}.$
• 스칼라 제품의 교환성:${\displaystyle \mathbf{A}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle B\mathbf{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle B\mathbf{}a\mathbf{}}$A \ $displaystyle$\ $mathbf${ $A }$ \ $cdot$\ $mathbf${$B } =$ \ $mathbf { A$ $。$
• 교차 제품의 반상환성:${\displaystyle \mathbf{A}}$× ${\displaystyle B\mathbf{}}$ $=$ -${\displaystyle }$B ×$$ \$displaystyle \mathbf {A} \times$ \$mathbf {B}$ =\$mathbf${-$B}$ \$times \mathbf {A}$ $\}$
• 덧셈에 대한 스칼라 곱셈의 분포:${\displaystyle }c{\displaystyle }$ (${\displaystyle A\mathbf{}}$ +${\displaystyle B\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle c}$A + ${\displaystyle c\mathbf{}}$ (\$displaystyle$ c (\$mathbf {A}$ +\$mathbf {B}$ ) =$c\mathbf {A}$ +$c\mathbf${$B$}$}$}
• 덧셈에 대한 스칼라 곱의 ${\displaystyle 분포도\mathbf{}}$ :${\displaystyle }$(${\displaystyle A\mathbf{}}$+${\displaystyle }$B )${\displaystyle }$= ${\displaystyle C\mathbf{}}$ $=$ ${\displaystyle C\mathbf{}}$ +${\displaystyle }$B$${\ ${\displaystyle C\mathbf{}}$ (\$displaystyle$\left (\$mathbf$ {$A} +\mathbf$ {$B}$ \$right)\cdot \mathbf$ {$C}$=\$mathbf {A}$ \$mathbf$ {A} \mathbf {$C}$
• 덧셈에 대한 벡터 곱의 ${\displaystyle 분포도\mathbf{}}{\displaystyle }$: ${\displaystyle (A\mathbf{}}$+${\displaystyle }$B ) ×${\displaystyle C\mathbf{}}$ × ${\displaystyle B\mathbf{}}$×$$(\$displaystyle (\mathbf {A}$ +\$mathbf {B}) \times$ \$mathbf {C} =\times$ \$mathbf {C} +\mathbf$ {$B}$ \$times$
• 스칼라 트리플 제품:
  $$\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times\mathbf {B})A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$$

  
• 벡터 트리플 곱:${\displaystyle A\mathbf{}}$× (${\displaystyle }$B ×${\displaystyle C\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle A\mathbf{}}$ ${\displaystyle \cdot C\mathbf{}}$ )${\displaystyle B\mathbf{}}$ -${\displaystyle }$( ${\displaystyle A\mathbf{}b\mathbf{}}$B )$C$ \ $displaystyle$\$mathbf { A$} \ times \ $mathbf${ C } = ( \ $mathbf {$A } \ $cdot$ \$mathbf$ { C } \$mathbf$ {$C$ } \ mathbf { B } \ mathbf { C$}$ ) } \ mathbf { B } \ mathbf { C }
• Jacobi 아이덴티티:
  $$\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} \times \mathbf {C} + \mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A})$$

  
• Binet-Cauchy 아이덴티티:
  $$\displaystyle \mathbf {A\times B\right} \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)}$$

  
• 라그랑쥬의 아이덴티티:$A$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle B\mathbf{}}$ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ $=$ ( ${\displaystyle A\mathbf{}a\mathbf{}}$A )${\displaystyle }$（ ${\displaystyle B\mathbf{}b\mathbf{}}$ B${\displaystyle ）}$ - (${\displaystyle }$A$$ B$$) 2 $\times$ \$mathbf${B$}$^{2}=(\$mathbf {A}$ \$cdot \mathbf {A}$ ) \mathbf${A$} \$cdb}$ \$mathbf$ {A} \$cdf$ {B}
• 벡터 4배 곱:^[4][5]
  $$\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} ) \times \mathbf {C} \times \mathbf {D} \mathbf {B} \mathbf {C} \times \mathbf {D} ) =\mathbf {A }$$

  
• 이전 ^[6]방정식의 결과:
  $$\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} ) \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right) {C} \mathbf {C}}$$

  
• 3차원에서 벡터 D는 다음과 ^[7]같이 기저 벡터 {A,B,C}로 나타낼 수 있다.
  $$(\displaystyle \mathbf {D} \=\frac {mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} ) {\mathbf {A} \,\mathbf {C}}},\mathbf {A},\mathbf {C} {A},\f {C},\f},\f {C}, {C},\f},\f {C},\f {C},\f},\f {C},\f},athbf {B} ,\mathbf {C} }} \ \mathbf {C} .}$$

  

「 」를 참조해 주세요.

• 벡터 공간
• 기하학 대수

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