회전불변도

수학에서 내부 제품 공간에 정의한 함수는 임의의 회전을 인수에 적용할 때 그 값이 변하지 않으면 회전 불변성이 있다고 한다.

수학

기능들

예를 들어, 함수

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

어떤 각도를 통한 회전 좌표 집합의 경우 원점 주위의 평면이 회전할 때 불변함 θ

$\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

$\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

그 기능은, 어느 정도 용어가 취소된 후에, 정확히 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

좌표 회전은 회전 행렬을 사용한 행렬 형태를 사용하여 표현할 수 있다.

${\displaystyle {bmatrix}x'\\y'\\end{bmatrix}={\nd{bmatrix}={\nd{bmatrix}\cos \theta &-\sin \\cos \theta \\\\d}{bmatrix}}}.}$

또는 상징적으로 x′ = Rx. 상징적으로 두 개의 실제 변수의 실제 값 함수의 회전 불변도는

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx})=f(\mathbf {x} )}$

즉 회전 좌표의 기능은 초기 좌표와 정확히 같은 형태를 취하는데, 유일한 차이점은 회전 좌표가 초기 좌표를 대체한다는 것이다.3개 이상의 실제 변수의 실제 값 함수의 경우, 이 식은 적절한 회전 행렬을 사용하여 쉽게 확장된다.

또한 이 개념은 하나 이상의 변수에 대한 벡터 값 함수 f까지 확장된다.

${\displaystyle \mathbf {f}(\mathbf {x} ')=\mathbf {f}(\mathbf {Rx} )=\mathbf {f}(\mathbf {x} )}$

위의 모든 경우에서, 함수 자체가 아니라 주장(여기서 구체성에 대한 "좌표"라고 함)이 회전한다.

연산자

함수에 대해

${\displaystyle f:X\오른쪽 화살표 X}$

실제 선 ℝ의 부분집합 X로부터 그 자체로 요소들을 매핑하는 회전 불변도 또한 함수가 X에서 요소의 회전으로 통한다는 것을 의미할 수 있다.이는 그러한 기능에 작용하는 사업자에게도 적용된다.예를 들어 2차원 라플라스 연산자가 있다.

${\displaystyle \frac ^{2}={\frac {\frac }{2}}:{\frac x^{2}}+{\frac }{\fract y^{2}}:}$

다른 함수 ∇²f를 얻기 위해 함수 f에 작용한다.이 연산자는 회전 시 불변한다.

g가 함수 g(p) = f(R(p))이고 여기서 R은 회전이라면 (∇²g)(p) = (∇²f )(R(p)), 즉 함수를 회전하는 것은 라플라시안만 회전시킨다.

물리학

물리학에서, 만약 어떤 시스템이 그것이 우주에서 어떻게 지향하는지에 상관없이 똑같이 행동한다면, 그것의 라그랑지안은 순환적으로 불변한다.노에더의 정리에 따르면, 물리적 시스템의 작용(그 라그랑지안의 시간 경과에 따른 적분)이 회전 중에 불변하는 경우, 각운동량은 보존된다.

양자역학에 적용

양자역학에서 회전불변성은 회전 후에도 새로운 시스템이 슈뢰딩거의 방정식에 여전히 복종하는 성질이다.그것은

${\displaystyle [R,E-H]=0}$

모든 회전 R에 대하여.회전이 시간에 따라 분명하게 달라지지 않기 때문에, 그것은 에너지 운영자와 통근한다.따라서 회전 불변의 경우 [R, H] = 0이 있어야 한다.

각도 dθ로 최소 회전(이 예에서는 xy-평면에서, 어떤 평면에 대해서도 마찬가지로 수행될 수 있음)의 경우, (소수) 회전 연산자는

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \...}$

그때

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{d}\right]=0\}$

이리하여

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\}$

즉, 각운동량이 보존된다.

참고 항목

• 동위원소
• 맥스웰의 정리
• 회전대칭
• 축대칭

참조

• 스텐거, 빅터 J(2000).타임리스 리얼리티.프로메테우스 북스.특히 12장.비기술적.