분야콥스키 추측

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분야콥스키 추측

밭	분석수 이론
에 의해 추측:	빅토르 분야콥스키
추측:	1857
알려진 사례	학위 1의 다항식
일반화	바테만-혼 추측 일반화된 딕슨 추측 쉰젤 가설 H
결과들	트윈 프라임 추측

The Bunyakovsky conjecture (or Bouniakowsky conjecture) gives a criterion for a polynomial ${\displaystyle f(x)}$ in one variable with integer coefficients to give infinitely many prime values in the sequence${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\ldots .}$ It was stated in 1857 by the Russian mathemat아이치안 빅토르 분야콥스키.f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$이(가) 원하는 prime-production 속성을 가지려면$$ 다음 세 가지 조건이 필요하다.

1. 선행 계수는 양수지만
2. 다항식은 정수에 대해 설명할 수 없다.
3. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$, f${\displaystyle }$( 2${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle$ f$(1), f(2), f(3),\ldots }$ 값은 공통 요인이 없다$$.(특히 $f{\displaystyle }$( $){\displaystyle f(x)}$의 계수는 비교적 prime이어야 한다$$.)

Bunyakovsky의 추측으로는 이러한 $조건들$이 충분하다: f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ f$(x)}$이 (1)–(3)을 만족하면$$ $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle f(n)}$은 무한히 많은 양의 $정수{\displaystyle }$ n ${\displaystystyle$n$\}$에 가장 적합하다$$.

Bunyakovsky의 추측에 대한 겉보기에는 약하지만 동등한$$ 진술은 (1)–(3${\displaystyle ),}$ $f{\displaystyle }$(n$)$ {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ f(n)}을(를$)$ 만족하는 모든 정수 ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$f$($x ) {\$displaystyle$ f$($$x$$)}$에 대해 적어도 하나의 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\$$displaystystym$ f${\displaystyle (x}$+${\displaystyle n}$$)$에 대해 프라임)가 된다는$$ 것이다$.$그래서 f(n){\displaystyle f(n)}정말 무한히 많은 양의 정수에 n{n\displaystyle}총리는 핀란드 국영 방송 f(x+n)}여전히(1)–(3), 더 약한 성명의 관점에서(m){\displaystyle f(m)}적어도 한가지 긍정적인 정수 m을을 위한 프라임 아니라. Bunyakovsky의 추측은 an{\displaystyle m>, n}을 충족 specia숫자 이론에서 가장 유명한 개방적인 문제들 중 하나인 Schinzel의 가설 H의 경우.

세 가지 조건의 논의

만약 선두 계수 부정적이다 왜냐하면 모든 커다란){\displaystyle)}곳이기에 f 큰 양의 정수에(n){\displaystyle f(n)}가 아니다(긍정적인)소수 n{n\displaystyle}())<0{\displaystyle f())<0}다면 우리는.(이것은 단지 그 부호 규약을 충족하는 첫번째 조건이 필요하다.그프라임은 긍정적이다.)

We need the second condition because if ${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)}$ where the polynomials ${\displaystyle g(x)}$ and ${\displaystyle h(x)}$ have integer coefficients, then we have ${\displaystyle f(n)=g(n)h(n)}$ for all integers ${\displaystyle n}$$$;; $그러나{\displaystyle }$g (${\displaystyle x}$ )$${\$displaystyle$ g$(x)}$ $및$ h ${\displaystyle (x}$)$${\$displaystyle$ h$(x)}$은 값 0과${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}${\$displaystyle \pm 1}$만 미세하게 여러 번 취하므로 f (n$$ )${\displaystyle }$${\displaystyle f$$(n$$)}$은 모든 큰 $n$에 대해 복합적이다$.$

$세{\displaystyle }$ 번째 조건인 f${\displaystyle }$($){\displaystyle f(n)}$가 gcd 1을 갖는$$ 것은 분명 필요하지만, 다소 미묘하며, countererexample로 가장 잘 이해된다.$f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+x+2$}을$($를) 고려하십시오$.$ 이 계수는 양의 선행 계수를 가지고 있고 계수는 비교적 프라이밍되지만, $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle f$$(n$$)\}$은 모든 $정수{\displaystyle }$n에 대해 짝수이므로(${\displaystyle \mathrm{이름}:}$2$$= )만 프라이밍됨).$\displaystyle f(n)=2$ 사실${\displaystyle }n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0,}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=0,-1$}에서만 표시됨.$$

실제로 세 번째 조건을 확인하는 가장 쉬운 방법은 $f{\displaystyle (m}$) ${\displaystyle$ $m}$과(와$)$ ${\displaystyle$ f(m$)}$과$와$) ${\displaystyle$ $n$$}$의 쌍을 $찾는{\displaystyle }$ 것이다.일반적으로 정수 값 다항식 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ c ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ d ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle d^{}}$ ${\$}$}x+\cdots +c_{d}x^{d}}$ we can use ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=\gcd(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))}$ for any integer ${\displaystyle m}$, so the gcd is given by values of ${\displaystyle f(x)}$ at any consecutive ${\displaystyl$$e d+1$} 정수$$.^[1]${\displaystyle \mathrm{위}}$의 $예$에서 f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 2${\displaystyle }$, ${\displaystyle f}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$, f${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle f(-1 )=2,f(0)=$2,f$(1)=4}$이(가) 있으므로 gcd는 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$$${\$displaystyle 2}$이며$,$ $이$는${\displaystyle {}^{}x}$ +${\displaystyle 2}$ + 2$${\$displaystystyle x^{2}$의 정수 값을 갖는$$ 것을 의미한다$.$

$또는{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$을(를) 이항계수 다항식 기준으로 작성할 수 있다$$.

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}:{1}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}}}}$

여기서 각 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 정수이고${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle gcd}${${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle (n}$ ${\displaystyle )}$는${\displaystyle {}_{}}$gcd (${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle d_{}}$) . ${\displaysty \gcd\{f(n)\}_{n\gq 1}=\gcd(a_{0},a_{$1},$n},a_{d}).$$}$

위의 예에 대해 다음과 같은 내용을 제공한다.

${\displaystyle x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2}{\binom {x}{1}:{1},}$

두 번째 공식의 계수는 gcd 2이다.

Using this gcd formula, it can be proved ${\displaystyle \gcd\{f(n)\}_{n\geq 1}=1}$ if and only if there are positive integers ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle n}$ such that ${\displaystyle f(m)}$ and ${\displaystyle f(n)}$ are relatively prime.

예

단순 2차 다항식

다항식 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$의 일부 프라이머리 값이 다음 표에 나열되어 있다$$. ($x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$} 형식$ OEIS 시퀀스 A005574, $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$^{2}+1}$의 프라이머리값은 A002496).

${\displaystyle x}$	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36	40	54	56	66	74	84	90	94	110	116	120
${\displaystyle x^{2}+1}$	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297	1601	2917	3137	4357	5477	7057	8101	8837	12101	13457	14401

$n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{2}+1}$가 무한히 자주 프라임이 되어야 한다는$$ 것은 오일러가 처음 제기한 문제이며, 또한 5번째 하디-리틀우드 추측이며 랜도 문제 중 4번째다.광범위한 수치적 증거에도 불구하고 이 순서가 무한정 연장된다는 것은 알려져 있지 않다.

사이클로토믹 다항식

The cyclotomic polynomials ${\displaystyle \Phi _{k}(x)}$ for ${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$ satisfy the three conditions of Bunyakovsky's conjecture, so for all k, there should be infinitely many natural numbers n such that ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ is prime.모든 k에 대해 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}n}$) ${\displaystyle \Phi _{k}(n)}$ prime을$$ 가진 정수 n > 1이 존재한다면, 모든 k에 대해 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n)$ primeme를$$ 가진 자연수 n이 무한히 많다는 것을^{[citation needed]} 알 수 있다.

$다음{\displaystyle }$ 순서는 k${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,$$…에 대해 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \Phi _{k}(n$$)}$이($가)$ prime일 정도로$$ 가장 작은 자연수 n > $1$을 제공한다$.$

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (sequence A085398 in the OEIS).

이 순서는 제545호기가 2706호, 제601호기가 2061호, 제943호기가 2042호라는 큰 용어를 포함하고 있는 것으로 알려져 있다.분야코프스키가 추측한 이 사건은 널리 믿어지고 있지만, 다시 한번 그 순서가 무한정 연장된다는 사실은 알려져 있지 않다.

일반적으로 ${\displaystyle {\phi k}_{}n}$) ${\displaystyle \Phi _{k}($${\displaystyle n}$$)}$이(가) 프라임(주)인 정수 2nnφφ(k)이 있지만(주) $notek{\displaystyle {\mathrm{}}_{}{k}_{})}$ ${\displaystystyle \Phi \{k}(n)$은 φ(k)이지만$$ 예외 번호 k는 k이다.

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ...

부분 결과: 디리클레의 정리만

현재까지 분야코프스키의 추측이 증명된 유일한 경우는 학위 1의 다항식이다.이것은 디리클레트의 정리인데, $이것$은 ${\displaystyle a}$과 m$${\$displaystyle$ m$}$이(가) 비교적 주요한 정수일 때 p${\displaystyle a}$ a${\displaystyle }$(${\displaystyle 모드}$m )$${\$displaystyle p\equiv$ a${\pmod}}}$의 소수들이 무한히 많다는 것을 말한다$.$$이것$은 ${\displaystyle \mathrm{분야코프스키}}$의 ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle m}$x {\$displaystyle f(x)=a+mx}($ m< > ${\displaystyle m<0}$인 $경우{\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a-mx})$에 대한 추측이다.분야콥스키의 ${\displaystyle \mathrm{선형}}$ ${\displaystyle \mathrm{다항식}}$ $m{\displaystyle }$ x +${\displaystyle }$a$${\$displaystyle$ mx+a$}$에 대한 세 번째 조건은 {\$displaystyle$ a}과$($$와$$)$ m ${\displaystyle$ m$}$이(가) 비교적 프라임인 것과 같다$$.

분야코프스키의 1도 이상의 추측에 대한 단 하나의 사례도 증명되지 않지만, 높은 수준의 수치적 증거는 그 추측과 일치한다.

일반화된 분야콥스키 추측

각각 양수 및 정수 계수를 갖는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ 다항식을$$ 고려할 때, prime $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p$$}$의 $경우{\displaystyle }$ n$$${\$$displaystyle n}$에 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 다항식의$$ 값이 분할되지$$ 않는$$ n이 있다고$$ 가정하십시오.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $p$$}$으로 가능$.$ 이러한 가정들을 고려할 때 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ $k$$}$ $다항식$의 모든 값이 prime일$$ 정도로$$ 무한히 $많은{\displaystyle }$ 양의$$정수가 있는 것으로 추측된다.

Note that the polynomials ${\displaystyle \{x,x+2,x+4\}}$ do not satisfy the assumption, since one of their values must be divisible by 3 for any integer ${\displaystyle x=n}$. Neither do ${\displaystyle \{x,x^{2}+2\}}$, since one of the values must be divisible by 3 for any ${\displaystyle x=}$${\displaystyle x=n}$. On the other hand, ${\displaystyle \{x^{2}+1,3x-1,x^{2}+x+41\}}$ do satisfy the assumption, and the conjecture implies the polynomials have simultaneous prime values for infinitely many positive integers ${\displaystyle x=n}$.

This conjecture includes as special cases the twin prime conjecture (when ${\displaystyle k=2}$, and the two polynomials are ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle x+2}$) as well as the infinitude of prime quadruplets (when ${\displaystyle k=4}$, and the four polynomials are ${\dis$$playstyle x,x+2,x+6}$, and ${\displaystyle x+8}$), sexy primes (when ${\displaystyle k=2}$, and the two polynomials are ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle x+6}$), Sophie Germain primes (when ${\displaystyle k=2}$, and the two polynomials are ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle 2x+1}$$[\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ 2x+1$}) 및$$$Polignac의 추측($$$k{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle k=2$}$$및 두 다항식이 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="x"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.33ex;\; height:1.676ex;"\; papago-attr-id="313">}}$+ ${\displaysty x+a$인 경우, 짝수 $숫자$$${\$displaystystyle a}.$모든 다항식의 학위가 1일 때 이것은 딕슨의 추측이다.

사실, 이 추측은 일반화된 딕슨 추측과 맞먹는다.

디리클레의 정리를 제외하고는 위의 경우를 포함하여 추측의 어떤 사례도 증명되지 않았다.

참고 항목

• 정수 값 다항식
• 쿤의 불가해성 기준
• 쉰젤 가설 H
• 바테만-혼 추측
• 하디와 리틀우드의 추측 F

참조

참고 문헌 목록

• Ed Pegg, Jr. "Bouniakowsky conjecture". MathWorld.
• Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05). "Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p". arXiv:math/9808021.
• Bouniakowsky, V. (1857). "Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières". Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg. 6: 305–329.